信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合：理?yè)?jù)與方法
——以TI圖形計(jì)算器解決一類函數(shù)應(yīng)用模型問(wèn)題為例

李保臻，陳國(guó)益，馬登堂

(1.西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500)

0 引言

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)在教育領(lǐng)域的逐步推廣與深入發(fā)展，我國(guó)傳統(tǒng)課堂的教學(xué)理念、教學(xué)模式及教學(xué)活動(dòng)等發(fā)生了深度變革，教育信息化的發(fā)展受到國(guó)家層面的重視[1]。2012年，我國(guó)教育部頒布的《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃(2011—2020年)》中提出利用“互聯(lián)網(wǎng)+教育”來(lái)推動(dòng)教育信息化發(fā)展[2]。2018年，我國(guó)教育部頒布《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》中提到，“持續(xù)推動(dòng)信息技術(shù)與教育深度融合，促進(jìn)教育信息化從融合應(yīng)用向創(chuàng)新發(fā)展的高階演進(jìn)，將信息技術(shù)與智能技術(shù)融入教育全過(guò)程”[3]。可見(jiàn)，教育信息化的發(fā)展推進(jìn)著我國(guó)教育現(xiàn)代化發(fā)展，也為我國(guó)未來(lái)教育發(fā)展起到重要的指向作用。因此，為探究信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的應(yīng)用，研究擬通過(guò)從理?yè)?jù)與方法的層面對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合開(kāi)展系統(tǒng)研究，然后結(jié)合具體的教學(xué)案例探討信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合內(nèi)在聯(lián)系，以期為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合提供理論支持與實(shí)踐參考。

1 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的內(nèi)涵

如何理解“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合”呢？首先要對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系進(jìn)行辨析及判別。一方面，現(xiàn)代信息技術(shù)的迅速發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、理念、內(nèi)容及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)與人工智能的迅猛發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程改革提出了新挑戰(zhàn)[4]；另一方面，數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科的基礎(chǔ)，大數(shù)據(jù)、算法等技術(shù)應(yīng)用離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支持。而信息技術(shù)與作為自然學(xué)科根基的數(shù)學(xué)之間相互促進(jìn)，推動(dòng)著信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的可持續(xù)發(fā)展。其次，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合需利用技術(shù)方法或手段方能達(dá)成。例如TI圖形計(jì)算器、希沃電子白板等多媒體工具。這些信息工具使得抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀可視，為實(shí)現(xiàn)深度融合提供了重要的技術(shù)保障。最后，作為學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，在與信息技術(shù)深度融合的過(guò)程中，必須經(jīng)過(guò)教育化、技術(shù)化的處理。鑒于此，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合可以理解為：在明晰信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程關(guān)系的前提下，按照《標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中相關(guān)要求選取合適數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，借助相應(yīng)的多媒體教學(xué)軟件工具科學(xué)實(shí)施教學(xué)過(guò)程，最終營(yíng)造出信息技術(shù)賦能下的精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)生個(gè)性化自主學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新生態(tài)。

2 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的理?yè)?jù)分析

2.1 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合

課程標(biāo)準(zhǔn)是確定學(xué)段課程水平及課程結(jié)構(gòu)的綱領(lǐng)性文件，是國(guó)家對(duì)國(guó)民在某方面或某領(lǐng)域的基本素質(zhì)要求[5]。進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，我國(guó)教育部頒布的系列數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程之間的“邏輯關(guān)系”與“融合程度”進(jìn)行了深層次描述。經(jīng)梳理發(fā)現(xiàn)，我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合歷程大致經(jīng)歷了“有機(jī)結(jié)合”“有機(jī)整合”“深度融合”三個(gè)階段，這三個(gè)階段無(wú)論是具體內(nèi)容描述上還是融合程度上都呈現(xiàn)出逐步遞增、逐步加深的樣態(tài)。“有機(jī)結(jié)合”是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合的初步探索，此時(shí)信息技術(shù)是作為工具運(yùn)用于數(shù)學(xué)課程之中[6]。“有機(jī)整合”是有機(jī)結(jié)合的進(jìn)一步發(fā)展，如《標(biāo)準(zhǔn)(2003版)》中提到的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合，還存在著有機(jī)結(jié)合的影子[7]。而經(jīng)過(guò)幾年的發(fā)展，隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”理念的提出，“互聯(lián)網(wǎng)+數(shù)學(xué)教育”作為一種新的教育形態(tài)應(yīng)運(yùn)而生，這時(shí)《標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中提出的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程有機(jī)整合也實(shí)現(xiàn)了“脫胎換骨”的變化，數(shù)學(xué)課堂更多是利用信息技術(shù)開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課程資源，進(jìn)而不斷調(diào)整與優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[8]。隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷推進(jìn)與信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，2017年教育部頒布的《標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中提出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，這時(shí)信息技術(shù)、數(shù)學(xué)課程、精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)以及個(gè)性化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等要素鏈接起來(lái)共同發(fā)揮出綜合效應(yīng)，使信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合進(jìn)入了新階段[4]。從21世紀(jì)以來(lái)頒布的系列數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程”關(guān)系的闡述中可以發(fā)現(xiàn)，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的信息化、智能化時(shí)代發(fā)展特征，成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種常態(tài)。通過(guò)信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境為學(xué)生營(yíng)造探索學(xué)習(xí)空間與研究環(huán)境，為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件進(jìn)而實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)，而上述系列目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)均離不開(kāi)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。

2.2 精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)要求信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合

20世紀(jì)60年代，美國(guó)學(xué)者奧格登·林斯利根據(jù)斯金納行為學(xué)習(xí)理論中的“操作性反射原理”提出“精準(zhǔn)教學(xué)”的概念，主張學(xué)習(xí)即操作過(guò)程，然后以流暢度(Fluency)刻畫學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展，通過(guò)設(shè)計(jì)測(cè)量過(guò)程以追蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)[9]。之后，信息技術(shù)的迅速發(fā)展為精準(zhǔn)教學(xué)提供的技術(shù)支持，使得信息技術(shù)支持下的精準(zhǔn)教學(xué)成為了學(xué)者們研究的熱點(diǎn)話題。經(jīng)查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為精準(zhǔn)教學(xué)是基于信息技術(shù)記錄、分析學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)行為、學(xué)習(xí)表現(xiàn)等方面的數(shù)據(jù)及其變化為基礎(chǔ)的教學(xué)[10]，具有鮮明的方向性、實(shí)踐性及專業(yè)性，是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要手段[11]。目前，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育正在由“知識(shí)與技能”轉(zhuǎn)向強(qiáng)調(diào)“過(guò)程與方法”，在轉(zhuǎn)向主張“知識(shí)與技能”和“過(guò)程與方法”并重，倡導(dǎo)在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生主動(dòng)參與、體驗(yàn)和感悟?qū)W習(xí)。信息技術(shù)為學(xué)生提供的交互式學(xué)習(xí)與研究環(huán)境，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究提供了重要平臺(tái)，進(jìn)一步拓展了數(shù)學(xué)課堂空間。在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的情境，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得直觀可視。另一方面，借助信息技術(shù)記錄的教學(xué)過(guò)程的詳細(xì)行為數(shù)據(jù)，能夠更加精準(zhǔn)地刻畫分析教師與學(xué)生的實(shí)時(shí)狀態(tài)，診斷與預(yù)測(cè)教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，然后依據(jù)個(gè)體狀態(tài)實(shí)施數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)[12]。由此可見(jiàn)，信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施具有重要作用，而精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施也離不開(kāi)信息技術(shù)的深度參與，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合為數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)化的必要條件與重要保障。

2.3 個(gè)性化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合

雖然“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”已成為數(shù)學(xué)課程的基本理念，但要真正將這一理念的落實(shí)到具體教學(xué)之中，仍有許多亟待解決的問(wèn)題。如當(dāng)前西部偏遠(yuǎn)農(nóng)村地區(qū)教師信息技術(shù)素養(yǎng)普遍較低，師資力量匱乏，以及部分地區(qū)跨年級(jí)課堂教學(xué)現(xiàn)象仍然存在，導(dǎo)致信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的融合停留在表層，使得“個(gè)性化學(xué)習(xí)”難以落實(shí)[13]。但“關(guān)注學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)與認(rèn)知差異，發(fā)掘?qū)W生的潛能，實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)”是教育的理想追求，而“大數(shù)據(jù)”“人工智能”等技術(shù)的發(fā)展使得這一理想有了實(shí)現(xiàn)的可能性。信息技術(shù)的迅速發(fā)展為促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展提供了平臺(tái)，互聯(lián)網(wǎng)與教育資源的開(kāi)放共享，讓每個(gè)人都享有平等的資源和機(jī)會(huì)；大數(shù)據(jù)、學(xué)習(xí)分析技術(shù)以及各種自適應(yīng)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的出現(xiàn)，可以讓學(xué)生進(jìn)行自我量化、自我管理。進(jìn)而有目的、有步驟地開(kāi)展個(gè)性化學(xué)習(xí)，大數(shù)據(jù)支持的學(xué)生行為數(shù)據(jù)的深度挖掘與分析，可以讓教師對(duì)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展提供有效的指導(dǎo)[14]。可見(jiàn)，個(gè)性化學(xué)習(xí)中“個(gè)性化”的體現(xiàn)和實(shí)施，聚焦于各種新型技術(shù)環(huán)境支持下的個(gè)性化學(xué)習(xí)實(shí)踐，學(xué)生學(xué)習(xí)個(gè)性化的需求迫切要求信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合。

3 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的方法

3.1 深度理解課程標(biāo)準(zhǔn)中相關(guān)內(nèi)容具體要求，選擇適當(dāng)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是課程實(shí)施的重要依據(jù)，也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重要指南。通過(guò)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合”理念相關(guān)論述的梳理，可以探尋出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的變化趨勢(shì)及未來(lái)走向。在深度理解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合時(shí)，先要明確研究主題，然后按照具體課程內(nèi)容從低到高逐層梳理。課程內(nèi)容作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的載體，要從課程標(biāo)準(zhǔn)中追溯信息技術(shù)運(yùn)用于課程內(nèi)容的相關(guān)要求。

教師首先對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行深度解讀與理解，然后梳理出其中信息技術(shù)應(yīng)用于具體課程的“內(nèi)容要求”與“教學(xué)提示”。課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于信息技術(shù)在“函數(shù)”的相關(guān)描述，在“教學(xué)提示”中明確提出利用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出各類函數(shù)圖像，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)[15]。

在具體實(shí)施時(shí)，可以利用表格梳理出相關(guān)要求，也可以利用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)具體內(nèi)容的描述，客觀呈現(xiàn)其具體要求與結(jié)構(gòu)體系，形成研究問(wèn)題的整體印象。人教A版必修第一冊(cè)中有一類函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，給出一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境，給出某函數(shù)兩個(gè)變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，擬合并求出最接近圖像的函數(shù)解析式。選擇好具體的內(nèi)容之后，需要按照課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求，結(jié)合具體的研究問(wèn)題，按照課堂教學(xué)的相關(guān)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)教學(xué)流程如圖1所示。

圖1 依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求及具體內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)流程圖

3.2 深入踐行精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)理念，借助信息技術(shù)實(shí)施教學(xué)過(guò)程

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合離不開(kāi)相關(guān)教育理念的支持，這理念主要是指精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)，精準(zhǔn)化數(shù)學(xué)教學(xué)是基于數(shù)據(jù)的教學(xué)，體現(xiàn)著過(guò)程性。在教學(xué)過(guò)程中選用TI圖形計(jì)算器解決一類函數(shù)模型問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展及形成過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解。下面按照?qǐng)D1設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)流程圖結(jié)合具體案例，結(jié)合案例具體展開(kāi)說(shuō)明信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的實(shí)施情況。

3.2.1 提出問(wèn)題 新版高中數(shù)學(xué)教科書(人教A版)必修第一冊(cè)中有一類函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，就是依據(jù)某個(gè)問(wèn)題情境，給出某函數(shù)兩個(gè)變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如何擬合最接近的函數(shù)解析式，具體情況如下。

1)根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重y(kg)與身高x(cm)的函數(shù)關(guān)系？并寫出這個(gè)函數(shù)的解析式。

2)若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地某校一男生身高175 cm，體重78 kg，他的體重是否正常？

表1 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表 (單位：身高cm；體重kg)

關(guān)于這類問(wèn)題的教學(xué)，通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)教師的課堂觀察及課后訪談發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師或在課堂上避而不講這類題目，直接將其作為學(xué)生課后的習(xí)題；或直接按照教材上的解法照本宣科地講給學(xué)生，但實(shí)際上絕大多數(shù)學(xué)生并沒(méi)有搞清楚函數(shù)模型產(chǎn)生的來(lái)龍去脈。當(dāng)然，造成教師在處理這類函數(shù)模型應(yīng)用題時(shí)存在的問(wèn)題有諸多原因，其中絕大多數(shù)教師由于信息技術(shù)技能的匱乏而沒(méi)有真正掌握確定這類函數(shù)解析式的方法則是主要原因。

3.2.2 分析問(wèn)題 這道題目出現(xiàn)在函數(shù)的應(yīng)用中，顯然是讓學(xué)生通過(guò)已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解。但是通過(guò)數(shù)據(jù)的觀察可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)未成年男性的體重隨著身高的變化呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，那么到底選用哪種類型的函數(shù)才能夠最好地反映表中的數(shù)據(jù)應(yīng)是學(xué)習(xí)者首先考慮的問(wèn)題。回憶以前學(xué)過(guò)的函數(shù)則會(huì)發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)y=kx+b(當(dāng)斜率k>0時(shí))、二次函數(shù)y=ax2+bx+c單增的半支(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a>1時(shí))、指數(shù)函數(shù)y=ax(當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí))、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí))及冪函數(shù)y=xα(當(dāng)指數(shù)α>0且x∈+時(shí))都是單調(diào)遞增的函數(shù)。那么怎樣選取出最優(yōu)的函數(shù)解析式呢？既然表中數(shù)據(jù)反映的是體重y(kg)隨身高x(cm)變化的關(guān)系，且體重y(kg)隨身高x(cm)的增大而增大。要想進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，需在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)組(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。通過(guò)觀察點(diǎn)的變化趨勢(shì)確定選用何種類型的函數(shù)來(lái)進(jìn)行反映。故采用TI圖形計(jì)算器繪圖，首先將表中數(shù)據(jù)輸入圖形計(jì)算器如圖2所示,繪制出散點(diǎn)圖(其中x軸表示身高，y軸表示體重)如圖3所示。

圖2 數(shù)據(jù)輸入

圖3 TI圖形計(jì)算器繪制的散點(diǎn)圖

由圖3可知，散點(diǎn)的連線呈現(xiàn)出“下凸”的形式，而對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí))圖像整體走勢(shì)為“上凸”的形式，故排除對(duì)數(shù)函數(shù)模型。所以與繪制的散點(diǎn)圖符合函數(shù)模型的可能是：1)一次函數(shù)y=kx+b(當(dāng)斜率k>0時(shí))；2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c增長(zhǎng)的半支(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a>0時(shí))；3)冪函數(shù)y=xα(當(dāng)指數(shù)α>0且x∈+時(shí))；4)指數(shù)函數(shù)y=ax(當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)))。下面分別嘗試用這四種函數(shù)擬合，然后比較擬合效果。

3.2.3 解決問(wèn)題 根據(jù)上述問(wèn)題分析，讓學(xué)生使用TI-92圖形計(jì)算器進(jìn)行函數(shù)擬合，繪制出擬合圖像(線性回歸直線)，具體擬合情況如表2所示。

表2 各類型函數(shù)解析式、圖像及擬合情況表

雖然四次選擇的函數(shù)模型不同，但是判斷最佳函數(shù)模型的標(biāo)準(zhǔn)卻是相同的，即看的是擬合的函數(shù)圖像與已知點(diǎn)的位置關(guān)系：圖像能經(jīng)過(guò)盡量多的點(diǎn)，同時(shí)讓其余點(diǎn)盡量均勻分布在圖像的附近。依據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較,四種函數(shù)中指數(shù)型函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是最多的，即指數(shù)型函數(shù)擬合的效果最好。

3.2.4 優(yōu)化問(wèn)題 雖然通過(guò)“擬合圖像經(jīng)過(guò)散點(diǎn)個(gè)數(shù)”這擬合效果優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)，指數(shù)型函數(shù)擬合效果最好。但題設(shè)是要求找到一種最好地反映該地區(qū)未成年男性的身高與體重的函數(shù)模型，所以僅依據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)有限點(diǎn)的個(gè)數(shù)就去判斷該函數(shù)的擬合效果似乎還不夠精確與嚴(yán)謹(jǐn)，因此還應(yīng)考慮擬合函數(shù)的相關(guān)指數(shù)取值情況。TI-92圖形計(jì)算器提供了用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫函數(shù)擬合優(yōu)劣方法[13]，即當(dāng)R2越接近于1，表示函數(shù)擬合效果越好。通過(guò)TI-92圖形計(jì)算器的操作，得到四種函數(shù)相應(yīng)的R2值，如圖4所示。

圖4 四種擬合函數(shù)的相關(guān)指數(shù)值

通過(guò)比較各函數(shù)模型擬合后的R2值，發(fā)現(xiàn)最接近1的是指數(shù)型函數(shù)，所以我們就選擇y=2×1.02x作為未成年男生的身高與體重的函數(shù)。

3.2.5 反思問(wèn)題 本題的函數(shù)模型為指數(shù)型函數(shù)，且擬合模型的表達(dá)式為y=2×1.02x.該解析式實(shí)際上只需兩組數(shù)據(jù)代入到y(tǒng)=abx中即可求出參數(shù)a與b的值，但問(wèn)題中共有12組數(shù)據(jù)，那么到底選擇哪兩組數(shù)據(jù)代入才能確定出指數(shù)型函數(shù)的表達(dá)式近似為y=2×1.02x呢？這是在解決這類函數(shù)應(yīng)用模型問(wèn)題時(shí)大多數(shù)教師與學(xué)生感覺(jué)非常困難的問(wèn)題。對(duì)于第一問(wèn)的解決，教材選取兩組數(shù)據(jù)(70，7.90)(160，47.25)并將其代入y=a·bx后再借助計(jì)算器求得函數(shù)解析式y(tǒng)=2×1.02x.但為什么要選取這兩組數(shù)據(jù)，如果選取其他兩組數(shù)據(jù)代入后求得的解析表達(dá)式是否更理想等，教材中卻并沒(méi)有做出詳細(xì)的說(shuō)明，真有點(diǎn)“知其然而不知其所以然”的感覺(jué)。實(shí)際上，取這兩組數(shù)據(jù)來(lái)求指數(shù)型函數(shù)y=a·bx中的參數(shù)a與b的值，并不是一種偶然的嘗試，而是用圖形計(jì)算器先擬合指數(shù)型函數(shù)的表達(dá)式(這時(shí)a與b的值已經(jīng)確定)，再通過(guò)多組數(shù)據(jù)建模比較驗(yàn)證的結(jié)果。因此，教師要采用“執(zhí)果索因”的教學(xué)思路引導(dǎo)學(xué)生解決該問(wèn)題，即教師要引導(dǎo)學(xué)生先借助圖形計(jì)算器擬合指數(shù)型函數(shù)的解析式為y=2×1.02x，讓學(xué)生先明白y=a·bx中的a≈2，b≈1.02然后將數(shù)據(jù)代入到y(tǒng)=a·bx，求得每種函數(shù)模型的解析表達(dá)式，再通過(guò)每一種函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)及相關(guān)指數(shù)R2與1的接近程度，確定選取數(shù)據(jù)的合理性。

3.3 嚴(yán)格遵循學(xué)生個(gè)性化發(fā)展原則，利用信息技術(shù)有效突破教學(xué)重難點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)課程最大的特點(diǎn)就是“選擇性”，課程選擇性的設(shè)置能夠讓學(xué)生更早地展現(xiàn)自己的潛力、特征及興趣[16]。數(shù)學(xué)課堂作為落實(shí)數(shù)學(xué)課程設(shè)置要求的“主陣地”，在課堂教學(xué)中利用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)工具往往能夠促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展[17]。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，教學(xué)中要求學(xué)生會(huì)用抽象的集合與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)概念、能夠通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)據(jù)的分析而建構(gòu)出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型等往往成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)[18]。可見(jiàn)，本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)分別是“如何確定函數(shù)模型的類型”“如何選擇合適的參數(shù)”，下面結(jié)合TI圖形計(jì)算器在教學(xué)中的應(yīng)用來(lái)闡述突破本節(jié)課重難點(diǎn)的具體過(guò)程。

3.3.1 多組數(shù)據(jù)代入后所求得函數(shù)模型圖像經(jīng)過(guò)離散點(diǎn)個(gè)數(shù)的比較 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，將x=70,

y=7.90和x=160,y=47.25代入y=abx，利用計(jì)算器算得a=2,b=1.02，則近似函數(shù)關(guān)系式可表為y=2×1.02x.繼續(xù)從表中任選兩組數(shù)據(jù)x=60,y=6.13和x=70,y=7.90，將它們分別代入y=abx中，同理可算得a=1.338，b=1.026，即此時(shí)的函數(shù)模型為：y=1.338×1.026x.在同一坐標(biāo)系中畫出y=2×1.02x與y=1.338×1.026x這兩種函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像如圖4所示。

圖5 指數(shù)型函數(shù)y=2×1.02x與y=1.338×1.026x的圖像

通過(guò)圖像可以看出，有更多的點(diǎn)落在了y=2×1.02x對(duì)應(yīng)的圖像上，即其與原有散點(diǎn)圖具有更好的擬合度，而絕大多數(shù)點(diǎn)卻偏離指數(shù)型函數(shù)y=1.338×1.026x的圖像，所以函數(shù)y=1.338×1.026x不能較好地刻畫出該地區(qū)未成年人體重與身高的關(guān)系。同理可知，當(dāng)所選取的數(shù)據(jù)x=70,y=7.90和x=160,y=47.25時(shí)，函數(shù)模型不能使更多的點(diǎn)落于圖像上，并且不在圖像上的點(diǎn)偏離狀況也較大。通過(guò)多組數(shù)據(jù)建模的比較驗(yàn)證，只有選取(70，7.90)及(160，47.25)這兩組數(shù)據(jù)求出的指數(shù)型函數(shù)的解析式才接近y=2×1.02x.

3.3.2 多組數(shù)據(jù)代入后所求得函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2值與1接近程度的比較 將身高作為自變量，代入我們已經(jīng)得到的函數(shù)模型解析式y(tǒng)=2×1.02x中，可以重新得到一組理論函數(shù)值，通過(guò)計(jì)算可以得出二者的偏差值。具體如表3所示：

表3 函數(shù)模型y=2×1.02x所對(duì)應(yīng)的身高、實(shí)際體重、理論體重及偏差

表4 函數(shù)模型y=1.338×1.026x所對(duì)應(yīng)的身高、實(shí)際體重、理論體重及偏差

由確定函數(shù)模型過(guò)程可求得該題的回歸平方和為10.640578527，則用y=1.338×1.026x

模型相關(guān)指數(shù)為：

模型的相關(guān)指數(shù)為：

通過(guò)計(jì)算R2可以看出，指數(shù)型函數(shù)模型y=2×1.02x的相關(guān)指數(shù)非常接近于1，而y=1.338×1.026x的相關(guān)指數(shù)遠(yuǎn)小于1，所以指數(shù)型函數(shù)模型y=2×1.02x更加符合題目要求。綜合多組數(shù)據(jù)代入后所求得指數(shù)型函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)離散點(diǎn)個(gè)數(shù)和函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)與1接近程度兩方面可知，指數(shù)型函數(shù)y=2×1.02x較近似反映該地區(qū)未成年男體重y(kg)與身高x(cm)的恰當(dāng)函數(shù)模型。選擇好函數(shù)模型，便可以判斷出該男生體重是否正常。將x=175代入y(x)=2×1.02x，得y=63.98，由于78÷63.98≈1.22>1.2，故可知這個(gè)男生偏胖。

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是從數(shù)量關(guān)系及空間形式兩大維度刻畫客觀事物的運(yùn)動(dòng)、變化及發(fā)展規(guī)律的，通過(guò)利用TI圖形計(jì)算器將多組數(shù)據(jù)代入后所求得函數(shù)模型圖像經(jīng)過(guò)離散點(diǎn)個(gè)數(shù)以及相關(guān)指數(shù)R2值與1接近程度的比較，既可以看出信息技術(shù)便捷的數(shù)據(jù)處理功能，也能夠及時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，有效突破本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)。

4 結(jié)語(yǔ)

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合是持續(xù)發(fā)展的過(guò)程，隨著時(shí)代發(fā)展與技術(shù)革新，兩者之間融合的方法也會(huì)不斷地突破。現(xiàn)代信息技術(shù)所具備的便攜性、交互性、專業(yè)性等功能，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)及效果，因此，今后仍需不斷探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的理論基礎(chǔ)，創(chuàng)新其融合方法，借助信息技術(shù)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)掌握，數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的領(lǐng)悟，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”美好愿景。