一類不確定非線性系統的RBF神經網絡反演控制

熊 朗，高紅亮，李小玲

(湖北師范大學 電氣工程與自動化學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

伴隨著科技的飛速發展，對非線性系統控制的深入研究也變得越來越重要。這是因為非線性系統存在于各個領域之中，尤其在工業領域無處不在，比如在汽車中就存在了很多非線性系統——減震系統[1]、剎車系統[2]、安全氣囊系統[3]和點火系統[4]等等。然而，由于非線性系統存在著不確定性，而且在一些特殊情況下無法估計其中的一些參數和函數，這也就使得對于非線性系統的研究比較復雜。

劉曉瞳使用了動態模糊邏輯控制的方法對非線性系統的控制進行了研究，該方法結合了自適應控制和模糊邏輯控制的優點，能對非線性系統進行控制[5]。張春蕾等人研究了輸入飽和和輸出受限的純反饋非線性系統,設計了一種神經網絡自適應控制器[6]，最后通過仿真例子證明了控制方案的有效性。機械臂的非線性系統研究在智能控制領域有著極其重要的意義。文獻[7～9]介紹了多種對機械臂的控制方案，通過采用到了各種補償的方法，能夠對系統進行較好的控制，最后利用仿真對所提出方法進行了驗證。上述文獻中都有各自的優點，基本上都是對非線性系統的不確定部分進行了一定的補償，但是在設計方法上較為繁瑣，在一些函數的構造方面有一定的困難，需要花費大量時間去構造和設計。

反演控制方法在處理不確定性系統的相關問題上有著良好的表現。黃靜雯等人研究了一類反演控制方法并應用于橋式吊車模型上，能夠解決吊橋負載質量、摩擦力以及狀態耦合等不確定性問題[10]。李雅琦等人針對汽車的懸架系統采用了反演控制的方法，對車輛垂直加速度、懸架動撓度和輪胎動位移等懸架系統評價指標進行了研究[11]，通過仿真采用這種控制策略提高了系統的性能。李洋等人針對超空泡航行體姿軌控制的模型不確定性問題，利用反演控制方法對其控制器進行了設計，結果表明了該控制器的有效性[12]。

本文對一類二階不確定的非線性系統進行了研究，并提出了一種易于設計的自適應控制方法。該方法一方面利用了RBF神經網絡的逼近能力和自學習能力的特性，對系統的不確定部分和非線性部分進行了逼近。另一方面根據反演設計方法逐步遞推的思想，對Lyapunov函數進行了一步步的設計，并且證明了該閉環系統是穩定的。最后利用仿真例子說明了本文所提出的方法的有效性。

1 問題描述

現考慮一類二階不確定的非線性系統

其中系統的不確定項由φ(x1,x2)∈R表示，不確定的非線性函數由ψ(x1,x2)表示，系統的控制輸入u∈R用表示，外界的干擾用d(t)表示。

本文中系統的控制任務是在有系統的不確定項、不確定的非線性函數和干擾的情況下，設計出控制律u，并使得輸出信號x1能跟蹤期望軌跡xd，并且能使得所有的信號都有界。由于反演控制設計方法在處理不確定性非線性系統時有很大的優越性[13]，所以本文采用反演控制法對系統的控制器進行設計。

2 基于RBF神經網絡的反演控制

2.1 RBF神經網絡相關算法

在對系統的控制過程進行設計時，通常情況下對不確定項的逼近可以利用RBF神經網絡。而在本文中對系統的不確定項φ(x1,x2)和不確定的非線性函數的ψ(x1,x2)逼近也采用了RBF神經網絡。圖1表示的是基于RBF神經網絡的自適應控制結構圖[14]。

圖1 RBF神經網絡自適應控制結構圖

RBF神經網絡對ψ(x1,x2)和φ(x1,x2)的逼近算法為

ψ(x1,x2)=W*Thψ(x)+εψ,φ(x1,x2)=V*Thφ(x)+εφ

其中神經網絡的輸入用x表示，網絡的輸入個數用m表示，第j個神經元的輸出用hj表示，第j個神經元的中心點向量值用cj表示，隱含層神經元j的高斯基函數的寬度用bj表示，W*和V*為神經網絡的理想權值，神經網絡的逼近誤差用εψ和εφ表示，且|εψ|≤εMψ，|εφ|≤εMφ[14].網絡的理想輸出用ψ和φ表示。

定義神經網絡的輸入為x=[x1,x2]T,則網絡輸出為

hψ(x)和hφ(x)為RBF神經網絡的高斯基函數。

(2)

(3)

2.2 自適應RBF神經網絡反演控制器設計

現考慮理想情況下外界干擾d(t)=0.根據式(1)，定義一個角度誤差

θ1=x1-xd

則

(4)

接下來采用反演控制方法對控制器進行設計。

1) 定義第一個Lyapunov函數。

(5)

對S1進行求導，得

(6)

則式(6)可化為

2) 定義第二個Lyapunov函數。

(7)

對θ2進行求導，并將式(1)代入得

(8)

則

(9)

(10)

其中k2>0.

將式(10)代入式(9)可得

2.3 穩定性分析

根據式(10)可設計相應的理想的控制律

(11)

其中，η>0.為了克服神經網絡的逼近誤差，保證系統的穩定性，所以加入了魯棒項ηsgn(θ2)[15].

根據2.2節的分析，由式(5)和式(7)可構造Lyapunov函數為

其中γ1>0,γ2>0.

對式(12)求導得

現對式(8)進行改寫

(14)

結合式(2)、式(3)、式(11)和式(14)，則式(13)可化為

θ2(εφ+εψu)-η|θ2|

(15)

取自適應律

則

因為εψ和εd可以取得足夠小，若η≥|εφ+εψu|，則

3 仿真結果與分析

為了驗證本文所提出的控制方法的有效性，本文采用MATLAB對所設計的非線性不確定性自適應RBF神經網絡反演控制系統進行仿真研究。非線性控制系統采用式(1)，控制律和自適應律采用式(10)，式(16)和式(17)。

下面使用2個例子進行仿真實驗：

a)仿真具體參數為：

其中mc=1，m=0.1，g=9.8，l=1.

取位置信號為xd(t)=sint，在10到12s時加入干擾d(t)=0.2cost，其余時間d(t)=0，系統的初始狀態為[0.5 0]，網絡的輸入信號取x1和x2，k1=k2=10，η=0.01，γ1=0.1，γ2=0.01.

仿真部分主要分為對位置信號的跟蹤和誤差跟蹤。具體仿真結果如圖2、圖3所示。

圖2 位置信號和位置信號的跟蹤

圖3 誤差跟蹤

圖2表示的期望軌跡和實際跟蹤軌跡。從仿真結果中可以發現，在0.5 s時，實際跟蹤軌跡就可以較好地跟蹤期望軌跡，并且在外界干擾出現后，系統能在1 s左右恢復到原有的跟蹤狀態，且在后續過程中也能一直保持穩定。圖3顯示的是實際跟蹤軌跡與期望跟蹤軌跡之間的誤差，可以發現在0.5 s后，系統的跟蹤誤差可以控制在0.015以內，且在干擾結束后的1 s左右，系統的誤差能迅速地減小到0.015以內。

b)仿真具體參數為：

仿真部分主要分為對位置信號的跟蹤、誤差跟蹤和控制器輸入信號的跟蹤。具體仿真結果如圖4、圖5所示。

圖4 位置信號和位置信號的跟蹤

圖5 誤差跟蹤

圖4為期望軌跡和實際跟蹤軌跡。從仿真結果可以看出，系統在0.7 s后，實際跟蹤軌跡能較好地跟蹤期望軌跡，在持續外界干擾出現后的0.25 s左右，系統也能維持穩定狀態，且對干擾有一定的抑制能力。圖5表示實際跟蹤軌跡和期望跟蹤軌跡之間的誤差，可以發現在沒有干擾時，系統在0.7 s后系統的誤差能減小到0.022以內，在干擾出現之后的0.25 s，系統也能對干擾進行抑制，使誤差控制在0.08以內，并且在后續的過程中誤差也能維持在0.08以內。

通過上面兩個仿真研究可以發現，系統不管是在突然出現干擾或者持續出現干擾之后，都能迅速地對干擾進行抑制，且使得系統維持在穩定狀態。除此之外，在系統的不確定項和不確定的非線性函數發生變化后，系統的輸出信號仍然能對期望軌跡進行較好地跟蹤，這說明了本文設計方案的可行性和有效性。

4 結論

在本文中對一類二階非線性控制系統的不確定性問題進行了研究。針對該問題，本文結合了RBF神經網絡和反演控制的相關方法和理論的優點，設計了二階非線性控制系統的控制器和自適應律，然后利用了Lyapunov的穩定性相關理論說明了在這種控制方法下，系統是穩定的。從仿真結果可以發現，本文所設計的控制方案能對具有不確定性的二階非線性系統進行自適應控制，且在應對短暫的外界干擾和持續的外界干擾時均具有一定的自適應能力。