角錐棱鏡偏振特性的理論研究

王皎悅 王垚廷 杜 雯

（西安工業大學基礎學院，陜西 西安 710021）

0 引言

角錐棱鏡是由3個相互垂直的平面鏡拼接而成的光學元件，它可將任意角度入射的光線沿原光路反向平行射出，且光線在棱鏡內部的光程為一常量，通常其可作為全反鏡［1-2］。角錐棱鏡因其整體結構特殊，且具有較強的抗失調特性，被廣泛應用于激光通信、激光測量、光學變換等光學儀器中［3］。角錐棱鏡對光線的偏振態也有一定影響，當偏振光垂直入射到角錐棱鏡的有效入射面時，出射光會產生不同于入射光的偏振態［4］。可用瓊斯矩陣來描述光線的傳播過程，進而對角錐棱鏡的偏振特性進行研究［5］。本研究成果對角錐棱鏡環形腔激光器的設計和測量工作有著十分重要的作用。

1 角錐棱鏡的光學性質

角錐棱鏡OABC的結構如圖1所示，等邊三角形ABC為角錐棱鏡的底面，三個等腰直角三角形AOB、BOC、AOC為角錐棱鏡的內反射面，分別位于xoy、yoz、xoz平面內。光線從角錐棱鏡底面ABC上的S點入射后，經AOB、BOC、AOC上的S1、S2、S3點全反射后，從底面ABC上的S'點射出，設OA=OB=OC=a，頂點坐標分別為A（a，0，0）、B（0，a，0）、C（0，0，a）。

圖1 角錐棱鏡內部光線追跡矢量圖

設N1、N2、N3、N4分別為BOC平面、AOC平面、AOB平面、ABC平面的法向量，用i、j、k分別表示x、y、z軸負方向的單位向量。

BOC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（1）。

AOC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（2）。

AOB平面的平面方程及其單位法向量方程見式（3）。

ABC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（4）和式（5）。

角錐棱鏡的空間方程，見式（6）。

設A1、A2、A3、A4分別為SS1、S1S2、S2S3、S3S'光線的方向矢量，則從底面ABC入射到AOB平面上的光矢量A1的計算公式見式（7）。

式中：l、m、n分別為SS1光線在x、y、z軸上的投影長度。入射到AOB平面上的光線反射情況如圖2所示，k為AOB平面上的法線，根據幾何關系可得式（8）。

圖2 AOB平面反射矢量圖

則從AOB平面射向BOC平面的S1S2光線矢量A2的計算公式見式（9）。

從BOC平面射向AOC平面的S2S3光線矢量A3的計算公式見式（10）。

從AOC平面射向ABC平面的S3S'光線矢量A4的計算公式見式（11）。

式（8）與式（11）點積可得式（12）。

由式（12）可知，矢量A1與矢量A4的方向相反，也就是說，入射到角錐棱鏡底面的光線與通過其內部反射后的出射光線是反向平行的。由此可知，角錐棱鏡的位置對出入射光線的方向不會產生影響。

2 角錐棱鏡入射和反射光線之間的坐標變化

以光線垂直入射到角錐棱鏡底面上的情況為例，將角錐棱鏡置于立方體中來研究光線的傳輸情況，如圖3所示，ABCDEFGH為立方體，AIJK為角錐棱鏡。光線沿GA方向入射到角錐棱鏡底面IJK上，在立方體中建立xyz坐標系，假設光線沿GA入射的方向為z軸、BD方向為y軸，xyz軸符合右手定則。光線在角錐棱鏡的3個內表面來回反射，為了便于研究，同時建立描述光線偏振態的spk局部坐標系，以光線入射方向為矢量k的方向，垂直于入射面方向為矢量s的方向，spk矢量符合右手定則。

光線反射到每個面上都會產生一個新的spk坐標系，新的坐標系是經舊的坐標系旋轉得到的。當迎著光線傳播方向繞k軸順時針旋轉時，角度為負值；繞k軸逆時針旋轉時，角度為正值。

光線沿GA方向入射到IJK平面時（見圖3），立方體A（Cube A）表示光線第一次入射，令局部坐標系的矢量k為入射光線GA的方向、矢量s為BD的方向。

圖3 立方體光線入射圖

當光線通過IJK平面折射后，傳播方向不變，此時仍沿GA方向入射到ABCD平面上，AE為ABCD平面的法線，因此AEGC為第一入射面，局部坐標系沒有發生變化，令k1、s1為光線第一次入射時在spk坐標系中的矢量方向，矢量k1為入射光線GA的方向，矢量s1為BD方向，因此局部坐標系旋轉角度為0°。設正立方體ABCDEFGH每個邊的長度為單位長度，如圖4所示，對角邊AC、EG長度為2，入射角∠GAE=α，二者的關系見式（13）。

圖4 AEGC平面上的入射角

入射到ABCD平面上的光被反射后，沿C'E'方向繼續傳播，立方體B（Cube B）表示第一次反射，此時令k2、s2為光線第二次入射時spk坐標系的矢量方向，矢量k2為光線入射到第二個平面C'E'的方向，矢量s2為F'A'方向，如圖5所示。此時，出射光線C'E'的瓊斯矢量為JR(0°)Ein。

圖5 第一次反射的坐標變換圖

沿C'E'方向的光線入射到A'B'F'E'平面上，E'H'為A'B'F'E'平面的法線，因此第二入射平面為E'H'C'B'。此時，局部坐標系的矢量k2仍為C'E'的方向、矢量s2變為F'A'的方向。A'B'F'E'平面入射光線局部坐標矢量是由ABCD平面出射光線局部坐標矢量逆時針旋轉60°得到的。入射到A'B'F'E'平面的光線被反射后，沿B''H''方向繼續傳播，立方體C（Cube C）表示第二次反射，此時令k3、s3為光線第三次入射時spk坐標系中的矢量方向，k3變為光線入射到第三個平面的B''H''方向，矢量s2仍為F'A'方向，如圖6所示。此時，出射光線B''H''的瓊斯矢量為JR(60°)JR(0°)Ein。

圖6 第二次反射的坐標變換圖

從A'B'F'E'平面反射后的光線沿B''H''方向再射入A''D''H''E''平面上，與光線入射到前兩個平面上的傳播情況相同。立方體D（Cube D）表示第三次反射，如圖7所示，此時出射光線A'''G'''的瓊斯矢量為JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

圖7 第三次反射的坐標變換圖

從A''D''H''E''平面反射后的光線沿A'''G'''方向再入射到IJK平面上，此時要將A''D''H''E''平面出射光的局部坐標系逆時針旋轉60°才能與原坐標系重合，如圖8所示。此時，通過角錐棱鏡3個內表面反射后出射光線瓊斯矢量為R(60°)JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

圖8 出入射光線局部坐標系旋轉圖

光線進入角錐棱鏡后的整個反射過程可用4個連續的立方體來表示，如圖9所示。

圖9 立方體內光線完整傳播路徑圖

由圖9可以看出，出射光線與入射光線是反向平行的，并且其偏振狀態發生改變。

3 角錐棱鏡的偏振特性

光線在角錐棱鏡中按照AIJ-AIK-AJK的順序依次反射，用1、2、3分別表示這三個平面，則經過此過程出射光線的瓊斯矩陣見式（14）。

由于光線可從任何一個平面開始反射，且反射順序可按照順時針和逆時針方向進行旋轉，因此按照上述過程，從角錐棱鏡底面入射的光線共有6種傳播路徑，可將角錐棱鏡底面劃分為6個區域，如圖10所示。每個區域的入射光線代表一種傳播路徑，則每條傳播路徑所對應的瓊斯矩陣見式（15）。

圖10 角錐棱鏡底面入射區域圖

在角錐棱鏡中，內表面的反射瓊斯矩陣可以寫成式（16）。

式中：RP、RS為對角線反射系數，在全內反射情況下||RP= ||RS=1，δp、δS為反射的相位躍遷函數，僅由折射率n與入射角α決定，i為3個反射面。為了便于計算，可將式（16）用復反射系數rp和rs來表示，見式（17）。

以光線在角錐棱鏡中按AIK-AIJ-AJK的傳播路徑為例，整個過程中的瓊斯矩陣見式（20）。

將反射矩陣與旋轉矩陣帶入（20）式，可得式（22）。

為了簡單描述，式（22）可表示為式（23）。

由于角錐棱鏡內部的光學表面性質相同，且光線由棱鏡底面IJK垂直入射，因此棱鏡三個內表面反射系數rp1=rp2=rp3=rp、rs1=rs2=rs3=rs，則可計算出式（23）瓊斯矩陣中的各個元素，見式（24）。

同理，可計算出其余5種傳播路徑瓊斯矩陣中的各個元素，結果如表1所示。

當光線以54.736°的角度入射到折射率為1.515的角錐棱鏡中，光線在3個內表面發生全反射。可計算出rp和rs，見式（25）（26）。

將式（25）（26）帶入式（24）中，再利用方程組可計算出瓊斯矩陣中的元素，見式（27）。

由此可得，光線以AIK-AIJ-AJK路徑傳播時的瓊斯矩陣見式（28）。

按照同樣的方法計算出其余五種傳播路徑的瓊斯矩陣，結果如表2所示。

通過分析式（24）和表1可知，瓊斯矩陣J213和J312中的元素J11、J12、J21、J22同時存在rp3和rs3項，此時入射光經角錐棱鏡反射后的偏振狀態沒有發生變化，而其余4種路徑瓊斯矩陣中的元素缺少rp3或任意一項，此時入射光經角錐棱鏡反射后的偏振狀態發生變化。通過分析式（28）與表2可得，線偏振光沿AJK-AIJ-AIK和AIK-AIJ-AJK這兩條路徑在角錐棱鏡內表面反射后，出射光仍為線偏振光。當線偏振光沿其余4種路徑在角錐棱鏡內表面反射后，入射光的偏振狀態發生變化，此時出射光為橢圓偏振光。

表1 其余五種傳播路徑瓊斯矩陣中各元素

表2 其余五種傳播路徑的瓊斯矩陣

4 結語

筆者通過對角錐棱鏡光學特性和偏振特性進行研究，得出角錐棱鏡中出入射光線反向平行這一光學特性。通過立方體光線追跡法得到6種描述光線偏振特性的瓊斯矩陣。通過計算6種路徑的瓊斯矩陣得出角錐棱鏡內部存在2條特殊的傳播路徑，當線偏振光沿此路徑傳播后，出射光仍為線偏振光，沿其他路徑傳播后，出射光變為橢圓偏振光。由于角錐棱鏡具有良好的光學特性和豐富的偏振特性，其對環形腔乃至激光器的設計具有很大的幫助。