消費者參考質量和參考價格影響下企業質量改進與過程創新動態控制研究

王新平,張 乘

(西安科技大學 管理學院,西安 710054)

“雙循環”新發展格局下,企業需要推進高質量發展及創新決策,應對復雜多變的競爭環境。為探究企業在消費者參考質量和參考價格影響下的質量改進與過程創新,首先需要了解過程創新通常是指企業降低邊際生產成本[1],而質量改進可以以產品創新及產品質量的提高來描述[2]。國內眾多外學者圍繞質量改進與過程創新展開了一系列研究。Chenavaz[3]建立了動態定價及創新投資的最優控制模型,其中需求取決于產品價格及質量,研究發現,質量上的任何改進均會提升產品價格,動態定價隨著產品質量和成本的增加而增加,并且過程創新是企業定價決策的決定性因素。Liu等[4]利用最優理論和博弈論,研究了雙寡頭壟斷下質量改進和降低邊際生產成本之間的選擇機制,得到不同情境下的最優創新投資及產品價格策略。Lambertini等[5]分析了單一產品壟斷企業的最優研發策略組合與系統穩態,企業不斷降低成本并努力提升產品的質量,研究表明,質量改進的瞬時努力提升了產品質量,過程創新的研發努力降低了邊際生產成本,兩種努力在穩定狀態下相互促進。在此基礎上,Lambertini等[2]進一步分析了壟斷企業降低成本和提升質量的最優投資組合,建立了描述質量改進和過程創新努力的時間演變控制方程,并對比了企業在利潤最大化和社會福利最大化情景下的質量改進及過程創新投資差異。Pan等[1]提出了一個基于知識累積的產品創新(質量改進)和過程創新的動態最優控制模型,分析了產品的價格、質量、生產成本、知識累積率、創新投資等變量之間的關系,通過分析得出質量改進與過程創新投資的瞬時變化率互相替代等結論。Lambertini等[6]分析了單一產品壟斷企業過程創新投資與不斷提升產品質量的最佳研發組合,研究表明,質量改進和創新投資的激勵效應是由競爭市場富裕程度所決定的,以消費者的質量支付意愿來衡量,企業創新投資是在穩態均衡附近的補充,但邊際生產成本會影響決策的穩定性。Li[7]研究了產品創新和過程創新的知識積累,基于動態控制模型得出壟斷最優和社會規劃最優條件下分別存在唯一的鞍點穩定,幫助公司有效進行產品和過程創新的投資決策和動態定價。Li[8]進一步建立了具有網絡外部性特征的壟斷企業動態創新決策控制模型,其中產品的質量、價格、預期質量決定了消費者的需求函數。李壽德等[9]建立了網絡外部性條件下壟斷企業產品創新(提升產品質量)和過程創新的動態控制模型,通過對動態系統均衡策略的研究分析了企業在不同目標下的均衡投資策略,以數值模擬的方式表示企業最優策略演化路徑,并得出創新投資組合間相互促進等結論。雖然關于產品質量改進和過程創新的研究成果豐富,但現有文獻似乎很少考慮消費者參考質量和參考價格對企業動態決策的共同影響。實際上,隨著生活水平的提高,消費者增加了對高性價比產品的重視和預期,這極大地影響其購買行為和企業品牌認知,其中消費者的預期質量(參考質量)集中體現了消費者對產品質量的損失厭惡[10]。近年來,由于高科技市場的快速創新特性,消費者不斷更新其對產品質量、價格等屬性標準的期望[11]。參考質量和參考價格為企業的質量改進和過程創新決策提供了重要的參考依據。

因此,本文基于行為經濟學理論引入參考質量與參考價格,考慮其對消費者需求與企業決策的影響。消費者的需求不僅由產品質量及價格所決定,而且與過去消費經歷所積累的記憶及預期有關,即消費者參考效應[8]。其中,參考價格得到學者的廣泛關注。Cao等[12]研究了參考價格效應下制造商的聯合生產與動態定價問題,其中需求取決于產品價格和參考價格,具有消費者個體差異的隨機性特征,并通過隨機最優控制建模分析了最優生產量及定價策略,研究結果表明,隨著消費者記憶參數的增大,產品價格提升但預期的穩態生產速率降低。此外,消費者需求還受到質量等其他屬性參考點的影響,參考質量逐漸得到業界和學者們的關注。Chenavaz[13]研究了考慮消費者參考質量的企業動態質量改進策略。Li等[14]引入參考質量效應,研究壟斷企業產品創新(質量改進)和過程創新的最優決策問題,結果表明,隨著參考質量的增加,壟斷企業對創新的穩態投資不斷減少,過程創新的投資隨著消費者記憶參數的增加而增大。Li[8]將客戶的預期質量效應引入動態控制模型,得出隨著遺忘參數的增加,過程創新的努力大于產品創新,遺忘參數對投資與價格的影響小于網絡外部性。馬德青等[15]提出產品的實際質量與消費者預期質量的差異會影響產品需求,利用消費者參考效應下的微分博弈模型研究供應鏈的質量與營銷策略,并考慮公平、利他偏好對策略的影響。李保勇等[16]考慮消費者參考質量對需求的影響,分析供應鏈動態質量改進策略。實際上,當消費者購買產品的價格低于參考價格或產品質量高于參考質量,將會感知“收益”以提升需求,反之則會產生“損失”感[17]。因此,為了深入研究消費者需求及企業決策行為的影響因素,少部分學者開始考慮質量、價格等多重決策參照點[18]。Kopalle等[17]考慮了參考質量和參考價格,研究表明,當“損失”感知對需求的影響強于收益時,壟斷企業的子博弈完美納什均衡策略是不改變產品價格和質量水平,反之則應采取周期性的定價和質量策略。He等[19]利用微分博弈論分析了供應鏈質量改進的決策問題,并且同時引入了消費者參考價格和參考質量。Ma等[20]研究了雙重參考效應下制造商的動態定價。馬德青等[21]考慮了質量和服務水平參考效應,通過構建微分博弈模型探討零售商與制造商之間的變化關系,辨析不同決策模式下系統的動態規律,研究結果表明,消費者參考效應會影響質量及服務決策并損害供應鏈績效。但這些研究并不涉及參考質量和參考價格影響下企業的質量改進與過程創新動態決策問題。

綜上所述,有關質量改進與過程創新、消費者參考效應、企業動態定價與投資決策的研究成果豐富。但現有文獻大多關注價格、質量等單一參考效應,鮮有文章同時納入參考質量和參考價格來探究企業質量改進與過程創新的投資決策與穩態均衡。而兩者對消費者需求行為與企業投資策略有著重要影響,是企業進行質量和創新決策的基礎。因此,本文引入參考質量和參考價格,修正了傳統的消費者需求函數,建立了雙參考效應下企業質量改進與過程創新動態控制模型,探討企業質量及創新投資決策問題,并分析系統的穩態均衡。在一定程度上豐富了投資決策理論及方法的研究,也為參考質量和參考價格影響下企業進行質量及創新決策提供了理論依據。

1 基本模型

本文探討了壟斷企業在連續時間t∈[0,+∞)內進行質量改進與過程創新的動態控制問題。假定企業產品質量q(t)隨質量改進的瞬時投資k(t)的增長而提升,并以δ∈[0,1]的衰減率退化。產品的邊際生產成本c(t)隨著過程創新的瞬時投資h(t)的增長而降低,并以σ∈[0,1]的折舊率降低。動態方程q(t)和c(t)可表示為:

這與文獻[6,8]中定義的動態方程一致,而在文獻[2]中給出的動態方程是非線性的,即:

其隱含的假設是質量改進(產品創新)和過程創新(成本降低)的投資具有即時的影響,這與現實不符。盡管技術折舊和知識累積沒有內生性模型,但兩個狀態方程中所存在的衰減率可解釋為在這兩個維度上技術折舊的效果優于知識累積。從消費者角度探析非線性動態方程系統,若企業在任何一個方向沒有研發投資,消費者可能會認為產品包含舊的、低劣的技術或知識[2]。此外,借鑒El Ouardighi等[22]對一般瞬時成本函數的界定,本文設定企業進行質量改進和過程創新投資的瞬時成本函數分別為和β均為正參數。

本文主要特征是將參考質量和參考價格引入動態控制系統。其中,參考質量是消費者基于過去質量記憶來比較當前產品質量的標準,對消費者需求及企業決策產生重要影響[13]。根據Kopalle等[17]對參考質量形式的描述,在區間[0,t]中參考質量r1(t)的功能形式由歷史產品質量的指數平滑過程所控制,代表了消費者一種衰減的記憶效應,其形式為

ri0為初始參考質量,ξ是消費者遺忘參數,也可視為參考質量的調整速度[14]。類似地,價格參考效應可由

的形式描述,其中,ω是消費者參考價格遺忘參數。將r1(t)和r2(t)關于t求導,可得如下微分方程:

根據文獻[17,24]中對于需求函數的描述,在連續時間t∈[0,+∞)內,消費者需求由產品質量、價格、參考質量及參考價格所決定,可由如下線性動態函數形式表示:

綜上所述,企業的瞬時利潤函數為

2 最優決策

在壟斷企業利潤最大化條件下,企業決策目標是求解最優質量改進投資k(t)、最優過程創新投資h(t)以及最優產品價格p(t),從而在連續時間內實現利潤現值Π的最大化,即:

式中,初始條件為:q(0)=q0,c(0)=c0,r1(0)=r1,r2(0)=r2。

最優控制模型式(7)的現值漢密爾頓函數可表示為

函數最大化一階條件以及對應的共態方程為:

相應的橫截性條件為:

根據Li等[14]的假定,本文設定ρ-σ＞0,使得壟斷企業的目標函數是在有界的范圍內進行過程創新,以保障最優解和系統穩態的存在。此外,影子價格(共態變量)是管理者愿意為既定有限資源的額外單位支付的最大價格,具有提升管理者問題洞察力的決策價值。利用橫截條件

求解微分方程式(14)、(15),可以得到以狀態變量和模型參數表示的影子價格:

首先,研究壟斷企業的定價策略,由式(9)、(17)可得產品的最優價格為

由式(18)可知,產品質量、邊際生產成本、參考價格、參考質量等均影響產品的最優定價策略。將式(18)對q(t)、c(t)、r1(t)和r2(t)分別進行微分,可直接得出:

即在企業利潤最大化條件下,連續時間t∈[0,+∞)內,價格隨產品質量和邊際生產成本的增加而增加。同時最優產品價格隨著參考質量的提升而降低,隨著參考價格的提升而增加。其次,探究企業利潤最大化條件下的瞬時投資變化率。將式(10)、(11)分別對時間微分后代入式(12)、(13),并將式(18)代入,得到對應的Ramsey條件:

線性微分方程式(19)、(20)表示壟斷企業在質量改進和過程創新上瞬時投資的變化率。4個狀態變量q(t)、c(t)、r1(t)和r2(t)同時出現在兩個動態控制方程中,這說明,壟斷企業在質量改進和過程創新的瞬時投資是相互依存的。下面將探究消費者參考效應對企業瞬時投資變化率的影響。由動態控制方程組可知,消費者的參考質量r1(t)、參考價格r2(t)及參考價格遺忘參數ω對壟斷企業在質量改進與過程創新的瞬時投資變化率均有影響,而消費者參考質量遺忘參數ξ只影響壟斷企業在質量改進瞬時投資的變化率將動態方程式(19)、(20)分別對r1(t)、r2(t)和ω進行微分,同時將式(19)對ξ進行微分,可總結得到命題1。

A1、A2及證明見附錄A。

命題1表明,壟斷企業在質量改進與過程創新的瞬時投資受到參考質量和參考價格的雙重影響,對應如下結論:①隨著參考質量的增加,企業質量改進的瞬時投資率不斷提升,而過程創新的瞬時投資率卻不斷降低;②隨著參考價格的增加,企業兩種策略的瞬時投資率不斷降低;③若

命題2在壟斷企業利潤最大化條件下,連續時間t∈[0,+∞)內時,企業對質量改進和過程創新的投資組合之間具有互補性(替代性);當產品質量q(t)和邊際生產成本c(t)分別變動時,兩種投資組合之間均具有替代性。

證明見附錄B。

命題2表明,當質量改進投資k(t)和過程創新投資h(t)具有相同符號時,壟斷企業對質量改進和過程創新的投資組合具有互補性,即企業在提升產品質量和降低邊際生產成本的投資組合發揮協同作用。當產品質量和邊際生產成本在均衡條件附近變動時,壟斷企業對質量改進與過程創新的投資組合是相互替代的。接下來,分析投資組合的變化規律。將企業質量改進瞬時投資率對過程創新投資h(t)進行微分,并將企業過程創新瞬時投資變化率)對質量改進投資k(t)微分,可得命題3。

命題3在連續時間t∈[0,+∞)內,有:

證明見附錄C。

由命題3可知,在連續時間t∈[0,+∞)的每一節點,隨著壟斷企業過程創新瞬時投資h(t)的下降,質量改進瞬時投資變化率不斷增長;同樣地,壟斷企業過程創新瞬時投資變化率隨著質量改進瞬時投資k(t)的增加而降低。這與Li等[14]對企業提升產品質量和降低邊際生產成本投資組合的研究結果一致。

3 穩態分析

為了分析狀態變量q(t)、c(t)以及消費者參考效應狀態變量r1(t)、r2(t)的變動如何影響壟斷企業的均衡投資策略,先施加穩態條件0。根據式(19)、(20)可得企業利潤最大化條件下的均衡質量改進投資和均衡過程創新投資分別為:

接下來分析狀態變量q(t)、c(t)、r1(t)和r2(t)對企業均衡投資的影響,可由命題4表示。

命題4在壟斷企業利潤最大化條件下,有:

證明見附錄D。

命題4表明,企業的穩態投資受到產品質量、邊際生產成本、參考質量及參考價格的影響。隨著質量的提升、邊際生產成本的增加、參考質量的下降或參考價格的上升,企業的穩態產品質量改進投資k m(q,c,r1,r2)不斷增長;企業的穩態過程創新投資h m(q,c,r1,r2)隨著邊際生產成本或參考價格的降低而增長,并且當

時,企業的穩態過程創新投資隨著產品質量的提升或參考質量的下降而增長(降低)。對命題4進一步分析可得,在參考質量和參考價格雙重影響下,若未能滿足消費者對更高質量和更低價格的心理預期,會使得消費者感知“損失”,進而降低消費者需求,企業通過加大對質量改進和過程創新的投資,從而提升產品質量并降低生產成本,進而保障企業的利潤率。利用命題4的微分結論進一步比較企業兩種穩態投資的大小可得以下推論。

推論 在壟斷企業利潤最大化條件下,隨著消費者遺忘參數ξ的不斷增大,很有可能使得均衡質量改進投資k m(q,c,r1,r2)大于均衡過程創新投資h m(q,c,r1,r2)。消費者遺忘參數ξ在決定均衡投資k m(q,c,r1,r2)和h m(q,c,r1,r2)的水平上發揮著重要作用。同時且當

命題5當2(ρ+ω)(a2+a4)-a4ω-ω＞(＜)0時:當產品質量q(t)在系統穩態均衡k m(q,c,r1,r2)和h m(q,c,r1,r2)附近變動時,壟斷企業對質量改進與過程創新的投資組合具有互補性(替代性);類似地,當邊際生產成本c(t)在穩態均衡附近變動時,投資組合具有替代性;當參考質量r1(t)在穩態均衡附近變動時,投資組合具有互補性(替代性);當參考價格r2(t)在穩態均衡附近變動時,投資組合具有替代性。

證明見附錄E。

由命題5可知,企業對質量改進與過程創新的投資存在互補或替代關系。可以說明為:保持其他參數不變時,邊際生產成本降低會使得邊際利潤率提升,同時在消費升級時代下,更高質量的產品能夠刺激消費者的總消費能力,通過吸引更多高品質追求的消費者,促進對產品質量需求的擴大。然而,提升產品質量的同時會提高生產成本,使得消費者的需求降低,影響企業的收益。進而,考慮消費者參考效應,企業能夠滿足消費者對較高質量的心理預期時,會提高消費者需求。然而,這將伴隨產品的較高質量,會使得生產成本較高。企業能夠達到消費者對較低價格的期望,使消費者感知“收益”,將會促進消費者的購買行為。

下面探討企業質量改進和過程創新的投資策略是否存在穩定狀態,由動態約束方程式(1)～(4)以及兩個Ramsey條件式(19)、(20)可得到如下耦合線性動態控制系統:

系統式(23)由6 個微分方程組成,以描述k(t)、h(t)、q(t)、c(t)、r1(t)及r2(t)在連續時間t∈[0,+∞)內的動態演變。在穩態條件下可求得系統的穩態均衡解,并以穩態平衡“m”表示,可得命題6。

命題6在壟斷企業利潤最大化條件下,系統存在穩態均衡{k m,h m,q m,c m,r m1,r m2},存在可行的參數取值使得此均衡為鞍點。其中:

證明及D1～D4見附錄F。

4 敏感性分析與一般解

4.1 敏感性分析

本文中消費者的參考質量遺忘參數ξ與參考價格遺忘參數ω為重要研究指標,故進一步對ξ與ω進行敏感性分析,探究參考質量與參考價格對穩態均衡投資與定價的影響。在附錄F 第1組參數值的基礎上,對消費者遺忘參數的數值進行上下波動調整,繪制出敏感性分析圖(見圖1～4)。

由圖1可見,保持其他參數值恒定時,壟斷企業對質量改進的穩態投資k m隨著消費者參考質量遺忘參數ξ的增大而降低,隨著消費者參考價格遺忘參數ω的增大而增大。此外,質量改進穩態投資對參考質量遺忘參數較參考價格遺忘參數更為敏感。由于消費者遺忘參數的大小代表消費者對產品過去質量和價格的遺忘程度,當遺忘參數ω越大,消費者對產品的忠誠度越低,將導致消費者的需求降低,故企業會加大對質量改進的投資,以提升產品質量并滿足消費者對較高質量的期望,感知“收益”從而提升消費者需求。當遺忘參數ξ越大,盡管消費者對產品忠誠度降低,但ξ通過影響產品質量和價格從而使得消費者需求增長,故企業可減少質量改進投資。

由圖2可見,保持其他參數值不變時,企業對過程創新的穩態投資h m隨著消費者參考質量遺忘參數ξ的增大而降低,隨著消費者參考價格遺忘參數ω的增大而增大。由圖2對比圖1,消費者遺忘參數對企業過程創新穩態投資的影響要小于對質量改進穩態投資的影響。類似地,當遺忘參數ω越大,消費者對產品的忠誠度越低,將導致消費者的需求降低,企業加大對過程創新的投資以降低生產成本,從而促進企業收益。當遺忘參數ξ越大,盡管消費者對產品忠誠度降低,但ξ通過影響產品質量和價格從而使得消費者需求增長,故企業可減少過程創新投資,并調高產品定價以擴大企業收益。

由圖3可見,保持其他參數值恒定時,產品穩態價格p m隨著消費者參考質量遺忘參數ξ的增大而降低,隨著消費者參考價格遺忘參數ω的增大而增大。當遺忘參數ξ值越大,消費者的需求越低,企業會采取低價促銷的方式來擴大消費從而提升價格競爭力。而當遺忘參數ω值越大,企業加大質量改進和過程創新的投資以提升產品質量并降低生產成本,可采取較高的產品定價策略以提升企業收益。

由圖4的參考效應聯合敏感性分析可知,保持其他參數值不變的條件,當消費者參考質量遺忘參數ξ較小時,企業利潤隨著參考價格遺忘參數ω的增大而增大;參考價格和參考質量存在交叉影響,當遺忘參數ξ較大時,參考價格遺忘參數ω的提高反而不利于企業利潤的提升,企業應及時縮減價格與消費者期望價格的差值,降低產品價格。當ω較小時,企業利潤隨著遺忘參數ξ的增大而增大;當ω較大時,企業利潤隨著ξ的增大而降低,此時應加大質量改進投資提升產品質量,滿足消費者對較高質量的預期。企業通過對投資及定價策略的選擇降低消費者“損失”感知以滿足預期,從而提升消費者需求,保障企業收益。

4.2 一般解的數值模擬

定義{v1v2,…,v6}為特征根{ζ1,ζ2,…,ζ6}所對應的特征向量,其中,vτ=(vτ1,vτ2,…,vτ6)T可通過求解特征方程得到。由于系統是線性的,式(23)對應的一般解可以表示為

式中,zτ(τ=1,2,…,6)為恒定系數,可利用初始條件及橫截條件求得,橫截性條件表示系統收斂于穩態。通過數值模擬來分析企業質量改進和過程創新最優投資的演化路徑,由第1組參數值與式(24)可得壟斷企業利潤最大化條件下投資策略的一般解為:

由式(25)、(26)可得企業對質量改進和過程創新投資隨時間t演化的過程,如圖5、6所示。圖5、6顯示了壟斷企業的最優投資路徑,可得壟斷企業在連續時間內對于產品質量改進的投資k(t),以及對過程創新的投資h(t)會隨著時間的推移而逐漸下降,并且在該數值條件下壟斷企業質量改進投資k(t)高于過程創新投資h(t)。企業應該關注產品質量和價格對消費者需求的影響變化,基于行為經濟學重視參考質量和參考價格對需求和投資組合的影響,避免出現投資不足的問題。

5 結語

“雙循環”新發展格局下,企業面臨動態變化的競爭挑戰,通過推進質量改進以提升產品質量、加大過程創新投資以降低成本,從而滿足消費者需求以提升市場競爭力。消費者參考效應是企業進行產品質量改進和研發創新的關鍵,影響客戶需求與企業決策行為。考慮消費者“損失”(產品價格高于參考價格或產品質量低于參考質量)感知及消費者需求的影響因素是企業提升投資決策水平的重點。本文著重考慮了產品質量、價格、消費者參考質量及參考價格對需求的影響,構建了雙參考效應下壟斷企業質量改進與過程創新的動態最優控制模型,探究企業的投資決策與系統穩態均衡問題。得到如下主要結論:

(1)壟斷企業利潤最大化條件下,存在可行的參數取值使系統穩態均衡為鞍點。企業的穩態投資受到產品質量、邊際生產成本、參考質量以及參考價格的影響。在參考質量和參考價格影響下,若未能滿足消費者心理預期,會感知“損失”進而降低需求,企業通過加大對質量改進和過程創新的投資,從而提升產品質量并降低生產成本,進而保障企業收益。

(2)壟斷企業對質量改進和過程創新投資變化率的符號相同(相反)時,投資組合間存在互補(替代)效應。隨著過程創新瞬時投資的下降,企業質量改進瞬時投資變化率不斷增長,同時過程創新瞬時投資變化率隨著質量改進瞬時投資的增加而降低。企業在決策中要根據投資組合的互補及替代效應,調整資源的戰略配置。

(3)本文消費者需求函數由產品質量、價格、消費者參考質量及參考價格所決定。企業瞬時投資率隨著參考價格的增大不斷下降;隨著參考質量的增大,企業對質量改進的瞬時投資率不斷增長,但對過程創新的瞬時投資率卻不斷下降。參考質量和參考價格對消費者需求與企業決策行為均有影響,是企業進行投資決策管理的重要基礎。

(4)通過數值模擬分析了壟斷企業對質量改進和過程創新動態投資的最優路徑,通過敏感性分析發現:企業對質量改進和過程創新的穩態投資隨著參考質量遺忘參數的增大而降低,隨著參考價格遺忘參數的增大而增大,并且參考質量和參考價格存在交叉影響,企業質量改進投資對參考質量更為敏感。企業應及時調整投資與定價策略以提升消費者需求,滿足消費者對較高質量和較低價格的心理預期,進而提升企業競爭力。

本文為消費者參考質量和參考價格影響下企業的投資決策管理提供了參考依據,研究結果有助于企業采取有效的質量改進與創新投資策略,也可以為政府調控企業投資行為提供理論依據。但本文僅考慮了生產單一產品的壟斷企業,網絡視角下運營管理涉及多個企業的競合關系,多主體動態競爭策略以及考慮社會福利最大化值得進一步探討。

附錄A

命題1的證明將動態方程式(19)、(20)分別對r1(t)、r2(t)和ω進行微分,同時將方程式(19)對ξ進行微分,可得如下結果:

附錄B

命題2的證明

(2)將式(19)、(20)分別對q(t)、c(t)進行微分,可得:

通過移除時間項的方法,由上式可得:

附錄C

附錄D

命題4的證明將式(21)分別對q(t)、c(t)、r1(t)和r2(t)進行微分,可得:

推論的證明構建輔助函數Ωm(ξ)如下式所示:

將輔助函數Ωm(ξ)分別對ξ、ω進行微分,可知,

附錄E

命題5的證明

根據附錄D,由(1)、(3)可知,當2(ρ+ω)(a2+a4)-a4ω-ω＞(＜)0時,有:

附錄F

命題6 的證明先評估動態系統式(23)在穩態均衡附近的穩定性特性。令Jm=表示式(23)在穩態均衡附近的雅可比矩陣。

當雅可比矩陣的行列式det(Jm)＜0時,系統為鞍點均衡;當det(Jm)＞0時,系統穩定條件是雅可比矩陣的跡tr(Jm)=2ρ-ξ-ω＜0。此外,可利用雅可比矩陣特征值實部的符號判斷穩定性[7],即當特征值均為負實數時,系統穩定;至少有一個特征值有負實部而至少另一個是正實部,則存在鞍點均衡。由于Jm有6個特征值,難以評估det(Jm)和特征值的公式符號,可進一步利用數值模擬來進行穩態分析[5,7,14]。借鑒文獻[14,17]中的數值設定思路,設定數值計算的參數值如附表1、2所示。

附表1 數值計算第1組參數值

附表2 數值計算第2組參數值