帶分布時滯分數階微分方程非振動解的存在性

趙環環, 劉有軍, 康淑瑰

(山西大同大學數學與統計學院，大同 037009)

0 引言

鑒于分數階微分方程在流體力學、化學物理、電子網絡、動力系統控制理論、流體流動和經濟學等領域的有廣泛的應用。近十幾年人們又加快了對分數階常微分和偏微分方程的研究，取得了一定的進展[1–2]。此外，整數階泛函微分方程的振動理論由于其有重要的理論價值和現實意義，一直受到學者們的青睞，也得到了長足的發展[3–4]。與此同時，我們關注到學者們對一類中立型微分方程非振動解的存在性做了大量的研究工作[5–13]，通過對以上方程的發展歷程來看，它們的中立型部分主要討論的都是常時滯的，且主要研究思想是相似的。將中立型部分的系數分成四種情況來討論，即(?∞,?1), (?1,0), (0,1), (1,+∞)，并針對每一種情況通過構造相應的算子來證明。然而，中立型部分帶分布時滯的情形的相關文獻不多。在2013 年，Candan[13]討論了一階中立型帶分布時滯微分方程

這里γ是兩個正奇數的比，但是他僅僅研究了系數是

的情形，沒有給出其他三種情況的證明過程和結果。通過分析發現，產生這種情況的原因是按照已有的辦法構造算子在推導過程中出現了較大的困難。綜合以上，本文通過打破傳統，構造出新的算子，成功的克服了這個困難，依然得到了方程的中立型部分系數∫b a p2(t,ξ)dξ在四種情況下非振動解的存在的充分條件，并且在近年來，我們注意到了分數階微分方程振動性結果[14–18]，但帶分布時滯分數階微分方程的振動性論文較少。因此，研究該問題有其重要的理論價值和現實指導意義。

本文考慮分數階中立型微分方程

Φ(u)定義在R 上，關于u的連續遞增的實奇函數，且Φ?1(u)滿足局部Lipischitz 條件。gi ∈C(R,R),gi(u)滿足局部Lipischitz 條件，對u ?=0，有ugi(u)>0,i=1,2。

本文將會用到以下定義、性質和記號。

定義1若方程(2)的一個解有任意大的零點，則稱其為方程(2)的振動解，否則稱為非振動解。

定義2若存在充分大的t1>t0，對于x(t)∈C([t1?μ,∞),R)，使得

在[t0,∞)上存在，且滿足方程(2)，則x(t)為方程(2)的解，這里μ=max{θ,d,f}。

定義3[1]在半軸上的劉維爾分數階積分定義為

這里t ∈R,α ∈[0,∞)。

定義4[1]在半軸上的劉維爾分數階導數定義為

這里n= [α]+1,α ∈[0,∞), [α]定義的是α的整數部分。特別地，如果α=n ∈N，則f(t)=f(n)(t)，這里f(n)(t)是f(t)在通常意義下的n階導。

性質1[1]對α>0,λ>0，有

記Li分別是函數gi定義在集合A上的Lipischitz 常數，K是函數Φ?1(u)的Lipischitz常數，分別地

1 主要結果

定理1假設

且滿足下面情形之一：

則方程(2)存在一個有界的非振動解。

證明 令Λ是所有定義在[t0,∞)上的具有上確界范數

的有界連續函數的全體，則易知Λ是一個Banach 空間。

情形(a)

設A={x ∈Λ,M1≤x(t)≤M2,t ≥t0}，這里M1和M2是兩個正常數，且使得

由方程(2)，選擇t1≥t0+μ，當t ≥t1充分大時，使得

成立。接下來，在A上定義算子T如下

容易看出，T是連續的，對于t ≥t1,x ∈A，用(3)式，有

再用到(4)式，可得

這些表明TA ?A，由于A是Λ中有界的閉的緊集。為了應用壓縮映像原理，我們必須說明T是A上的一個壓縮算子。

對所有的x1,x2∈A，當t ≥t1時，有

這表明上確界范數

并且說明T是A上的一個壓縮映射，則由Banach 壓縮映像原理可得方程(2)存在唯一的正有界解∈A，使得T=，也就是

進一步，得

即有

根據性質1，容易看出?x(t)是方程(2)的一個非振動解。

情形(b)

設A={x ∈Λ,M3≤x(t)≤M4,t ≥t0}，這里M3和M4是兩個正常數，且使得

由(3)式，選擇t1≥t0+μ，當t ≥t1充分大時，使得

成立。接下來，在A上定義算子T如下

容易看出T是連續的，對于t ≥t1,x ∈A，用(7)式，我們有

且利用(8)式，得

這些表明TA ?A，由于剩下的證明過程與情形(a)證明類似，故省略了。

情形(c)

設A={x ∈Λ,M5≤x(t)≤M6,t ≥t0}，這里M5和M6是兩個正常數，使得

由(3)式，選擇t1≥t0+μ，當t ≥t1充分大時，使得

成立。由于剩下的證明過程與情形(a)證明類似，故省略了。

情形(d)

令A={x ∈Λ,M7≤x(t)≤M8,t ≥t0}，這里M7和M8是兩個正常數，且使得

由方程(2)，選擇t1≥t0+μ，當t ≥t1充分大時，使得

成立。由于剩下的證明過程與情形(b)證明類似，故省略了。

注1當α=n=1∈N,r(t)≡1,Φ(u)=uγ,q2(t,σ)=0 和h(t)=0，方程(2)中立型部分變成了方程(1)的中立型部分，核心是本論文將中立型部分的系數p(t,θ)dθ由原來的(?1,1)拓展到(∞,?1)∪(?1,1)∪(1,+∞)。

2 算例

例1考慮分數階帶分布時滯微分方程

這里

容易看出

因此，定理中情形(b)成立。事實上，x(t)=e?t是方程(9)的一個非振動解。