從“點狀”走向“結構”
——以“面積”模塊為例談縱向關聯(lián)下的教學實踐

林屏

（杭州師范大學東城實驗學校 浙江杭州 310019）

根據(jù)現(xiàn)代學習理論，學生數(shù)學學習的過程是認知結構形成、發(fā)展和完善的過程。目前，較多一線教師依然進行課時教學，往往忽視了整體與部分間的關系。筆者認為，教師應用整體的視角、聯(lián)系的觀點把握教材知識點之間的本質(zhì)聯(lián)系，研究教材編寫的邏輯性和系統(tǒng)性，整合課時、單元內(nèi)容，把握學段、學科內(nèi)容，以縱向結構關聯(lián)的視角，把教材中的各知識點有機結合起來，做到系統(tǒng)連貫、知識成串，從而幫助學生從“點狀”走向“結構”，使學生的數(shù)學學習結構化。

一、無意發(fā)現(xiàn)

（一）現(xiàn)狀描述

1.知識鏈條碎片化致使理解不透徹

傳統(tǒng)的教學關注學生的“課時”學習。具體表現(xiàn)為：教師重視知識的單向推進，而忽視知識的多維關聯(lián)。重視單一知識的呈現(xiàn)，忽視整體結構的呈現(xiàn)。

2.數(shù)學思維無體系導致方法未遷移

不僅知識有生命力，思維更具生命力，更應向下扎根向上生長。“點狀教學”往往將探究學習過程進行壓縮。許多教師執(zhí)教過程中缺乏方法上的溝通，本質(zhì)上的探尋，沒有帶領學生在本質(zhì)中探索序列線索，未能在序列線索中將思想融會貫通。

3.學科能力未關注造成欠缺學習力

“點狀教學”更多的是教師對學生的單向傳遞。這種教學未關注學科素養(yǎng)導致學科能力不足。具體表現(xiàn)為學生自主建構能力薄弱等，即學生習慣于被動接受，缺乏遷移、運用和創(chuàng)造的能力。

（二）成因分析

1.教材內(nèi)容的散點化

由于教材在編寫時要遵循學生的年齡特點和身心發(fā)展規(guī)律。從而調(diào)整了數(shù)學知識的結構。比如“面積”教學，在教材中分別安排在三下、五上、五下、六上、六下。這就要求教師教學時不能僅限于本年級，而必須前后貫通，做到前有滲透，后有鞏固與延伸。

2.教學過程的線性化

許多教師往往拘泥于具體的課時安排，按照教材的編排一課一課地進行教學，缺乏結構地教。比如學習了多邊形面積，學生會計算平行四邊形、梯形、三角形的面積，但還體會不到多邊形面積的測量本質(zhì)是相同面積單位個數(shù)的累加。只有教師結構化地整體設計時，才能引導學生在關聯(lián)中領悟知識的本質(zhì)，從而編織具有生命力的知識結構。

3.教學形態(tài)的知識化

教學方式仍顯單一，學生自己很難從知識源頭去探究、體驗、生成與創(chuàng)造，難以實現(xiàn)深度學習。教學評價仍側重知識技能的掌握，著力于知識的獲取，指向未來發(fā)展的素養(yǎng)導向的評價仍缺乏研究，對于發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決實際問題能力等評價力度不足。數(shù)學教學不能忽略了對學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)。比如不規(guī)則圖形面積的估測，需要教師引導學生體會化曲為直、移多補少的方法，滲透轉化思想的同時，初步滲透極限思想。

二、專意思考

（一）概念闡釋

結構教學是基于學情、開放整合、優(yōu)化結構、發(fā)展素養(yǎng)的數(shù)學課堂教學策略，縱向結構關聯(lián)教學是教師以整體、聯(lián)系的觀念對相關知識內(nèi)容以及思想方法的縱向梳理。需要厘清知識塊邏輯關系，立足生長點，挖掘延伸點，建構立體的結構關聯(lián)，實現(xiàn)有效銜接的同時，再現(xiàn)數(shù)學知識的全貌，還原數(shù)學本質(zhì)，從而形成知識技能的結構化，思想方法的漸進性，學習能力的可持續(xù)。

（二）理論基礎

布魯納指出：“掌握事物的結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方法去理解它。”簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣關聯(lián)的。結構化學習強調(diào)讓學生在活動中自主建構，實現(xiàn)點、線、面、體的多向關聯(lián)。

（三）實施原則

1.基于認知經(jīng)驗

從縱向結構關聯(lián)的視角分析研究教材和學情，將學生已掌握的知識、已獲得的經(jīng)驗與新學的知識溝通聯(lián)系起來，讓新知的學習變?yōu)閷εf知的延續(xù)、拓展，促進對新知的理解與遷移。

2.著力自主建構

為了將碎片化的知識有機串聯(lián)，應以核心知識為主線，把各個分散的知識點重新聯(lián)結在一起，形成整體融通的知識體系。

3.專注能力提升

用縱向結構關聯(lián)的視角去分析教材、串聯(lián)并拓展教材內(nèi)容，將“知識點”串聯(lián)成“知識鏈”，將“知識鏈”編織成“知識網(wǎng)”，不僅讓學生感受到知識間的聯(lián)系，也發(fā)展學生的思維，建立完善的認知結構。

三、創(chuàng)意實踐

目前，較多一線教師進行單元整合的相關研究，即橫向的結構關聯(lián)教學，但往往忽視了整體與部分間的關系，整合課時、單元內(nèi)容的同時，還應把握學段、學科內(nèi)容，以縱向結構關聯(lián)的視角，建立完整的知識結構體系。針對上述問題，筆者以“面積”模塊為例，從數(shù)學知識理解、數(shù)學方法遷移、學科能力發(fā)展三個維度，談談如何從點狀教學走向縱向結構關聯(lián)教學，來促進教師有結構地教，學生有關聯(lián)地學。

筆者將從尋找生長點、挖掘生長線，整合相似點、凸顯思考力，打破困惑點，培養(yǎng)學習力，這幾條路徑實現(xiàn)從“碎片學習”走向“結構學習”；從“孤立學習”走向“比較學習”；從“單一學習”走向“縱橫學習”，具體操作如下：

（一）指向數(shù)學知識理解

1.尋找生長點

教師需要以整體視角，樹立聯(lián)系觀，在課堂教學中突破課時、單元、學段的限制，厘清知識塊間的邏輯關系，溝通與之相關的知識，建構較完善的知識結構。以面積為例，筆者對人教版小學數(shù)學“面積”模塊相關知識進行了縱向梳理，如表1 所示：

通過梳理教材，我們不難發(fā)現(xiàn)三年級學習面積的概念，之后都是學圖形的面積特征和面積計算。由于面積的學習是小學生從度量一維的“線”的長短到度量二維的“面”的大小，是他們空間形式認識發(fā)展上的一次飛躍。長方形、正方形的面積計算是學生求解探索“面積公式”知識的起始課。是學習多邊形面積和其他圖形面積公式的基礎。我們以長方形正方形面積教學為例，思考生長點，擬定新目標。

案例一：

表2 案例

教學設計如下：

表3 教學設計

教學力求做到關注數(shù)學核心概念的滲透與落實，注重學生對核心內(nèi)容的深刻體驗。從數(shù)到估，處處鋪墊與伏筆，為后續(xù)的學習打下扎實的基礎。

2.挖掘生長線

從教學內(nèi)容中可以看出，《面積》的學習經(jīng)歷了一個由易到難的過程。圍繞認識面積、求面積（解決問題）這條主線，我們可以看到在認識完面積后，層層遞進（如下圖）。面積的計算公式是有形的，但隱藏在零散知識體系中的數(shù)學思想是無形的。我們在理清知識顯性脈絡，體現(xiàn)知識序列性的同時也應深挖其隱性脈絡。“求平面圖形面積”的隱性脈絡即“轉化思想”。立足生長點，挖掘生長線，有效銜接不同年段同一體系的相關知識內(nèi)容，才能幫助學生建立知識間的前后聯(lián)系，建構完整的知識網(wǎng)絡。

圖1

（二）指向數(shù)學方法遷移

1.整合相似點

“求平面圖形面積”一直從三年級貫穿至六年級，貫穿始終的除了面積的求法這一知識技能外，“轉化思想”同樣一以貫之。尤其是五年級上冊多邊形面積的學習過程中，教師在教學中將轉化思想推向了至高點。以“求面積”為知識線，轉化思想的滲透經(jīng)歷了以下幾個過程（圖2）：

圖2

我們以《多邊形的面積整理與復習》為例，思考相似點，重構整合，讓知識“聯(lián)”起來，讓方法統(tǒng)一起來，知識梳理，形成框架。教師引導學生梳理已學知識，形成知識網(wǎng)絡圖。這樣既幫助學生完善知識結構，又進一步拓展認知結構。數(shù)學知識中的有些知識在學生看來是完全不關聯(lián)的，但實際上在知識背后具有縱橫聯(lián)系，學生很難發(fā)現(xiàn)，是需要老師著力的地方，讓學生體會到幾個圖形公式推導層層遞進，共同利用轉化的方法。

在對平行四邊形、三角形、梯形的剪、移、拼的過程中，學生直觀體會到圖形間的轉化。把平行四邊形的面積轉化成長方形的面積，這樣就推導出平行四邊形面積公式。把三角形、梯形轉化成平行四邊形。這樣就推導出三角形、梯形面積公式。這就是上圖中雙向箭頭的含義。這樣，學生腦海里那些孤立、分散、無序的圖形知識點就穿成了鏈、攏成了片，織成了網(wǎng)，縱橫溝通，形成了系統(tǒng)化的知識結構。有利于學生方法的遷移，面積計算公式的推導。

2.凸顯思考力

重構梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯(lián)系。“多邊形的面積”這個單元還有一個內(nèi)在聯(lián)系——梯形面積公式，這是學生看來八竿子打不著的。那么就需要教師在練習課上，將梯形面積公式與其他圖形面積公式有機整合。通過動態(tài)演示梯形上底的變化，溝通梯形、三角形、平行四邊形公式間的關系。讓學生經(jīng)歷由模糊到清晰、由片面到全面、由感性到理性的認識過程。他們又進一步發(fā)現(xiàn)，梯形的面積公式是其他四種圖形面積的通用公式。于是建立起基于轉化思想的知識網(wǎng)，感受數(shù)學知識的邏輯性和系統(tǒng)性。在重構整合中，學生真真切切感受到各線知識的緊密聯(lián)系。抓住數(shù)學思想，具有單元性質(zhì)的數(shù)學知識就會被“提領而頓，百毛皆順”。

（三）指向學科能力發(fā)展

縱向結構關聯(lián)下教學，除了尋找學科知識的生長點，整合相似點，我們還要打破困惑點。有了知識網(wǎng)，還需要指向于知識網(wǎng)中每個或者某個節(jié)下知識點的應用練習，以凸顯學科能力的簡單應用為主，既能體現(xiàn)知識點的鞏固，又能以變式促成能力的提升。基于知識網(wǎng)下的結構性應用，更能以一種超脫的姿態(tài)助力學生打破困惑點，培養(yǎng)學習力。

1.打破困惑點

《不規(guī)則圖形的面積》一課是建立在學生已經(jīng)學習了多邊形的面積，初步掌握了轉化的思想方法上進行教學的。學生對于教材中數(shù)方格、轉化成基本圖形等估算面積的方法并不具挑戰(zhàn)性，因此，我們將教學內(nèi)容由估算不規(guī)則圖形面積轉變成盡可能精確地計算不規(guī)則圖形面積。旨在幫助學生體會化曲為直、逐步逼近的方法，滲透轉化思想的同時，初步滲透極限思想，為六年級圓面積的學習做鋪墊。

2.培養(yǎng)學習力

縱向結構關聯(lián)教學的目的，就是培養(yǎng)學生的學習力，讓學生能夠將新知融入原有的認知體系進行建構，并能在新的情境中創(chuàng)造性地解決問題。比如學生學習平行四邊形面積時采用轉化的思想，把不知道的圖形轉化成已經(jīng)知道的長方形。學生可以把轉化思想遷移到三角形、梯形、圓等面積的學習。

四、詩意收獲

數(shù)學知識的教學，要注重它的“生長點”與“延伸點”，教師要把每節(jié)課的知識放到整體知識體系中，注重它的內(nèi)在結構，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性。教師有結構地教，引導學生有關聯(lián)地學。

（一）從“碎片學習”走向“結構學習”

圖形的面積公式推導本來就是相互關聯(lián)的，教學中教師應重視在圖形及其性質(zhì)之間建立聯(lián)系，幫助學生建立轉化思想，促進學生學習方法的遷移，幫助學生把分散的內(nèi)容穿起來，變“碎片學習”為“結構學習”。

（二）從“孤立學習”走向“比較學習”

在某一階段，學生習得的一些知識經(jīng)驗又作為以后學習的基礎，數(shù)學知識的學習不能孤立地學，縱向結構關聯(lián)教學注重厘清知識塊邏輯關系的過程中，勾連相關知識，形成依據(jù)知識發(fā)展脈絡的線性知識結構，在聯(lián)系中比較，建立不同知識模塊的關聯(lián)，使知識結構立體化。

（三）從“單一學習”走向“縱橫學習”

任何知識都不是孤立的，教師要引導學生自主建立起學科的知識框架；同時，任何方法也不是單一的，縱向結構關聯(lián)及橫向結構關聯(lián)也不是互不相容的，二者互相補充，可以取得事半功倍的效果。

總之，教學中除了著眼課時、單元內(nèi)容，還要以宏觀角度，縱向關聯(lián)的視角著眼學段、學科內(nèi)容，把握數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程中的顯性與隱形脈絡，穿點成線、連線成面、勾面成體，盡可能幫助學生建立多維、立體、交叉的數(shù)學學科知識體系。縱向關聯(lián)視角下的結構化分析，整體化設計，幫助學生實現(xiàn)認知、思維結構的完善，促進學生學科能力的發(fā)展。