組合圖形面積計算中的錯例回收與利用

江蘇蘇州市吳中區胥江實驗小學（215164） 鄭介良

學生的錯誤本身沒有價值，師生從錯誤中汲取的經驗教訓才是其價值所在。在新授課之前，教師要預估學生可能犯下的錯誤，及早采取預防措施，盡量減少錯誤的發生率；調整策略，讓學生的錯誤全部曝光，并讓學生正視自己的錯誤，認真反省，汲取教訓。

一、課前錯例分析

在學校舉辦的教研活動中，筆者教學的是“組合圖形的面積”。組合圖形的面積是一個教學難點，但課時又相對少。教材的編排是先讓學生認識組合圖形，再通過例4（墻面面積的計算）引導學生將組合圖形分解成基本圖形，然后展示兩種算法（兩種算法均為裁剪法，添補法出現在練習中），借此傳遞算法多樣性和算法的優化。

如果教學目標僅僅是將組合圖形切割或者添補成一個規則圖形，就淺薄和短視了。因為求組合圖形的面積有很多方法，不能讓學生拘泥于一種模式，要為學生精心準備素材，體現多樣的分割方法，思維訓練要有序展開、分層推進，以激活學生的想象力和創造力，讓學生清楚地意識到，分割也是有講究、有分寸的，要根據題干條件合理分割，分割的原則是最后需要單獨計算面積的區塊最少。

例如，求圖1的圖形面積。

圖1

【錯解】（5+10）×（4.5+6）÷2=78.75（cm2）。

【原因分析】學生簡單地將兩個梯形合并成一個梯形，遺漏了中間的“公共底邊”，其實兩個梯形的斜腰并不在一條直線上。造成這種錯覺是情有可原的，因為很多學生只關心上底、下底和高，而忽視梯形的斜腰。例如，圖2也會被學生誤認為是梯形，于是（2+7）×5÷2=22.5（cm2）這樣的錯誤算式就出現了。對此，教師應該注意培養學生對組合圖形的觀察能力，通過眼力將其準確完美地“分割”到位。

圖2

圖1中的兩個梯形組合所得不是一個新的梯形，但學生卻在尋找捷徑的心理暗示下，以為其組合成了新的規則圖形（大梯形），想利用公式一次性搞定，結果卻是走了冤枉路。教師如果教學時一味強調圖形面積求法的技巧性和靈活性，就會造成這樣的結果。因此，教師教學時不能急功近利，要引導學生從基礎的分析入手——先判斷組合圖形是否具備可轉化性。

二、教學前測與預設

在教學“組合圖形的面積”前，筆者對學生做了一次前測。

1.預習目標：（1）能自述什么是組合圖形；（2）初步談談怎么求組合圖形的面積。

2.自學指導：

（1）課本第92、93頁提供的組合圖形有何獨特之處，又有哪些一般組合圖形的共性？我認為組合圖形是_________________。

（2）嘗試解答課本第93頁的“練一練”中的習題，不會的做上記號。

（3）計算組合圖形的面積時有何細節？你還有其他問題嗎？

前測結果顯示，對于“什么是組合圖形”這一問題，由于生活中的實例較多，所以學生回答起來沒什么難度；對于“計算面積時的細節”和“還有什么問題”，47.6%的學生在意計算，25.6%的學生在意公式，都沒有切中要害，16.6%的學生則注意是分割還是添補，有2名學生提出應該先求出圖中未知的條件，僅有1名學生在意分割的準確性和整體性。經過訪談發現，有些學生只會計算已經畫好分割線的組合圖形的面積。

教學后，學生的算法呈現多樣化，但是并沒有尋求最優解的意識。這是因為筆者是順著學生的思維，從眾多方法中選擇合適的開展教學，然后進行“三步走”：先算什么，再算什么，最后相加（或減）。因此，課后筆者不由得思考：為什么不將錯誤收集起來集體研究？為什么要逃避眼前的分歧？解決問題追求的不僅是答案的正誤，重要的是解決問題過程中的探索與思辨。

鑒于以上原因，筆者重新設計了教學：收集學生的錯誤資源，并公之于眾，集體討論，將錯誤當成典型的反面教材，以作警示。

錯誤并不可怕，可怕的是對錯誤蘊含的教學價值視而不見。學生犯錯必然是教師的教學存在盲區，如果教師一直按照基本模式出題，久而久之，學生就會形成路徑依賴，一旦遇到變式問題，就會執拗地使用老方法，不知道根據各圖之間的關聯從已知的必要條件推出未知的必要條件，分割時不知道優化，不知道嘗試不同的分割方式，找不到最優的分割方式……這些短板想靠習題訓練補齊幾乎不可能，因為題型千變萬化，沒有固定的模式可依，唯一的辦法就是抓住一個錯例深入挖掘和持續進行矯正訓練。

三、教學實施及策略

1.正視錯誤，學會“留白”

例如，對于圖3，學生嘗試分解組合圖形，先提出了橫切法和縱切法（如圖4和圖5）；接下來，學生想到斜切法（如圖6），這種錯誤分法令人猝不及防。

圖3

圖4

圖5

圖6

“到底對不對？大家集體商討。”筆者沒有急著否定斜切法。

教室鴉雀無聲。過了一會兒，有學生小聲嘀咕：“這個好像不是梯形。”“對，這不是梯形！”支持的人漸漸多起來。筆者笑著問：“誰來具體說一說？”學生：“我覺得分割得出的圖形算不上一個標準的梯形。”筆者繼續說：“乍一看像一個梯形，但真相并非如此，被分出的不是一個基本圖形，所以這種分法不合理。”

按慣例，筆者會不由分說馬上推翻學生錯誤的想法，但這次則留白，讓學生慢慢去觀察對比。這個錯誤分法中確實存在合理因素，圖6的右邊部分貌似具有梯形的部分特征。對此進行辨析和充分討論后，學生對梯形特征的認識就會更加清晰。

教師總是企圖將錯誤的分割法扼殺在萌芽狀態，刻意回避，生怕這種帶有“歪理”的切割法會干擾學生的思維，影響教學秩序。殊不知，越是隱藏這種錯誤帶來的危害就越大，學生思維中潛伏的錯誤因子會不定期爆發，就像一個定時炸彈威脅著其正常思維的發展，不如及早暴露及早解決。將錯誤推翻后，學生就會吸取教訓，彌補思維缺陷。

2.容納錯誤，讓學生各抒己見

針對學生得出的圖4、圖5和圖6，筆者追問：“還有別的分法嗎？”一位學生畫出了圖7。這早在筆者預料之中。“到底對不對？”很快，就有學生發現了破綻：“下面的圖形面積算不出來。”受他的提示，有學生幡然醒悟。“看來，這個圖形不是一個常見圖形，它的面積沒有公式可依，這種分法不當。”他思忖一會兒，說：“再加一條線（如圖8），可以補救。”這回得到大家的一致贊同。筆者繼續追問：“這樣分成了三個三角形，你們有異議嗎？”有學生覺得煩瑣。“如果能夠分割成兩個，就沒必要分成三個自找麻煩了。”筆者又問：“分割時要遵循什么規則？”學生開始議論紛紛：“分割成的每個圖形要有公式可依。分割得出的區塊越少越好。”

圖7

學習中的困難和錯誤，有時正是智慧之光，教師既要寬待學生的錯誤，又要去剖析、補救和修正，在絲絲入扣的分析后，總結出“要根據條件盡量選擇簡單的方法”的解題策略。這樣，學生學到的不僅是技巧，更是一種思想方法。同時，在集體商討的過程中，學生互相取長補短，不斷自我反思，不斷改進方法，完善認知。最后，通過交流，學生學會了批判性地看待問題。

3.剖析錯誤，變廢為寶

在學生修正錯誤后，筆者又問：“還有別的分法嗎？”學生畫出圖9。“這樣分，簡單。”許多學生都認同這個方法。因為這種分法很有迷惑性，所以筆者讓學生反思。“不對，簡單是簡單，但是無法計算面積。”果然，有學生看出漏洞。“為什么？”“這樣分出的三角形的底就是一個無法推知的未知量。”“如此一來，三角形的面積有求解的可能嗎？”“沒有。”筆者繼續追問：“梯形的面積有可能推算出來嗎？”“不能，因為上底也成了一個永遠無法知道的未知量。”這時，其他學生也醒悟了：“是的，這樣就出現許多未知量，這種分法應該排除。”筆者繼續追問：“那么，分割圖形時還應滿足什么要求？”學生紛紛發表意見：“所有的必要條件必須能夠算出來。”“圖形的底、高要知道。”……“很好，看來能夠分成規則圖形還不夠，光簡單也不夠，還要可操作。”筆者總結道。

圖9

對于這個意料之中的錯誤，教師讓學生自己發掘，學生的思維能得到發散，就會想到更深層次的要求。這種錯誤帶來了三方面的積極效果：糾正錯誤——學生發現分法的確簡單，但是不具備操作性；學法指導——在分析錯誤的過程中，利用互評讓學生不僅認識到錯誤，還找出錯因；培養學習習慣——在辨析的過程中，要學會傾聽別人的意見和觀點，不斷反思和完善自己的想法。

總之，錯誤總是與成長相伴左右的。面對學生的錯誤，教師要寬容，不能畏懼，而應順著錯誤資源不斷深挖徹查，讓學生為了查找錯因和修正錯誤而不斷深入探究。