地磁場中電子束結構運動的橫向約束與周期振蕩

焦鹿懷, 葛亞松， 張援農， 郭英杰， 馮明航， 付松

1 武漢大學電子信息學院空間物理系， 武漢 430072 2 中國科學院地質與地球物理研究所， 北京 100029 3 中國科學院大學， 北京 100049

0 引言

地球磁層和電離層空間中存在著大量的帶電粒子束結構.一般而言，自然形成的帶電粒子束通常來源于波粒相互作用引起的粒子沉降或等離子體不穩定性(Boehm et al., 1995).這些帶電粒子束通常具有很高的動能和很強的方向性，不僅會影響空間環境和空間天氣，還可以通過充放電效應、輻射損傷和單粒子效應等對人造衛星和宇航員安全造成潛在危害(Hastings, 1995; Castello et al., 2018).科學家們通過觀測、解析理論以及數值模擬來研究帶電粒子束的形成、演化和消亡等物理過程，分析帶電粒子束的時空分布演化及重要物理機制，進一步深入理解帶電粒子束對地球空間環境和人類太空活動的影響.

相對論電子束的特性及其與空間等離子體的相互作用可以應用于諸多空間物理學基礎問題的研究中.地面與空間等離子體實驗中往往利用電子束作為自由能的來源，通過其與實驗室或空間等離子體相互作用產生不同類型的等離子體不穩定性，從而激發與地球空間中類似的多類波動(Banks and Raitt, 1988; Reeves et al., 2020).以往研究發現電子束與等離子體相互作用可激發諸如哨聲模、伯恩斯坦模、朗繆爾模等波模(An et al., 2016; Farrell et al., 1989; Reeves et al., 1988; Starodubtsev and Krafft, 1999; Starodubtsev et al., 1999; Winglee and Kellogg, 1990)，是研究空間等離子體波動激發與傳播機制的一個重要手段.在地球磁層輻射帶區域，這些波動與輻射帶粒子的相互作用是地球輻射帶粒子動力學演化的主要機制 (Thorne, 2010).輻射帶是近地空間磁層區域由百keV到數十MeV電子質子組成的，地磁暴等地磁活動或者人為源可引起輻射帶電子通量的劇烈變化，對地球空間環境安全造成危害(Baker, 2001; Horne and Thorne, 2003).來自太陽風和電離層的粒子在磁暴期間通過波粒相互作用和徑向傳輸而加速，然后被束縛在1.5～5個地球半徑區域(Horne et al., 2005; Shprits et al., 2008a,b).這些粒子中一部分會沉降到大氣中(Bortnik et al., 2006; Green et al., 2004; Lorentzen et al., 2001; Millan et al., 2002; Millan and Thorne, 2007; O′Brien et al., 2004; Thorne et al., 2010).早期研究表明，波粒相互作用可以導致電子的投擲角擴散進而使它們沉降到大氣中(Kennel and Petschek, 1966; Thorne and Kennel, 1971)，因此，理解波粒相互作用導致輻射帶電子損失的物理過程與機理對認識輻射帶時空變化具有重要的科學意義，對預報災害性空間天氣現象也具有重要的應用價值. 近期研究表明空間甚低頻波動可以有效散射和沉降輻射帶粒子(Fu et al., 2019, 2020; Gu et al., 2020; Hua et al., 2020; Inan et al., 1984, 2003; Ma et al., 2020; Ni et al., 2013, 2014, 2019, 2022; Zhang et al., 2018; Zhao et al., 2019)，然而如何將甚低頻波高效地傳輸到輻射帶以及其他能量粒子區域還是一個重要的挑戰.自然環境中存在很多甚低頻波段的波，比如嘶聲波、合聲波和閃電激發的哨聲波，輻射帶中0.1～10 MeV電子可以與0.1～10 kHz的甚低頻哨聲模波發生共振.如在地球等離子體層外，離散的哨聲波組成的哨聲模合聲波頻率范圍為0.1～1fce(fce為電子回旋頻率，約100 Hz～5 kHz).在赤道面附近激發的哨聲模合聲波可以與電子相互作用，造成10 keV量級電子的投擲角擴散和沉降，產生脈沖極光(Lessard, 2012).哨聲模合聲波在傳播到高緯度區域后可與百keV和幾個MeV量級電子產生共振而造成其投擲角擴散(Lorentzen et al., 2001; Horne and Thorne, 2003; Thorne et al., 2005).因此，甚低頻哨聲模波可在不同區域與較大能量范圍的電子相互作用，并造成其散射沉降.

由于衛星對空間自然存在的甚低頻波和輻射帶能量粒子分布存在觀測局限性，因此主動控制不同能量和投擲角的電子注入實驗成為研究空間甚低頻波激發機制和波粒相互作用過程的重要方法(Reeves et al., 2020).其中使用人工調制的(通過改變發射角和能量)相對論電子束來激發VLF波是一種能夠將輻射帶電子散射到損失錐的有效方法，是目前此領域一個非常活躍的研究方向.前期對人工注入相對論電子束的動力學理論、不穩定性和損失的研究(Pritchett et al., 1989; Khazanov et al., 1999a, 1999b, 2000)已經表明此類實驗研究可加深我們對波粒相互作用過程的認識，并逐漸成為輻射帶與空間環境研究中一個熱點領域.

過去的電子束實驗遇到了諸多挑戰，例如在太空環境中電子束注入航天器表面時，航天器的快速充電效應會影響電子束本身的準確度，以及粒子束與背景等離子體的相互作用效果等(Scanchez et al., 2019).這些問題的解決需要我們對電子束和等離子體相互作用基本過程進行更加深入的了解，包括粒子鞘區的形成與波動場的擾動、等離子體與中性粒子的相互作用、波粒相互作用和非線性現象等(Neubert and Banks, 1992)，同時需要加深對電子束電荷電流中和問題的理解(Humphries, 1990).SCATHA航天器的電子束實驗研究了磁層等離子體和keV電子之間的相互作用，發現對于較低能量束流，等離子體可以提供返回電流來保證航天器電勢低于束縛電子束所需的電勢，從而可以完成電子束的有效發射；但當電子束能量高于keV量級后，大部分電子會回到了航天器.這種情況下可能造成航天器損傷甚至失靈等嚴重后果(Scanchez et al., 2019).因此，對空間帶電粒子束的動力學特性和物理機制的深入了解是進行電子束實驗的理論基礎.

空間帶電粒子束在傳播過程中的結構演化對其激發空間波動和波粒相互作用都有著重要的影響，尤其是其在地球磁場中的傳播特性尚不清楚.空間中帶電粒子束在運動過程中受到空間中背景磁場作用而偏轉，粒子受洛倫茲力而繞磁力線回旋，粒子間因庫倫斥力而相互遠離即粒子束因空間電荷效應而發散，因此這是一個多物理機制耦合的物理過程.針對此問題常見的研究方法有基于粒子束傳輸的解析理論求解包絡方程來研究粒子束的演化(Sacherer, 1971)，以及基于單粒子運動理論的試驗粒子模擬方法求解單粒子運動軌跡來研究粒子束軌跡(Northrop and Marshak, 1964).第一種方法適用于研究無背景磁場下粒子束空間電荷效應，但難以描述粒子束對磁場的響應；第二種方法可以研究帶電粒子束的運動對背景磁場的響應，但無法研究粒子間的空間電荷效應.粒子云網格法(particle-in-cell，PIC)方法可以有效彌補上述兩種方法的不足，既可以描述粒子對磁場的響應，同時可以通過求解泊松方程來描述粒子束空間電荷效應.因此粒子云網格法能夠有效地求解粒子的時空分布，已經被廣泛應用于空間物理學、可控核聚變和天體物理學的研究中.

本文基于靜電模式的PIC方法，對平行于背景磁場下的帶電粒子束演化進行了模擬.發現了平行于強背景場(3900 nT)運動的帶電粒子束在橫向結構上出現了約束與振蕩現象，并通過單粒子追蹤對這一現象的驅動物理機制進行了分析討論.

1 模型與方法

粒子云網格法被廣泛應用于帶電粒子束狀態演化的模擬，可以同時定量計算由靜電力產生的帶電粒子自場效應和由洛倫茲力產生的帶電粒子對背景磁場的響應，從而研究地球空間環境帶電粒子束受自場和背景磁場的聯合效應.我們開發了針對粒子束動力學過程的靜電模式PIC程序(馮明航等，2021; 以下簡稱beamPIC)，具體實現方法如下：對計算空間進行網格化后，(1)將粒子電荷分配到格點上；(2)求解網格格點上的電磁場；(3)通過插值得到粒子處的電磁場；(4)使用Boris算法求解牛頓洛倫茲方程，對粒子位置進行更新.以上為一個時間步長上程序的主循環，當計算粒子束運動到達預設的終止距離或超出計算域邊界時結束模擬計算.模擬中的關鍵部分包括場與粒子的耦合(即電荷與電磁場的分配)、空間電磁場的求解、粒子運動方程的求解.

1.1 場與粒子的耦合

粒子云網格法先把粒子電荷分配到網格格點上，然后將對整個空間中電磁場和粒子運動狀態的求解轉化為對有限的網格格點處電磁場的求解，再將電磁場分配到粒子處驅動粒子，大大降低了計算需求.實現網格上的電磁場和任意空間位置的粒子的互相耦合是粒子云網格法的核心思想，這種耦合過程在模擬中一個時間步上采用兩次插值算法來實現.

(1)電荷的分配

將空間中的電荷分配到網格格點處，(1)式展示了分配方法：

(1)

式中xg為格點位置，xp為粒子位置，ρ(xg)為格點處電荷密度，ρp為空間中粒子的電荷密度，W(x)為權重函數.

在計算中采用廣泛使用的權重函數CIC(Cloud In Cell)，其噪聲明顯小于更低階方法噪聲，而其計算量也遠低于高階方法并能獲取類似的計算效果.CIC方法表達式如下:

(2)

(2)電磁場的分配

計算得到網格格點處的電磁場后，通過插值方法將其分配到粒子處.為了避免單個粒子產生對自身的作用力，電磁場的分配應采用和電荷分配同樣的方法.以電場為例，分配方法如下：

(3)

其中權重函數W(x)為(2)式.

1.2 電磁場方程的求解

在本文研究的具體物理場景下，感生磁場相較于背景磁場可以忽略，因此使用背景磁場作為計算域的空間磁場.靜電模式下針對空間電荷效應的PIC程序中，電場反映了粒子束的空間電荷效應，可以通過求解電勢來間接得到.本文采用格林函數法求解泊松方程來獲得空間中的電勢分布.電勢可以表示為

×ρ(x′,y′,z′)dx′dy′dz′，

(4)

其中，φ為電勢，G為三維空間點電荷電勢的格林函數，ρ為電荷密度分布函數，(x,y,z)為場點坐標；(x′,y′,z′)為源點坐標.本文研究的是自由空間中帶電粒子束在磁場下的結構演化，因此選用開放邊界條件，格林函數為

G(x,x′,y,y′,z,z′)

(5)

模擬的空間范圍為三維空間中的長方體，三個方向上的尺寸分別為Lx,Ly,Lz,將三個方向分別離散化為Nx,Ny,Nz個格點，空間網格點上的電勢可以由下式給出：

zk-z′n)ρ(x′l,y′m,z′n)，

(6)

1.3 粒子運動方程的求解

在我們的模擬中，粒子的三維空間坐標以cΔt為基準進行了無量綱化r= (x/cΔt,y/cΔt,z/cΔt)，粒子動量以mc為基準進行了無量綱化p=(px/mc,py/mc,pz/mc)，Δt為全粒子模擬的時間步長，c為真空中光速，m為電子靜止質量.帶電粒子運動滿足牛頓-洛倫茲方程，其形式如下:

(7)

Boris算法具體過程分為以下幾個步驟:

(8)

pt-Δt/2為t-Δt/2時刻的粒子動量，(8)式計算了半個時間步長上電場力對粒子的加速作用.

(9)

(10)

與(8)式相照應，(10)式計算了另半個時間步長上電場對粒子的加速作用，至此一個時間步長上粒子動量的更新完成，使用更新后的粒子動量計算一個時間步長上的粒子位移，即可得到新的粒子空間坐標.

1.4 模擬設定

我們以粒子束前進方向為z軸正方向，建立三維笛卡爾坐標系.平行于z方向為縱向，垂直于z方向為橫向.在本工作的全粒子模型中，我們使用的網格數為128×128×128.由于我們所模擬的是電子束的運動傳輸過程，我們以電子束結構的參考粒子為中心，使用可變的模擬區域，讓模擬區域的尺寸隨電子束所占據的空間尺寸變化而變化.具體而言，在一個時間步上，我們可以計算得到電子束所有粒子的空間位置坐標，再以粒子束所占據最大空間范圍(3個維度)的120%為下個時間步的模擬區域.這樣，每個時間步上的模擬空間區域均集中在電子束結構的附近并覆蓋電子束所在空間區域，從而最大化地節省空間網格所占用的計算資源.

在束流理論中，針對粒子束運動過程中的空間分布、發散情況等有一系列參數用以衡量粒子束的運動狀態，本文主要考察粒子束的RMS(Root Mean Square，均方根)橫向尺寸和RMS偏轉角這兩個參數.定義這兩個參數，需要選取參考粒子作為基準，本文取全部粒子的空間坐標的平均值作為參考粒子的坐標.

RMS橫向尺寸用于衡量粒子束在橫向的空間分布情況，RMS橫向尺寸越大說明粒子束粒子在橫向的空間分布越分散，以x方向的RMS尺寸為例，其定義式如下:

(11)

式中uxi=xi-xrefer，i=1, 2,…,N.uxi表示任意一個粒子的空間坐標相對于參考粒子坐標的差值，描述了該粒子相對于參考粒子在空間上的偏離程度.

RMS偏轉角用于衡量粒子束在橫向的發散趨勢，RMS偏轉角越大說明粒子束在接下來的運動中橫向的空間分布會變得更發散.以x方向的RMS偏轉角為例，其定義式如下:

(12)

初始粒子束共有電子50×104個.粒子的能量為0.1 keV，能量分散為1%.粒子位置、動量的橫向初始分布為高斯分布，橫向均方根尺寸為5 mm，橫向均方根偏轉角為0.001 mrad，粒子縱向均方根尺寸5 mm.具體而言，在模擬計算中，各個電子初始位置坐標受橫向和縱向均方根尺寸(5 mm)約束并滿足隨機的高斯分布.以下的所有模擬計算均以此為粒子束初始分布.

1.5 可靠性驗證

為了驗證我們所開發的粒子云模擬算法的可靠性，我們將beamPIC的模擬結果與ASTRA(A Space Charge Tracking Algorithm)(Floettmann, 2017)進行了對比分析.ASTRA程序是由德國電子同步加速器研究所(Deutsches Elektronen Synchrotron，DESY)發布的一套基于PIC算法的空間粒子束運動模擬程序，能夠計算帶電粒子束的空間電荷效應等集體自場效應，被廣泛應用于帶電粒子束的仿真研究.需要說明的是，ASTRA根據粒子束流的特性對計算進行了假設與簡化.ASTRA基于束流空間電場緩慢變化的假設，并沒有在每一個時間步上都對空間電荷效應重新計算，而是根據電子束的分布對電磁場系數進行縮放.ASTRA程序通過對計算的假設與簡化節約了計算的時間成本，但犧牲了部分計算精度.beamPIC程序在每個時間步上都進行了全三維空間的計算，模擬精度更高，適用范圍更廣.

粒子初始分布均采用1.4節給出的初始分布，設定背景磁場為0 nT，兩種算法的模擬結果如圖1所示.圖1展示了無背景磁場條件下，初始分布為高斯分布的0.1 keV 電子束的ASTRA結果(紅色實線)與beamPIC結果(藍色圓圈).以RMS橫向尺寸和RMS偏轉角作為對比項，在電子束運動100 m距離上進行比較.beamPIC結果和ASTRA結果RMS橫向尺寸隨電子束前進距離變化都接近線性增長，在電子束前進至100 m時，RMS橫向尺寸約為1.1 m.RMS偏轉角都先迅速增加，然后在電子束前進至5 m后逐漸趨于穩定，在電子束前進至100 m時，RMS偏轉角約為11.2 mrad.上述結果表明beamPIC與ASTRA兩套程序計算結果有良好的一致性.

圖1 ASTRA(紅色實線)與beamPIC(藍色圓圈)模擬的電子束運動過程中的RMS橫向尺寸與RMS偏轉角Fig.1 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams simulated by ASTRA (red solid line) and beamPIC (blue circle)

2 模擬結果

2.1 電子束平行于強背景磁場運動的橫向振蕩

選取地球偶極子場模型L-shell為2時的地球磁場作為背景磁場(此時背景磁場大小為3900 nT，下文中稱強磁場)，同時取背景磁場大小的十分之一作為新的背景場(下文中稱弱磁場)用以對比.我們對比了電子束平行于背景磁場運動時，不同強度背景磁場下電子束的演化，發現在強背景磁場下，電子束橫向尺寸先發散后收縮，電子束存在橫向振蕩現象.圖2展示了無磁場(0 nT)、弱磁場(390 nT)、強磁場(3900 nT)三種背景場下電子束運動方向與背景磁場方向平行時運動100 m過程中RMS橫向尺寸與RMS偏轉角變化.無背景磁場時粒子RMS橫向尺寸接近線性增加，在電子束前進100 m時RMS橫向尺寸約為1.1 m.弱磁場下RMS橫向尺寸在電子束前進0～50 m時比較接近無背景場情況，50 m之后開始明顯小于無磁場情況，在電子束前進100 m時RMS橫向尺寸約為1.05 m.強磁場下RMS橫向尺寸在電子束前進至28 m時到達峰值約0.19 m，然后在前進至55 m時下降至接近0 m，接著在前進至82 m時到達峰值約0.19 m，呈現先增大后減小的周期性變化.三種背景場條件下RMS偏轉角均先迅速增加，然后在電子束z向前進至5 m后逐漸保持穩定.強磁場下電子束z向前進至55 m時RMS偏轉角有小擾動.由圖2還可以清楚看到，強背景磁場(3900 nT)下，從RMS橫向尺寸的結果上，我們可以明顯看到電子束的橫向振蕩現象，RMS橫向偏轉角有小擾動，發生擾動時電子束恰好完成一次振蕩循環.而在無背景場和弱背景磁場(390 nT)下，從RMS橫向尺寸的結果上，沒有觀察到電子束的橫向振蕩現象.

圖2 0 nT(紅色星標)、390 nT(藍色圓圈)和3900 nT(黑色實線)三種背景磁場下電子束運動過程中的RMS橫向尺寸與RMS偏轉角Fig.2 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams with three different magnetic fields: 0 nT (red star), 390 nT (blue circle), and 3900 nT (black solid line)

為了更清晰地展示橫向振蕩現象，圖3給出了橫向振蕩過程中電子束橫向分布.圖3a展示了電子束前進0～100 m過程中RMS橫向尺寸變化，t0時刻電子束處于初始狀態；t1時刻電子束前進至14 m處，處于第一個RMS橫向尺寸上升區間；t2時刻電子束前進至28 m處，達到第一個RMS橫向尺寸峰值；t3時刻電子束前進至41 m處，處于第一個RMS橫向尺寸下降區間；t4時刻電子束前進至55 m處，達到第一個RMS橫向尺寸谷值，完成一個振蕩周期；t5時刻電子束前進至69 m處，處于第二個RMS橫向尺寸上升區間；t6時刻電子束前進至82 m處，達到第二個RMS橫向尺寸峰值；t7時刻電子束前進至95 m處，處于第二個RMS橫向尺寸下降區間.圖3b—i展示了t0至t7時刻電子束的橫向分布.t0至t2時刻電子束橫向尺寸不斷變大，在t2時刻橫向尺寸達到最大，半徑約為0.4 m.t2到t4時刻電子束橫向尺寸不斷變小，在t4時刻最小，此時完成一次振蕩循環，之后電子束橫向尺寸如此往復變化.在電子束平行于背景磁場運動過程中，電子束在橫向明顯出現了先膨脹后收縮的周期性變化，即橫向振蕩現象.

圖3 電子束運動過程中橫向尺寸和空間分布的演化情況其中(a)電子束運動中RMS橫向尺寸變化，t0-t7為選取的特征時刻； (b)—(i) 對應(a)中t0-t7時刻的電子束空間分布情況.Fig.3 The evolution of RMS transverse size and spatial distribution of the travelling electron beam(a) shows the change of the RMS transverse size, here t0-t7 are the selected characteristic moments; (b)—(i) show the evolution of the spatial distribution at t0-t7 defined in (a).

2.2 單粒子運動軌跡追蹤與分析

為了探究平行于背景磁場運動時電子束橫向振蕩現象形成的物理機制，我們隨機選取粒子，追蹤電子束平行于背景磁場運動過程中該粒子的橫向位置、動量和所受作用力等物理信息.追蹤粒子的橫向初始位置為x0=0.0078 m,y0=0.0071 m, 追蹤粒子的橫向動量以mc為基準進行了歸一化處理，px/mc=2.6408×10-8,py/mc=2.1115×10-8，下文所討論的追蹤粒子均以此粒子為例.圖4a—c展示了追蹤粒子的橫向偏移距離、橫向的位置與動量信息，t0至t4時刻與圖3中t0至t4相同.圖4d中藍色實線為追蹤粒子的第一個振蕩周期的軌跡擬合成的圓，藍色星標為t0至t4時刻追蹤粒子的位置.如圖4a所示，振蕩過程中隨著z向距離增加，粒子的橫向坐標變化呈現周期性，形狀類似正弦曲線；粒子橫向動量在初始的一段時間迅速增大，這是由于空間電荷效應電子間庫倫斥力使電子加速，之后呈現周期性變化，形狀類似正弦曲線；粒子軌跡在x-y平面接近圓，于是我們推測磁場在粒子振蕩過程中占主導作用.

圖4 追蹤粒子在運動過程中橫向截面上的位置、動量和軌跡變化(a) 追蹤粒子在橫向上偏離參考粒子的距離； (b)和(c) 分別為追蹤粒子在橫向截面上的位置和動量； (d) 為追蹤粒子在橫向截面上的運動軌跡.Fig.4 The evolution of the position, momentum, and trajectory of the selected particle in the transverse plane(a) shows the distance between the tracing particle and the reference particle at the transverse plane; (b) and (c) show the evolution of the position and momentum of the selected electron at the transverse plane; (d) shows the trajectory of the electron at the transverse plane.

為了進一步分析電子束振蕩過程的物理機制，驗證粒子振蕩過程中磁場的主導作用，我們分析了追蹤粒子的受力情況.圖5(a，b)分別展示了追蹤粒子的x向和y向所受洛倫茲力、電場力以及合外力，其中洛倫茲力由追蹤粒子速度和背景磁場計算得到，電場力由粒子間相對位置計算得到，合外力為二者之和.以圖4d中藍色實線所代表的粒子軌跡擬合圓的圓心為原點，構建圓坐標系，圖5c展示了追蹤粒子在圓坐標系中徑向和切向受力，圖5d展示了追蹤粒子在徑向所受洛倫茲力、電場力以及合外力.從圖5(a，b)中可以看出在開始 0～2 m距離內，電子所受靜電斥力(紅色實線)開始遠大于洛倫茲力(藍色實線)，電子總受力(綠色實線)由靜電斥力支配，而且靜電斥力隨著電子束橫向尺寸變大而迅速降低.之后2～100 m距離中，電子所受靜電斥力一致接近于0， 而電子總受力由洛倫茲力支配.只有在電子束完成一個振蕩周期時(即55 m附近)，由于電子束的橫向尺寸變小匯聚，因此靜電斥力才相對變大.綜上可知，靜電斥力主要是在電子束運動的初始發散階段起主要作用，而洛倫茲力在之后的電子束橫向振蕩過程中起主要作用.從圖5c可以看出粒子前進5 m后，粒子受力主要在徑向且幾乎保持不變，結合圖5d中徑向受力的貢獻主要來自洛倫茲力，這也證實了電子束振蕩過程中洛倫茲力占主導作用.

圖5 追蹤粒子的橫向受力情況(a)和(b) 分別為橫向截面上追蹤粒子運動過程中在x和y方向上所受洛倫茲力(藍色實線)、靜電斥力(紅色實線)和合力(綠色實線)； (c) 為追蹤粒子在運動過程中的徑向受力(藍色實線)與切向受力(紅色實線)； (d) 為追蹤粒子徑向所受的洛倫茲力(藍色實線)、靜電斥力(紅色實線)和合力(綠色實線).Fig.5 Transverse force of the selected electron(a) and (b) show the Lorenz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line); (c) shows the radial force (blue solid line) and the tangential force (red solid line); (d) shows the Lorentz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line) along the radial direction.

為了更清晰地展示追蹤粒子運動過程中所受場的作用，圖6展示了隨著時間的推進，參考粒子在z向前進0、0.5、1 和2 m時空間中電子束結構的電場分布情況.左邊兩列為以參考粒子為中心，電子束結構在x-y平面(即橫向截面)上Ex和Ey，第三列為x-z平面(即縱向截面)上的Ez.需要說明的是，第三列的橫坐標Δz為相對于參考粒子的z向空間坐標.紅色(或綠色)圓圈指出了追蹤粒子的位置.追蹤粒子位置處的電場值如表1所示，將表中電場值的等值線在圖6中用白色虛線表示.以追蹤粒子位置處的Ex為例，參考粒子前進0、0.5、1和2 m時，對應的Ex分別為5.5414、2.2650、0.7338和0.1904 V·m-1，可以看出隨著粒子的前進，粒子周圍電場迅速下降，驗證了圖5中電場力在模擬開始的0～2 m內占主導作用且在迅速下降這一結論.等值線對應的電場值是由圖5中電場力(即根據粒子位置計算得到的靜電斥力的解析值)計算得到.圖6中電場分布是由全粒子模擬得到的.追蹤粒子恰好位于電場等值線上，表明全粒子模擬得到的電場與解析方法計算得到的電場一致，驗證了beamPIC程序的可靠性.

表1 追蹤粒子分別位于0、0.5、1和2 m處所對應的橫向電場Table 1 Transverse electric fields on the tracing particle at 0, 0.5, 1 and 2 m, respectively

圖6 電子束的參考粒子運動至0、0.5、1和2 m時束結構的空間電場分布(a)—(d) 表示參考粒子從0運動至2 m，從左到右三列依次代表橫截面上的電場Ex和Ey以及縱截面上的電場Ez，顏色代表電場強度.圓圈代表追蹤粒子所處位置，白色虛線為電場的等值線.Fig.6 The spatial distribution of the electric field when the reference particle reaches 0, 0.5, 1 and 2 m(a) to (d) show the electric field when the reference particle moving at 0 to 2 m, respectively. From left to right, the three columns represent the electric fields Ex and Ey on the transverse plane, and Ez on the longitudinal plane, respectively. The color represents the electric field strength. The circle shows the position of the tracing-particle, and the white dash line is the contour line of the electric field.

2.3 不同背景磁場下驗證對橫向振蕩現象的物理解釋

為了證實平行于背景磁場運動的電子束橫向振蕩現象是洛倫茲力所驅動，我們增大背景磁場強度，并將結果與原振蕩現象進行對比分析.圖7展示了將背景磁場分別調整為原來(3900 nT)的2倍(7800 nT)和5倍(19500 nT)后與原來RMS橫向尺寸的對比.電子束仍出現了振蕩現象，RMS橫向尺寸隨背景磁場增強而減小.背景磁場為7800 nT時，RMS橫向尺寸的谷值出現在電子束前進28、55和82 m處，平均一個周期內電子束前進距離為27.33 m；當背景磁場為19500 nT時，RMS橫向尺寸的谷值出現在電子束前進11、22、33、44、55、66、77、88和99 m處，平均一個周期內電子束前進距離為11 m.

圖7 不同背景磁場下電子束的RMS橫向尺寸對比藍色實線, 紅色實線以及綠色實線分別代表背景磁場為3900，7800以及19500 nT的結果.Fig.7 Comparison of the RMS transverse sizes of electron beams with different magnetic fields Blue solid line, red solid line, and green solid line represent the results of 3900, 7800, and 19500 nT, respectively.

基于本文中所提出的洛倫茲力支配電子束振蕩現象這一物理解釋，我們可以計算電子回旋周期作為電子束振蕩周期，進而推斷出一個振蕩周期中電子束前進距離的預期值.我們還可以推斷出當背景磁場為原來的n倍時，振蕩周期變為原來的1/n，一個振蕩周期中電子束前進的距離會變為原來的1/n.例如，0.1 keV電子的速度為5.93×106m·s-1，在平行于3900 nT的背景磁場運動時，電子回旋周期為9.16×10-6s，在一個橫向回旋周期內前進的距離為54.32 m，模擬結果中電子束RMS橫向尺寸的谷值出現在55 m處，與此相吻合.當背景磁場由3900 nT增大至2倍即7800 nT時，電子回旋周期變為4.58×10-6s，模擬結果中平均一個周期內電子束前進距離為27.33 m，與理論值54.32/2 m=27.16 m較為吻合.當背景磁場由3900 nT增大至5倍, 即19500 nT時，電子回旋周期變為1.83×10-6s，模擬結果中平均一個周期內電子束前進距離為11 m，與理論值54.32/5 m=10.86 m也較為吻合，進一步驗證了振蕩現象是洛倫茲力支配電子運動產生的集體效應.

3 結論與討論

本文基于PIC方法，對平行于背景磁場運動的電子束結構的時空演化進行模擬，發現強磁場(3900 nT)下電子束出現了橫向振蕩現象，并進一步對該現象背后的物理機制進行了探究，給出了合理的解釋并予以證實.在相同輸入的條件下，我們計算對比了我們所開發的beamPIC程序與開源ASTRA程序的結果，證明了beamPIC程序的可靠性.對比無磁場、弱磁場(390 nT)和強磁場(3900 nT)下的模擬結果，我們發現強磁場下電子束橫向尺寸先發散后收縮，電子束存在橫向振蕩現象.為了進一步探究電子束橫向振蕩現象的形成原因，我們隨機追蹤了模擬過程中某個粒子的位置和動量變化，發現在模擬過程初期的短時間內，粒子動量迅速增加，之后粒子動量和位置呈周期性變化，形狀類似正弦曲線，且粒子的橫向軌跡十分接近圓.我們對追蹤粒子的受力分析結果表明電子束的靜電自場力是初期電子動量快速增加的主要原因，之后洛倫茲力是產生電子束振蕩現象的主導因素.通過增大背景磁場強度，我們發現電子束振蕩周期與理論預期吻合很好，進一步證實了振蕩現象是洛倫茲力支配粒子運動產生的集體效應.

本文主要結論如下：

(1)基于PIC方法對平行于背景磁場運動的電子束結構演化進行了模擬，發現在強背景磁場(L=2,B0=3900 nT)情況時電子束(Ek=0.1 keV)出現了橫向方向上的約束與周期性振蕩現象.當電子束沿磁力線運動時，其RMS橫向尺寸先變大，到達峰值后又逐漸變小，然后再變大，如此反復.

(2)通過追蹤電子束中單個電子并分析其空間坐標、動量和受力情況，我們發現在電子束前進0～2 m過程中，粒子間電場力占主導作用，且隨電子束前進距離迅速下降，在電子束前進2 m后，洛倫茲力占主導作用，振蕩現象主要發生在這一階段，說明是洛倫茲力驅動振蕩現象.

(3)改變背景磁場強度，發現電子束橫向振蕩周期符合理論預期，證實了振蕩現象是洛倫茲力支配粒子運動產生的集體效應.當背景磁場為原來的n倍時，振蕩周期變為原來的1/n，一個振蕩周期中電子束前進的距離變為原來的1/n，模擬結果符合理論預期.

上述研究結果表明特定能量(本文中為0.1 keV)的電子束在沿著特定背景磁場(本文中為3900 nT)運動中其橫向運動會出現振蕩現象，這種振蕩現象是由洛倫茲力支配粒子運動所產生的集體效應.為了簡化問題，本文只探討了電子束前進方向與背景磁場方向夾角為0、電子束能量為0.1 keV這一特定情況，同時驗證了beamPIC模型可以準確有效地模擬帶電粒子束在地球磁場環境下的運動特征和結構演化.在接下來的研究中我們將進一步研究不同夾角、不同能量的粒子束空間結構在不同背景磁場強度和分布情況下演化情況，以獲取人工調制帶電粒子束在真實地球磁場下的傳播特性.