因素反向變動時的因素分析

郝大明

（國新證券股份有限公司，北京 100020）

一、引言

一種現象的變化，往往取決于若干因素。確定各因素在數量上的變化對總量因素變化的影響程度，是因素分析法的任務，也是統計分析的任務之一。

20世紀50年代和80年代，中國統計學界曾圍繞共變效應的分解分配問題展開熱烈討論。劉都慶（1958）指出：“目前統計學界所爭論的同度量因素的確定與指數體系的選擇等問題，歸根到底實質上就是此種共同影響（包括與其相適應的絕對值）的處理問題。”非常遺憾，60多年過去了，學術界始終沒有就共變效應的分解分配問題達成一致，與此相關的因素分析方法也不了了之。

關于共變效應的分解分配，有學者提出共變效應平均分配的思路，顯然這有失公平。楊啟梓（1983）認為共變效應不能根據其形成原因再進行分解。劉都慶（1958）提出按因素純粹影響的絕對值比例分解共變效應，但這種方法僅適用于因素同向變動的情況，因素反向變動時并不成立。徐國祥（1985）提出按個體指數與總體指數的對數比例分解共變效應的微積分因素分析法，陳善林和徐國祥（1990）提出按單純因素影響的絕對值比例分解共變效應的絕對值比例因素分析法，但這兩種方法均是標準的按因素影響比例分解共變效應的變形，不僅不及后者準確，還因形式復雜使其應用價值長期無法發揮出來。

本文將提出因素反向變動時共變效應歸并的方法，并通過因素分析的典型例子，指出這一方法的科學性、合理性、準確性。

二、按因素影響分解共變效應

按因素影響分解共變效應，就是按共變效應的形成原因，將共變效應分解并分配到各因素影響中去。①這里設計為2個因素函數的乘積形式，主要考慮簡捷性和適用性。一是因素反向變動的考慮，取最少因素個數；二是共變效應考慮，取乘積形式，更復雜的函數形式最終可化為乘積形式；三是如果有2個以上因素結合在一個指標中同時發生作用，首先可以結合指標的內容，將指標區分為2個方面進行分析，然后對2個方面再進行個別分析，根據其含義進一步分析其內部關系，如此順序擴展。參見余緒纓和陳仁棟1955年發表的《關于連鎖替代法在分析工作中的應用問題》一文。

因素x和因素y對z的共變效應，共變效應是各因素指標增量的乘積之和。

（一）因素同向變動時共變效應的分解分配

當f（x），f（y）同為增長，即X·＞0，Y·＞0時，按因素影響比例分解并歸并共變效應比較合理。

圖1 兩因素增量分析（同時增長）

影響的比例或因素變化率的比例，對共變效應（x1-x0）（y1-y0）（CHFK）進行分解。

（二）因素反向變動時共變效應的分解分配

圖2 兩因素增量分析（X.＞0且Y.＜0）

以圖示法解釋因素反向變動時，共變效應歸于正變化因素影響。

當因素x增長，因素y減少，有兩種變化過程。一是如圖3所示，因素y先減少、因素x后增長的情況，因素y減少的影響是x0（y1-y0），因素x增長的影響是（x1-x0）y1，整個過程與共變效應無關。

圖3 兩因素增量分析（因素y先減少，因素x后增長）

二是如圖4所示，因素x先增長、因素y后減少的情況。這種情況下，單純因素x增長的影響是（x1-x0）y0，單純因素y減少的影響是x0（y1-y0）。

圖4 兩因素增量分析（因素x先增長，因素y后減少）

比較上述兩種變化，雖過程不同，但結果相同，即因素x增長的總影響是單純因素x增長的影響加上因素 x 與因素 y 的共變效應（x1-x0）y1=（x1-x0）y0+（x1-x0）（y1-y0），因素y減少的總影響與單純因素y減少的影響均是x0（y1-y0）。

三、按因素影響分解分配共變效應進行因素分析舉例

按因素影響分解分配共變效應的方法，最直接的應用是進行因素分析，即將分解后的共變效應分配到各因素影響中，這將從根本上保證因素分析的準確性。

這里，舉陳善林和徐國祥（1990）的例子如下：假定 x0=1，x1=4，y0=4，y1=2，如圖 5 所示，求因素 x和因素y變動對總體變動的影響。

圖5 兩因素增量分析（反向變動）

（一）按因素影響分解分配共變效應方法的計算過程

絕對數分析。如圖5，原面積x0y0為8，現面積x1y1為8。

單純因素 x變動的影響值為（x1-x0）y0=（4-2）×4=8，即右邊2個正方形面積之和。

單純因素y變動的影響值為x0（y1-y0）=2×（2-4）=-4，即左上角1個正方形面積。

共變效應（x1-x0）（y1-y0）=（4-2）×（2-4）=-4，即右上角1個正方形面積。

因素x變動的總影響值等于單純因素x變動的影響值（右邊2個正方形面積8）與共變效應（右上角1個正方形面積-4）之和（值為4），實際只有右下角1個正方形面積。

因素y變動的總影響值與單純因素y變動的影響值相等，為左上角一個正方形面積（值為-4）。

共變效應為X.Y.=1×（-0.5）=-0.5（或 -50%）。

因為X.＞0，共變效應全部歸因素x變動的影響，因素 x的影響為X.+X.Y.=1+（-0.5）=0.5（或 50%）。

因素y的影響仍為Y.=-0.5=-50%。

（二）絕對值比例因素分析法的計算過程

下面仍以圖5的例子，嚴格按照陳善林和徐國祥（1990）的以絕對值比例因素分析法計算，討論這一方法的準確性。

影響值：K2=x0y1-x0y0=2× 2-2× 4=-4

（4）共變效應的影響率：e=k-（k1+k2）=0-（1-0.5）=-0.5

影響值：E=K-（K1+K2）=0-（8-4）=-4

比較以上2種方法，很明顯，絕對值比例因素分析法將本來應該歸并到一種因素的共變效應，按純粹影響的絕對值比例分解后分配到了兩種因素中，由此產生了較大誤差。

（三）微積分因素分析法的計算過程

徐國祥（1985）提出按個體指數與總體指數的對數比例分解分配共變效應，按照這一方法，陳善林和徐國祥（1990）提出此例的解法如下：

比較第2種和第3種方法，因素反向變動時，徐國祥（1985）提出的微積分因素分析法，實際上是按個體指數的對數比例將共變效應分解后分配給了兩種因素，使計算結果出現較大誤差①徐國祥（1985）提出的微積分因素分析法，當因素同向變動時，除了兩個因素變化率相同的情況外，仍不及按因素影響比例分解分配共變效應準確，因為只有在非常小的情況下才成立，但這終究還是近似。。

比較以上3種方法，當因素反向變動時，第1種方法無疑是正確的，第2種和第3種方法均將本來應該歸并到一種因素的共變效應，按純粹影響的絕對值比例或個體指數的對數比例分解后分配到了兩種因素中，由此產生了較大誤差。當因素同向變動時，第1種方法是標準的按因素影響比例分解共變效應方法，第2種方法和第3種方法均是第1種方法的變形，第2種方法和第1種方法結果相同，但并無取絕對值的必要，第3種方法除了二種因素變化率相同的情況外，與前兩種方法相比存在較大誤差。

四、討論與結論

通過數學推導和圖示相結合的方法，發現當因素反向變化時，共變效應歸于正變化因素的影響，從而使共變效應的分解分配這一難題得到解決。

對一個已經發生變化的總體，其變動是客觀的，對其變動的反映包括數量方面的指數反映和因素影響分析也應當是唯一的。當因素同向變動時，按因素影響比例分解共變效應就合理性和準確性而言是最好的，而當因素反向變動時，共變效應的歸屬是確定的，因此，按因素影響分解分配共變效應具有科學性、合理性、準確性，從而具備唯一性。應用于因素分析的實證計算充分證明了這一點。◆