立足表達“理”清思維
——基于核心素養的小學生數學說理能力培養探究

福建省霞浦縣第一小學 程秋香

“數學是思維的體操”，在低年級的課堂教師鼓勵學生說完整話，把意思說準確，就是通過語言載體將內在思維外顯化、具象化的過程，學會用數學語言表述思辨過程，就是邁開了說理的第一步。中高年級的課堂教師善于制造時機引發學生自主質疑，互動中碰撞思維，在抽絲剝繭中建構數學知識本質，幫助學生學會學習。

一、結合生活，學會完整表達

小學生的思維以形象具體為主，一年級的小朋友由于識字量少，作為教學內容的情境圖往往以趣味性、生活化的形式呈現，這些情境圖蘊含著豐富的數學信息。但在教學中發現，不少低年級的孩子缺乏對圖中信息的檢索能力和解讀能力，不是數據提取錯誤就是會錯意，抑或忽略部分信息。在表述圖意時，往往是“說半句話”，或者“甩一鞭走一步”，缺乏自主完整表述的能力，導致思維是斷層的、碎片化的。教師要引導學生將碎片化的語言串起來，幫助學生學會完整表述。

如教學一年級《加減混合》，引導觀察插圖。

圖1 加減混合

師：大家看到了嗎？這里有兩幅圖，第一幅圖的左下角標了一個點，第二幅圖的左下角標了兩個點，誰知道是什么意思？

生1：一個點是表示剛開始，兩個點是表示過了一會兒。

師：是的，兩幅圖畫的是同一個小朋友在做的事，我們給他起個好記的名字就叫小明吧。剛開始小明是怎樣做的？后來呢？

生2：剛開始地上有6棵小樹苗，后來又拿來了2棵小樹苗。

師：說了第一幅圖，那第二幅圖呢？你能用上“過了一會兒”這個詞嗎？

生2：過了一會兒，小明栽好了3棵小樹苗。

師：地上還有——

生2：地上還有5棵小樹苗沒有栽。

師：瞧，你用上了“剛開始”“過了一會兒”這樣表示先后順序的詞，像講故事一樣，把小明正在做的事生動地描述出來了，真了不起！你能試著將兩幅圖連起來完整地說一說嗎？

生2：今天小明上山種樹，剛開始他拿來了6棵小樹苗，后來又拿來了2棵小樹苗，他一共拿了8棵小樹苗。過了一會兒，他栽好了3棵，地上還剩下5棵小樹苗沒有栽。

師：這回，你們覺得他說得怎樣？(學生鼓掌)這就是生活中的數學。誰還能像他這樣說一說？同桌先互相說一說吧！

《加減混合》是學生在學完連加連減的進一步學習，教材以連環畫的形式呈現了小朋友栽樹的過程，教師首先引導學生觀察圖中標記，弄清組合型情境圖表述的事件，再讓學生用上表示先后順序的詞來串述圖中的事件，使靜態的組圖變成動態的情境，幫助學生更形象地理解圖意，準確提取信息。

低年級教材中看圖解決問題的模型（如含有括線和問號的直觀圖或者對話式的情境圖）教學莫不如是。如果學生能用數學語言正確、完整地表述圖意，找準圖中的已知條件和所求問題，那么理解計算的方法并列式解答，也就水到渠成了。

二、圖式結合，領會分層算理

計算是數學的基礎，計算教學占小學數學教學很大的一個版塊。但是，在問卷調查和各類測試中，發現學生的計算說理能力偏弱。大部分學生只會計算，不懂原理；或者語言不詳，說不清每一步計算表示的含義。

如《兩位數乘兩位數的筆算》中有一道這樣的練習題：學校買21個熱水瓶，每個23元。列豎式如下：

圖2 兩位數乘兩位數的筆算

其中箭頭指向的“46”表示什么意思？

A.表示買2個熱水瓶要用46元

B.表示買2個熱水瓶要用460元

C.表示買20個熱水瓶要用460元

D.表示買20個熱水瓶要用46元

本題中，大部分學生會筆算得出23×21的結果，卻理不清每一層算式（特別是第二層算式）的含義，不少學生誤把“46”的意義判斷成A選項或者B選項。

計算課一直是很多教師最想逃避的公開課類型，究其原因，計算課比較枯燥，環節設計難以出彩。在日常教學中，計算課教學往往是以“出示情境圖——引導列式——師生演算——總結計算法則——練習鞏固”這樣的模式展開。學生被動性接受知識，通過一定量的重復練習，大部分學生能掌握計算方法，而對于為什么要這樣算，大抵因此非教學重點被教者忽略，偶有學生質疑，也以“數學規定”一言而蔽之，久而久之，學生對原理不甚了了，也就難免不解算式步驟含義了。

如何讓學生更深入地理解計算的道理，從而更有效地計算呢？華羅庚教授曾說過：數缺形時少直覺，形少數時難入微。教師可以利用直觀圖（如開水瓶單價圖或點子圖），讓學生對照著圈一圈，自主體悟為何將乘數拆分為整十數和一位數進行計算，圖式結合，讓學生經歷探索性的學習，說一說每層算式是表示圖中的哪一部分價格。將直觀的點子圖與抽象的算式相對接，滲透位值原理，從而深入領會豎式算理。

三、自主建構，凸顯算法優化

從數字的誕生到計算方法的探索，再到計算法則的總結，是先人在求知路上的探索經驗。千百年來，我們接受并運用這些規定的計算法則去解決一個又一個問題，屢試不爽，卻鮮少打破常規，質疑老規矩，創造新法則。

例如我們學習加法、減法以及乘法豎式時，都遵循從低位算起的規則，但在學習除法豎式時，又為什么規定要從高位算起呢？以三年級上冊的“46÷2”為例，學生通過小棒分一分，6根小棒平均分成2份，每份是3；4捆小棒平均分成兩份，每份是2，合起來就是23。從低位算起，同樣簡潔準確。但若以“52÷2”為例呢？我們將孩子分成兩組，一組孩子從低位算起，另一組孩子從高位算起，低位算起的孩子的計算過程如下：①個位上2÷2＝1；②十位上5÷2＝2，余1，即1個十；③10÷2＝5，個位的商相加5+1＝6，商是26。從高位算起的孩子計算過程如下：①十位上5÷2＝2，余1，即1個十；②10+2＝12，12÷2＝6，商是26。兩種方法對比，學生們發現當被除數高位上的數無法被除數整除時，從高位算起更方便。

數學繪本《猜一猜，除一除》中講了這么一個故事：5個人幫忙隔壁的鄰居大掃除，賺到了八百二十七元，怎么平分這些錢呢？先從八百里取出五張一百元，一人先分一百，再把剩下的三百換成六張五十元鈔票，每個人就可以再分一張五十元鈔票。分好了，還會剩下一張五十元鈔票，把五十元換成五張十元的鈔票，這樣每個人又可以分到一張十元鈔票。就這樣分完了八百元，依照這樣的方法再來分剩下的二十七元。生活中，我們對物品平均分配時，從大單位開始分往往比從小單位開始分更方便。因此，從大數據的算法來看，從高位算起的計算規則是通用法則，它適用于所有類型的除法。

計算法則的建立不是讓學生機械式的套用，而是允許學生自然選擇算法，自主建構法則，從而發現不管是加法、減法和乘法的低位算起，還是除法的高位算起，先人總結這樣的計算法則無非是為了計算的通用性更廣闊，計算的程序性更優化，計算的過程性更簡潔。

四、拆數析理，探索規律特征

對于小學生來說，數學教師是他們進入數學世界的媒介，數學世界中奇妙的數學規律與豐富的數學知識都需要經由教師的幫助才能被他們深度理解。在教學中教師要善于啟發，并引導學生用嚴謹準確的數學語言表達出來，分享探索的樂趣，培養學習的動力。

在學習《2、5的倍數特征》時，教材通過讓學生在百數表中進行圈數、框數，在觀察比較中探究發現2、5的倍數特征。但在教學《3的倍數特征》時，學生發現2、5的倍數特征無法遷移到3的倍數特征上。這是為什么呢？

從2、5的倍數特征上溯源，一個數如果2個2個地分，或者5個5個地分，剛好分完，沒有余數，這個數就是2或5的倍數。為什么看個位的數就可以了呢？我們可以從位值制原理進行分析。一個多位數可以拆分為若干個千、百、十、個（一）組合的數，如果忽略個位上的數，其他數位上的數合起來最終都能轉化為幾個“十”，而10是2和5的倍數，所以2和5的倍數特征只要看個位上的數就可以了。那為什么3的倍數特征不能這樣套用呢？從本質上看，個級以上的數拆分為幾個“十”，10不是3的倍數，因此個級上的數是不是3的倍數則更加遑論。

那么如何探索3的倍數特征呢？我們同樣可以從位值原理拆數分析。例如222個小方塊可以拆分為2個百、2個十和2個一。我們將2個百再拆分為100+100，100÷3，最后還余下1，2個百就余2。同理，2個十分為10+10，10÷3，最后余1，2個十就余2。最后將百位、十位上和個位上剩余的2相加等于6，6是3的倍數，所以222是3的倍數。

也就是說，一個數，按數位從高到低，我們可以將它拆分為若干個計數單位相加（如四位數abcd=1000a+100b+10c+d），再把這些計數單位上的數拆分成若干個最小的單元（如9百拆分為9個1百），然后把最小單元（如1000、100、10）除以3，最終都會剩下1，有幾個最小單元就剩下幾（如9000就剩下9，700就剩下7，60就剩下6……）因此，3的倍數特征是看各個數位上的余數之和還能否繼續被3整除。

五、實踐操作，深化面積本質

羅鳴亮老師在《做一個講道理的數學教師》中提出：數學教學不但要向學生展示既定的數學知識，而且必須能夠解釋其中的道理。

數學知識是抽象的,小學生的思維以形象性為主，如何化解其中的矛盾？動手操作是溝通其中的橋梁之一。組織實踐操作、自主探究，讓學生在手腦并用中發現、思考、分析、歸納思維，從而獲得概念、深化認知。

例如《長方形和正方形的面積》一課，在教學之前有些學生對長方形的面積公式已經爛熟于心，但對這公式是怎么來的卻鮮為人知。

為此，在教學中，我將重點調整為引導發現公式的由來。課堂中我讓學生剪下若干1平方厘米的小正方形進行鋪填活動。并結合課本附頁的格子圖讓學生說說自己的實踐思路：

1.我勾畫的格子圖長是幾厘米？寬是幾厘米？

2.我用面積單位為1平方厘米的小正方形進行鋪填，一行擺了幾個小正方形？為什么只能擺這么多個？可以擺幾列小正方形？為什么只能擺這么多列？

3.我一共用了幾個小正方形將格子圖鋪滿？怎樣計算？就是多少平方厘米？

4.鋪填的小正方形的總面積與長方形格子圖的面積有什么聯系？

本節課中，我立足學生已有的認知基礎，以問題為驅動，以操作表征思維，使學生對知識進行深層思考，通過實踐操作，學生理解了長方形的長與每行的小正方形個數、寬與每列的小正方形個數的對應關系，以及行與列的小正方形個數與小正方形總個數的關系，小正方形總個數的面積與長方形格子圖面積的對應關系。從而深化長方形的面積本質就是“數一數、算一算有幾個這樣標準的面積單位”，為后續學習其他平面圖形的面積推導公式找到生長點。

六、綜合運用，提升空間思維

長方形的面積公式是平面圖形基礎，我們在學習三角形、平行四邊形、梯形的面積時，無一不是將它們轉化為長方形再計算。

六年級的練習中有一道題：在下面的平行線間畫一個三角形、一個平行四邊形和一個梯形，使它們的面積相等。

圖3 平行線

這是一道典型的“等積變形”模型。兩條平行線之間的距離是相等的，也就是說所畫的三角形、平行四邊形和梯形，它們是共高的，并且三個平面圖形面積相等，變量就是它們底邊的長度。回顧三角形和梯形的面積公式推導過程，都可以用兩個完全相同的三角形或者梯形拼成一個平行四邊形，因此三角形和梯形的面積公式都是底（梯形上、下底的和統稱為底）×高÷2。

反觀上面的練習，在等積共高的條件下，三角形和梯形的底邊長度應該一致。在教學中通過課件直觀演示，將梯形上底的一個端點演繹為一個動點，當這個動點平移到上底與下底相等的距離時，梯形就變換成了平行四邊形，平行四邊形可以看作上底和下底相等的梯形；動點繼續平移，當動點與上底的另一個端點重合時，梯形就變換成了三角形。三角形可以看作是上底為0的梯形。

通過變形演示，學生觀察發現梯形的面積公式（上底+下底）÷2是萬能公式，它兼容低配版的平行四邊形、三角形公式，甚至基礎版的矩形面積公式。因此，在共高的條件下，只要三角形、平行四邊形、梯形的底邊之和都相等，這三個圖形的面積就相等。

史寧中教授說：智慧體現在過程之中。在本質上，智慧并不表現在經驗的結果上，而表現在經驗的過程中，表現在思考的過程中。講道理的方式是思考的過程、是經驗的總結。講道理的習慣要從小培養，講道理的課堂要一以貫之，引導學生在知理、析理、明理、說理中培養思維的清晰性、批判性、深刻性，提升數學學科素養。