數字軌道地圖線路特征分段擬合方法研究

袁 祎，陳光武

（1.蘭州交通大學 光電技術與智能控制教育部重點實驗室，蘭州 730070；2.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州 730070；3.甘肅省高原交通信息工程及控制重點實驗室，蘭州 730070）

由我國北斗衛星導航、歐洲Galileo、美國全球定位系統（GPS，Global Positioning System）、俄羅斯全球導航衛星系統（GLONASS，Global Navigation Satellite System）組成的全球導航衛星系統（GNSS，Global Navigation Satellite System）在鐵路交通領域得到了廣泛的應用。基于GNSS 的列車定位系統定位方式不同于傳統軌道電路及應答器輔助的定位方式，減少了軌旁設備的鋪設，降低了建設和運營成本，提高了鐵路運輸的效率。基于衛星的列車定位方式作為鐵路關鍵安全應用中的一部分，其對可靠性與安全性要求更高[1]。

考慮到鐵路軌道可將列車約束至既定線路，許多學者將地圖匹配技術作為定位輔助手段，以校正GNSS 定位誤差，這種方式很大程度上提高了列車定位的精度，同時也節約了成本。而作為地圖匹配方法實現的前提，軌道電子地圖對線路地理和幾何信息的準確描述直接影響了地圖匹配算法的精度，因此，構建高精度的軌道電子地圖是非常必要的[2]。在地理信息系統中常通過多條折線逼近的方式來描述曲線段，雖然有效，但會使線路的整體特征無法體現，同時損失了軌跡數據的精度[3]，不適用于鐵路列車定位領域。

許多學者就軌道電子地圖的構建方法進行了研究，文獻[4—5]通過卡爾曼 (Kalman) 濾波算法構建預測方程，對采集到的數據集進行野值數據的剔除，利用角度差法對處理后的軌跡數據進行分段曲線擬合，完成軌道電子地圖的構建；文獻[6]針對原始GPS 地圖測量數據，采用多點加權距離檢驗及Kalman 估計差值檢驗實現錯誤數據剔除，利用三次B 樣條曲線反算生成擬合曲線，并按照一定的距離分辨率進行等距離插值，實現軌道電子地圖的構建；文獻[7]利用啟發式算法對軌跡數據進行約簡，通過分段折線對軌道線形進行描述；文獻[8—9]研究從大量低精度的GPS 軌跡數據融合生成高精度GPS 數據的快速算法，通過對比得出最優的軌跡融合表示結果；文獻[10]針對線形的識別進行研究，采用啟發式算法對直線、圓曲線和緩和曲線段進行識別擬合，但需要選定初始點，且算法復雜；文獻[11]提出了一種低成本的水平對齊擬合方法，通過曲率和方向討論了點位置誤差對道路線形表示噪聲的影響，但擬合精度不高；文獻[12]通過計算方位角近似估計曲率的方式對線形進行初步識別，通過設定橫向誤差對直線段和圓曲線段進行迭代，直至特征點確定，并采用最小二乘（LS，Least Squares）方法進行擬合，完成線路描述，但沒有考慮到野值對擬合精度的影響。

本文考慮野值數據的影響，采用方位角近似估計曲率的方式對軌跡平面線形進行初步識別分類，設定橫向誤差為約束條件，對直線及曲線的分界點進行確定，采用引入自適應權值因子的LS 方法進行分段軌跡的擬合，以提高可靠軌跡數據擬合權值，而降低野值數據擬合權值的思路提高軌跡擬合平滑度，完成整體的線路地圖構建。

1 鐵路平面線形識別

1.1 鐵路平面線形介紹

通常，實際鐵路線路在設計的過程中受地形、技術等因素的限制，不能以單一長直線進行鐵軌的鋪設，為提高行車安全及舒適度，在列車轉向處往往需要將相鄰的兩段直線用平面曲線連接起來，以減少對行駛列車的沖擊。鐵路線路通常劃分為直線、圓曲線、緩和曲線3 種類型，其中，緩和曲線分為前緩和曲線與后緩和曲線，主要實現直線與圓曲線之間的過渡，鐵路的線形平面示意如圖1 所示。

圖1 鐵路線形平面示意

半徑、方位角及曲率作為鐵路平面線形的3 個描述指標，其特點如表1 所示，表中，R為圓曲線半徑。

表1 鐵路線形平面參數特點

1.2 基于方位角曲率特征的平面線形識別

鐵路線路中心各軌跡點的方位角是指從該觀測點正北方向起，繞順時針方向至該觀測點方向線之間所成的水平夾角。參照文獻[12]，利用圓弧切線法計算各軌跡點的方位角，如圖2 所示，采用“三點定圓法”計算圓心 (x0,y0)和 半徑R，將觀測點在圓弧的切線與正北方向的夾角作為該點的方位角，方位角表達式為

圖2 圓弧切線法確定方位角示意

其中，θi為當前觀測點的方位角，且θi2[0?,360?]；(xi,yi)為當前點i的坐標；(xp,yp)為后一點i+1在圓弧切線方向的投影坐標。則當前點的近似曲率為

其中，ρi為當前點i的近似曲率；dis(i,i+1)為前后兩點坐標的投影距離。

依據平面線形的曲率特點，設定曲率閾值，對直線線形及曲線線形進行劃分。將橫向誤差作為約束條件對圓曲線及緩和曲線進行劃分，橫向誤差通常取0.25 m。

平面線形識別算法流程如圖3 所示。（1）通過所測GNSS 軌跡點坐標計算方位角，由方位角計算出該點斜率；（2）出于測量誤差會影響計算的考慮，使用滑動平均法對采集軌跡點的方位角和曲率進行平滑濾波；（3）利用直線路段曲率為零的特點，對軌跡進行直線段及曲線路段的初步劃分；（4）設定橫向測量誤差為約束條件，對識別出的路段依據對應模型進行迭代擬合，從而確定出3 種線形的起始點、終止點及相關描述參數，得到軌跡的整體平面線形表示。

圖3 平面線形識別算法流程

2 鐵路平面線形擬合

2.1 最小二乘平面線形擬合方法

對軌跡點所處平面線形進行確定之后，需根據不同線形的特點選取對應的數學模型進行軌跡點的初步擬合，并求解不同線形模型的相關參數。本文使用常見的曲線擬合法—LS 方法[13]對軌跡點進行擬合。將軌跡點坐標作為觀測量，線形模型參數為待估計量，即根據一系列離散點(xi,yi)，求近似曲線函數y=C(x)，將軌跡點到曲線擬合點的殘差平方和最小的函數作為LS 擬合曲線函數。LS 形擬合算法的主要步驟如下。

Step1：根據給定的m個觀測軌跡點數據(xi,yi)(i=1,2,···,m)，確定多項式曲線為

其中，aj(j=0,1,2,···,n) 為多項式各項的待定系數。

將式（3）用矩陣形式表示為

其中，A=[a0,a1,a2,···,an]為多項式的各項待定系數矩陣。

Step2：記點(xi,yi)到擬合曲線y=C(x)殘差為 δi，故曲線擬合殘差的平方和為

若要使其殘差平方和最小，則曲線擬合的目標函數為

Step3：將曲線擬合問題轉化為求解目標函數極小值點，則根據可得

k=0,1,···,n，整理可得

Step4：利用矩陣形式表示為XAT=Y，則可知

根據已知離散軌跡點集(xi,yi)，計算待定參數為

Step5：將式（9）代入式（4），即可獲取所擬合曲線的多項式。

2.2 三種平面線形擬合

根據鐵路平面線形的特點，可將擬合曲線多項式分為直線線形、圓曲線及緩和曲線3 種，其具體擬合方法如下。

2.2.1 直線線形擬合

設直線參數方程為y=ax+b，根據直線上的m個觀測點坐標(xi,yi),i=1,2,···,m，根據LS 原理，可求得其系數為

將式（10）中的a、b代入y=ax+b，即可獲得當前目標直線方程。

2.2.2 圓曲線擬合

設圓曲線參數方程為R2=(x?x0)2+(y?y0)2，其中， (x0,y0)為圓心坐標；R為圓曲線半徑。根據LS 原理對曲線上的各坐標點 (xi,yi)進行擬合，殘差平方和函數Q為

由LS 原理約束條件可知

聯立式（11）和式（12），可求解相關參數為

2.2.3 緩和曲線擬合

按2.1 節求解方法，代入4 個軌跡點值即可確定上式a、b、c、d這4 個參數。

2.3 引入自適應權值因子的最小二乘擬合方法

在衛星數據采集過程中，受設備條件及環境因素影響，往往會存在野值數據。在標準的最小二乘擬合方法中，并未消除這種數據的影響，會使擬合線形不夠平滑、精度下降。因此，本文引入自適應權值因子來降低野值數據的影響，提高可靠軌跡數據的擬合權值，使擬合線形更符合實際線路情況。

2.3.1 自適應權值因子的確定

若觀測軌跡點在t時刻以前滿足測試數據的噪聲分布，而在t時刻出現較大偏差，則可將t時刻的觀測數據視作是疊加在常規觀測值上的一個野值，此時觀測值為

其中，ω為與野值相關的偏差分量，yt為平穩狀態下的理論觀測值。此時殘差估計值為

鐵路平面線形擬合是已知整體軌跡數據的后處理過程，與軌跡觀測點的時序無關，故定義當前測點與擬合曲線的相似耦合度因子 τ(t)為

其中，ρ(t)為兩軌跡序列殘差的相關系數為包含當前數據點的軌跡序列不含當前數據點的相鄰軌跡序列；L為軌跡序列長度，依據采樣周期進行相應調節。τ(t)反映了相鄰序列間的相似程度，相關系數越高，則該觀測點序列平滑，相關系數低，即判斷當前點為野值數據。

對殘差進行歸一化為

其中，jδjmax為殘差序列最大值的絕對值，jδjmin為殘差序列最小值的絕對值。故權值因子 λt與殘差δt的關系為

當觀測點(xt,yt)與對應擬合曲線l的殘差δt越大時，觀測點與擬合軌跡相似耦合程度越低，權值因子 λt隨之減小，降低觀測點的可信度；反之，當殘差 δt較小時，λt增大，提高觀測點的可信度，因此，可通過λt對野值進行自適應修正。

2.3.2 改進最小二乘線形擬合算法流程

自適應權值因子改進后的最小二乘目標擬合函數為

自適應權值因子改進的最小二乘算法流程如下。

（1）按照標準最小二乘算法步驟擬合初始曲線；

（2）對觀測軌跡點Ot的擬合殘差序列δt(t=1,2,···,m)進行計算；

（3）根據式（17）、（18）求解相似耦合度因子 τ(t)及歸一化系數η，并由式（19）計算得到自適應權值因子 λt；

（4）根據自適應權值因子 λt改進擬合參數，根據2.1 節擬合方程求解，獲取軌跡分段線形。

3 試驗驗證及分析

3.1 試驗數據準備

為驗證本文擬合方法的有效性，采用PwrPak7-E1 組合導航系統，測得蘭州交通大學至北環路的車輛GNSS 軌跡數據，并進行驗證，線路全長約5.7 km，共計800 個測點，對數據進行經緯度坐標的UTM（Universal Transverse Mercator）平面投影轉換，轉換后的軌跡平面線形如圖4 所示。

圖4 車輛原始軌跡平面線形

3.2 線形識別及擬合結果

參照文獻[12]，采用滑動平均濾波法對其軌跡各測點的方位角進行處理，如圖5 所示，已知直線路段曲率恒為零，設定度/m）為直線及曲線的劃分閾值，將直線路段屬性設定為1，曲線路段屬性設為0。可對車輛軌跡的分段進行初步劃分，該車輛軌跡可分為17 段，包含9 個曲線段，8 個直線段，如圖6 所示。根據2.2 節的擬合公式，分別對劃分好的軌跡段進行擬合，可得到相應的線形及參數。擬合后的軌跡曲率特征如圖7 所示，擬合后的平面線形的分布如圖8 所示。

圖5 車輛軌跡點曲率變化示意

圖6 直線、曲線初始分段屬性

圖7 軌跡擬合后的曲率示意

圖8 車輛軌跡線形分段擬合示意

擬合誤差表示測量數據在擬合軌跡和真實軌跡中投影點的殘差，其值代表了平面線形的擬合精度。本文將擬合誤差絕對值的均值（AVG）、最大值（MAX）、方差（VAR）、均方誤差（MSE）作為衡量指標，與傳統最小二乘擬合方法進行對比，擬合誤差相關參數如表2 所示。

表2 算法性能指標對比

由表2 可知，引入自適應權值因子改進的LS 擬合方法，在擬合精度上更具優勢，可有效抑制野值數據對擬合平滑度的影響，使軌跡平面線形與真實線路更為接近。算法可對線路的直線、緩和曲線及圓曲線3 種平面線形進行有效識別并擬合，通過線形分界點及對應線形擬合參數對軌跡數據進行約簡表示的方法適用于數字軌道地圖的構建過程。

4 結束語

本文基于鐵路線路平面線形的特點，采用方位角近似估計曲率的方法對軌跡平面線形進行初步識別分類；引入自適應權值因子改進的LS 方法進行分段軌跡的曲線擬合；并通過實測車輛軌跡數據進行驗證。本文方法能夠有效對3 種鐵路平面線形進行識別，改進的LS 方法可降低野值數據擬合權值，從而提高軌跡擬合平滑度，比傳統LS 方法擬合精度更高。