中考數學應用性問題的解題關鍵

福建省泉州市泉港區圭峰中學（362802）郭淑華

應用性問題是近幾年中考數學的熱點之一，它以解決實際問題為目標。要想破解應用性問題，需找到其解題關鍵。下面筆者結合近幾年各地中考數學試題，分析應用性問題的特點，找出其解題關鍵，以供參考。

一、方程（組）的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）行程問題（包括相遇問題、追及問題、環形問題、水中航行問題等）；（2）工程問題；（3）濃度問題；（4）增長率或降低率問題；（5）數字問題；（6）最優策略問題；（7）最值問題。

［例1］（2021·張家界）2021 年是中國共產黨建黨100 周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發地紀念館”成為重要的活動基地。據了解，今年3 月份該基地接待參觀人數10 萬人，5 月份接待參觀人數增加到12.1萬人。

（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預計6 月份的參觀人數是多少？

簡析（1）設這兩個月參觀人數的月平均增長率為x，根據5 月份該基地接待參觀人數=3 月份該基地接待參觀人數×（1+增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案；（2）利用6 月份該基地接待參觀人數=5 月份該基地接待參觀人數×（1+增長率），即可求出答案。

點評列方程（組）解應用題，關鍵是認真審題，正確分析題意，找出問題中的等量關系，然后根據等量關系列出方程（組）。列方程（組）時，等式兩邊應意義相同、單位一致、數量相等。若所列的方程是分式方程，結果要驗根并且所得的解與實際要相符合。

二、不等式（組）的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）以市場經濟為背景的不等式（組）應用題；（2）運用不等式（組）解決的方案設計類應用題。

［例2］（2018·湘潭）湘潭市繼2017年成功創建全國文明城市之后，又準備爭創全國衛生城市。某小區積極響應，決定在小區內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2 個溫馨提示牌和3 個垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。

（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？

（2）該小區至少需要安放48 個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100 個，且費用不超過10 000 元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

簡析（1）2 個溫馨提示牌和3 個垃圾箱的總價格是550 元，垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3 倍，據此建立方程組即可得出答案；（2）根據“至少需要安放48 個垃圾箱”“費用不超過10 000 元”這兩個信息，建立不等式組即可得出答案。

點評列不等式（組）解應用題的一般步驟是：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母表示未知數；（2）找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式；（3）列出不等式（組），解不等式（組），求出解集并作答。解決這類問題的關鍵是根據問題實際建立不等式（組）模型，利用不等式（組）解的情況對問題作出最佳決策。

三、函數的應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）一次函數的應用性問題；（2）二次函數的應用性問題；（3）分段函數及其他函數的應用性問題。

［例3］（2021·金華）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖1，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為

圖1

（1）求雕塑高OA；

（2）求落水點C，D之間的距離；

（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD。問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明。

簡析（1）利用二次函數圖像上點的坐標特征可求出點A的坐標，進而得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函數圖像上點的坐標特征，求出點D的坐標，可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長度，再由CD=OC+OD即可求出落水點C，D之間的距離；（3）代入x=10 求出y值，進而可得出點在拋物線y=上，將與1.8 比較后即可得出頂部F不會碰到水柱。

點評利用函數模型來解決實際問題，首先要求出函數的解析式和自變量的取值范圍，然后通過函數的增減性來確定函數的最值。

四、統計初步的應用性問題

統計初步有關問題是初中數學應用性問題的一個方面。隨著素質教育對學生應用數學的意識要求的提高，近幾年在中考數學試題中經常出現統計初步的應用性問題，教師在中考總復習時應重視。

［例4］（2019·鄂州）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節目的喜愛情況，隨機選取該校部分學生進行調查，要求每名學生從中選出一類最喜愛的電視節目，以下是根據調查結果繪制的統計圖表的一部分。（如下表和圖2所示）

圖2

請你根據以上信息，回答下列問題：

（1）統計表中m的值為______，統計圖中n的值為______，A類對應扇形的圓心角為______度；

（2）該校共有1500 名學生，根據調查結果，估計該校最喜愛體育節目的學生人數；

（3）樣本數據中最喜愛戲曲節目的有4 人，其中僅有1 名男生。從這4 人中任選2 名同學去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2 名同學中有男生的概率。

簡析（1）由B 類別人數及其百分比求出調查人數，再用調查人數減去A、B、C、E 類別總人數得出m的值，然后根據百分比概念求出n，最后用360°乘以A 類別人數所占比例，獲得圓心角的度數；（2）根據統計圖表中的樣本數據來估計，答案可得；（3）利用樹狀圖或列表，將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可。

點評解這類問題的關鍵是運用統計的思想對數據進行耐心、細致的觀察，通過分析、比較，得到相應的特征數，運用統計初步的有關知識解決問題。

五、幾何應用性問題

該類問題常見的類型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知識進行測量的問題；（2）利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。

［例5］（2020·聊城）如圖3，小瑩在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識對某小區居民樓AB的高度進行測量。先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35 m，后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6 m，小瑩的觀測點N距地面1.6 m。求居民樓AB的高度（精確到1 m）。（參考數據：sin 55° ≈0.82，cos 55° ≈0.57，tan 55°≈1.43）

圖3

簡析過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，通過解Rt△DFN得到線段NF的長度，進而得到線段NE的長度，再解Rt△BEN得到BE的長度。

點評解這類問題的關鍵是準確理解一些專有術語（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含義，在理解題意的基礎上準確畫出圖形，把題目中的已知量和未知量轉化到圖形中，然后運用相應的幾何知識來解決問題。

六、綜合應用性問題

對應用性問題的考查，是近年中考數學的一大熱點，有些試題同時考查多種應用性問題，要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。

［例6］（2018·南充）某銷售商準備在南充采購一批絲綢，經調查，用10 000 元采購A 型絲綢的件數與用8 000 元采購B 型絲綢的件數相等，一件A型絲綢進價比一件B型絲綢進價多100元。

（1）求一件A型、B型絲綢的進價分別為多少元？

（2）若銷售商購進A 型、B 型絲綢共50件，其中A 型的件數不大于B 型的件數，且不少于16 件，設購進A型絲綢m件。

①求m的取值范圍；

②已知A 型的售價是800 元/件，銷售成本為2n元/件；B 型的售價為600元/件，銷售成本為n元/件。如果50 ≤n≤150，求銷售這批絲綢的最大利潤w（元）與n（元）的函數關系式（每件銷售利潤=售價-進價-銷售成本）。

簡析（1）根據題意，用分式方程解題；（2）①根據所提供條件，列出關于m的不等式組，可求得m的取值范圍；②根據題意，列出銷售利潤y與m的函數關系式，討論所含字母n的取值范圍，則w與n的函數關系式可得。

［例7］（2021·盤錦）某工廠生產并銷售A，B 兩種型號車床共14臺，生產并銷售1臺A 型車床可以獲利10 萬元；如果生產并銷售不超過4 臺B 型車床，則每臺B 型車床可以獲利17 萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設生產并銷售B型車床x臺。

（1）當x＞4時，完成以下兩個問題：

①請補全下面的表格：

②若生產并銷售B 型車床比生產并銷售A 型車床獲得的利潤多70 萬元，問：生產并銷售B 型車床多少臺？

（2）當0 ＜x≤14 時，設生產并銷售A，B 兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產并銷售A，B 兩種車床的數量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤。

簡析（1）①由題意知，生產并銷售B 型車床x臺時，生產并銷售A 型車床(14 -x)臺，當x＞4時，每臺B型車床可以獲利[17 -(x-4)]=(21 -x)萬元，②由題意得方程10(14 -x)+70=[17 -(x-4)]x，解得x1=10，x2=21（舍去）；（2）當0 ＜x≤4時，W=10(14-x)+17x，整理得W=3x+140，因為3 ＞0，故當x=4 時總利潤W最大，為3×4 +140=152（萬元）；當x＞4 時，W=10(14 -x) +[17 -(x-4) ]x，整理得W=-x2+11x+140，因為-1 ＜0，所以當x==5.5 時總利潤W最大，又由題意知x只能取整數，所以當x=5或x=6時，總利潤W最大，為-52+11 × 5+140=170（萬元）。

點評綜合應用性問題在突出綜合性的同時強調應用性，這類問題一般注意聯系學生的生活實際，關注社會熱點，注重學科知識的內在聯系和整合，能夠有效考查學生收集信息和處理信息的能力、模型轉化能力、分析綜合能力、計算和表達的能力。解決這類問題的關鍵是根據題目的已知條件，分析數量關系，靈活運用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來，迅速地找到解題的切入點，建立相關的數學模型。

縱觀近幾年來全國各地的中考數學試題，通過歸類分析可知，應用性問題的解題關鍵是：在準確理解題意的基礎上，利用已知條件，運用方程（組）、不等式（組）、函數、統計初步、幾何等數學知識，分析實際問題中內在的、本質的關系，建立數學模型解決問題。