基于功率流法的城市高架軌道振動能量傳遞特性研究

姜秀杰,劉 艷,2,李秋彤,2,劉 歡,袁賢浦,2

(1.上海材料研究所,上海 200437； 2.上海消能減震工程技術研究中心,上海 200437； 3.上海第二工業大學環境與材料工程學院,上海 201209)

隨著城鎮化和軌道交通線路的迅速增長，城市高架軌道交通以經濟、高效以及占地面積小等優點得到了快速發展，但其運行時產生的振動會產生嚴重的擾民問題[1-3]。在振動特性評價方面，軌道交通大多采用力、加速度、速度和位移等傳統評價指標。而大量研究表明，振動是以能量的形式傳遞的，傳統的評價指標具有一定局限性[4]。

功率流結合了力和速度兩種變量，可以從能量的角度對系統振動的傳遞特性進行評價，在機械、船舶、航天器等領域隔振性能方面均得到了廣泛應用[5-7]。功率流概念最初是由GOYDER和WHITE[8]在1980年提出的，目標是減少振源和鄰近結構之間能量的傳遞。隨著功率流理論的發展和完善，上官文斌等[9]計算分析了在路面不平度激勵下，經懸架襯套和減振器上端支撐傳遞到車身車架的功率流，從而識別出能量的最大傳遞路徑，并分析了襯套特性對功率傳遞的影響；CHOI等[10]基于等效功率流遞進法確定了夾層結構浮筏隔振系統的功率流，研究表明，僅通過增大阻尼的方式，并不能避免高頻范圍內夾層浮筏對稱模態的共振峰；吳梓峰[11]基于振動功率流理論，開發出控制結構體內振動功率流流向的裝置和方法，并應用到船舶結構振動控制中。功率流在軌道交通領域也得到了相關應用。HUSSIN等[12]通過建立地下隧道內置板模型，以平均功率流為評價指標評價了減振措施的有效性；汪力等[13]基于功率流理論，采用諧響應分析方法，研究了扣件系統垂向剛度的匹配，給出了較優的剛度匹配配置；劉輝鵬[14]通過建立鋼軌-浮置板-基礎功率流傳遞模型，研究軌道結構參數對功率流傳遞的影響特性。

綜上可知，盡管功率流在軌道交通行業得到了相關應用，但研究成果較少，且存在一些不足。例如，模型過于簡化且大多未經過試驗驗證，或僅進行頻域內的諧響應分析，未考慮實際車輛作用下的振動特性。而城市軌道交通中采用的高架軌道由多層隔振系統組成，振動從上往下的傳遞是一種能量分配、儲存和耗散的過程。因此，以城市高架軌道交通中常見的減振墊式浮置板道床為研究目標，基于單層隔振系統和多層隔振系統功率流理論，分析能量的傳遞和耗散；通過建立車-軌-橋系統垂向有限元模型，結合功率流計算方法，分頻段研究了功率流在軌道結構中的分布和傳遞規律。研究結果可為高架軌道結構振動控制和減振設計提供工程指導。

1 功率流理論基礎

1.1 單層隔振系統

圖1 單自由度隔振系統

(2)

式(2)左側的第一項和第三項可通過對系統動能和勢能的求導獲得

(3)

(4)

由上可知，輸入系統的瞬時功率等于阻尼元件的瞬時耗散功率加上動能和勢能的瞬時變化率之和。

實際中不規則外力的作用效果可用多個規則的簡諧力疊加來代替，因此，研究簡諧力作用下的響應具有重要意義[16]。用f(t)表示結構中某點所受的激勵，對應的速度響應為v(t)，如式(5)、式(6)所示。

(5)

(6)

式中，F和V分別為力和速度的復數幅值，包含相位信息；*為復數的共軛。

將式(5)、式(6)代入式(2)可得輸入系統瞬時功率的另一種表達方式，如式(7)所示。

(7)

(8)

式中，右側第一項是常數，表示輸入系統的平均功率，第二項表示隨時間變化的瞬時功率，頻率為外界激勵頻率的2倍。

將式(5)和式(6)左右兩側相乘可得

(9)

式中，F為向量，因此，式(9)的第一項可寫為

(10)

式中，Pav為輸入系統的平均功率；φ為外界激勵載荷f(t)和速度v(t)之間的夾角。

圖2表示輸入系統的瞬時功率，圖中陰影部分的瞬時功率為負值，表示能量在激勵源和系統之間相互交換，這部分能量被存儲系統的振動能量，即動能和勢能。又因系統中包含阻尼元件，所以輸入系統的一部分能量被阻尼元件所消耗，導致返回激勵源的能量小于輸入系統的能量。因此，瞬時功率均值大于0，如圖2中紅色虛線所示。

圖2 瞬時功率隨時間的變化規律

1.2 多層隔振系統

對于多層隔振系統，其運動學方程如式(11)所示[17-18]

(11)

式中，[M]， [C]和[K]分別代表質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{f(t)}為外界激勵向量。

當外界有N個激勵同時作用于系統時，輸入系統的瞬時功率可用式(12)表示。

(12)

式中，{v}T為速度向量的轉置。

對于多自由度隔振系統的穩態響應，能量計算公式如下

(13)

(14)

(15)

由上節知，輸入系統的瞬時功率等于阻尼耗散功率與動能和勢能瞬時變化率之和，因此，綜合公式(13)～式(15)，可得

(16)

式中，D、T和U分別為阻尼元件的瞬時耗散功率、動能和勢能[12]。

參照單自由度隔振系統，穩態響應的速度和位移復數表示如下

(17)

(18)

將上式代入公式(12)，可得輸入多層隔振系統的瞬時功率

(19)

式中，等式右側第一項Pav為輸入系統的平均功率；第二項為隨時間變化的瞬時功率，頻率為外界激勵頻率的2倍。

2 有限元模型及功率流計算

2.1 模型建立

常見的城市高架結構包含軌下-板下-橋下多層彈性體，自上而下各層彈性子系統之間在幾十到幾百赫茲的范圍內存在相互作用，如圖3所示。因此，采用有限元分析將更加方便、高效。建立有限元模型如圖4所示，模型中車輛系統由車體、轉向架、輪對以及一系、二系懸掛組成，軌道系統由鋼軌、軌道板、橋梁以及扣件、軌道板支承和橋梁支座組成。其中，一系懸掛、二系懸掛、扣件、軌道板支承、橋梁支座采用彈簧/阻尼器單元，鋼軌、浮置板、橋梁采用實體單元，車體、轉向架、輪對采用剛體單元。在車體中心施加質量和轉動慣量，同時假設車輛勻速前進。車體考慮點頭、搖頭、浮沉、側滾、橫移5個方向的自由度，轉向架和輪對考慮點頭、浮沉和側滾3個方向的自由度。鋼軌為60 kg/m軌，僅考慮其垂向振動。軌道板單個長6.0 m，寬2.7 m，一垮橋上裝配5塊軌道板?？紤]動力邊界效應，橋梁為3跨的簡支箱梁模型。模型總長104 m，鋼軌兩端施加全約束。車輛系統和軌道結構基本參數分別如表1、表2所示。

圖3 城市高架軌道力學模型

圖4 城市高架軌道有限元模型

表1 車輛系統基本參數

表2 軌道結構基本參數

模型中的輪軌接觸定義為面-面接觸，車輪為主面，鋼軌軌頭為從面。輪軌間的接觸屬性包含法向作用和切向作用。法向采用赫茲非線性接觸模型定義，切向作用采用軟件中的“軟”接觸表格定義，切向作用力為

F=μP(t)

(20)

式中，μ取0.25。

考慮車體質量及車輛經過鋼軌時幾何不平順的共同作用，選擇美國六級高低不平順譜作為模型的激勵，時域樣本如圖5所示；行車速度取60 km/h。

圖5 高低不平順譜

2.2 模型驗證

測試地點為國內某城市軌道交通高架橋線路區間，測試斷面為直線區段。橋梁形式為30 m雙線簡支箱梁，梁高1.8 m，道床為墊式浮置板結構，布置了橋梁底板Z1、橋梁腹板Z2、橋梁翼板Z3三個垂向加速度振動測點，如圖6所示。

圖6 測點示意

對試驗和仿真獲得的加速度響應進行時頻轉換，得到加速度在頻域內的大小和分布，為直觀展示，引入振動加速度級的概念，并采用1/3倍頻程的展示方法。

(21)

式中，振動加速度級La的單位為dB；a為實測加速度；a0為基準加速度，取值1×10-6m·s-2。

實測與仿真的振動加速度級如圖7所示。由圖7可知，橋梁各測點振動加速度級在63 Hz及500 Hz附近存在峰值，且仿真結果與測試結果具有較好的一致性，從而驗證了有限元模型的準確性。

圖7 各測點振動加速度級

2.3 功率流計算

功率流計算過程如下，首先，采用有限元模型在時域內求解隔振元件節點的載荷和速度；然后，通過傅里葉變換轉化到頻域內；最終求得高架軌道結構各層功率的分布特性及各層之間的功率流傳遞規律[5]。

由第一節單層隔振系統和多層隔振系統的功率流計算式(2)和式(12)可知，輸入系統的瞬時功率可表示為

Pi=Fi×Vi

(22)

式中，Pi為輸入節點的瞬時功率；Fi為輸入節點的瞬時載荷；Vi為節點的瞬時速度響應。

對于結構振動分析而言，平均功率具有實際意義，因為一段時間內的平均功率更能反映外部激勵注入結構的能量強度[13]。因此，將一段時間內輸入至系統的功率進行積分后，再對時間求平均，得到輸入系統的振動功率流，即

(23)

式中，F(t)為作用于結構某點處的時域外力；V(t)為該點因F(t)而產生的速度響應。

如果激勵和響應均用復數表示，根據單層隔振系統計算式(6)以及多層隔振系統計算式(19)，可知輸入系統的平均振動功率如下式所示[14]

(24)

式中，Re為取復數的實部；上標*為復數的共軛；F和V分別為頻域內復數形式的力和速度。

有限元模型中彈簧阻尼單元節點的振動功率流計算示意如圖8所示，提取彈簧阻尼單元的彈簧力Fi，然后取相反數，得到作用于此節點的外力。結合此節點的速度響應Vi，根據式(24)求得輸入系統的平均振動功率流。再對所有節點求和，得到輸入軌道結構各層的總功率流，最終根據式(25)求出相對功率流。

(25)

式中，Pr(k)為相對功率流，dB；Ps(k)為總功率流；P0為參考功率流，計算高架軌道橋上的功率流時，P0取1×10-8N·m/s。

圖8 節點功率流計算

3 結果分析

采用上述已驗證模型，對鋼軌、軌道板和橋梁組成的高架軌道結構進行模態分析，確定其模態振型和頻率。因在無砟軌道結構中，鋼軌垂向振動響應主要受列車固定軸距的影響，而軌下結構即軌道板和橋梁的垂向振動響應主要受扣件間距影響[19]。因此，以功率流為評價指標，僅考慮由周期性引起的軌道結構振動，通過計算給出輸入軌道結構各子系統功率流的大小與分布，進而分析功率流在軌道結構中的傳遞規律。

3.1 模態分析

高架軌道橋梁結構參數如表2所示。由于鋼軌和軌道板之間的連接剛性較大，將鋼軌、扣件、軌道板和軌道板支承作為一個整體，分析高架軌道結構和橋梁的前五階振型，固有頻率和對應振型見表3。由表3可知，在低頻范圍內，軌道結構和橋梁的振型主要表現垂向或橫向彎曲振動，其中，鋼軌、軌道板和橋梁三者同時出現的一階垂向彎曲振動的模態振型如圖9所示。

表3 軌道和橋梁前五階固有頻率和振型

圖9 鋼軌、軌道板和橋梁垂向彎曲振動(16.2 Hz)

3.2 功率流分布特性

圖10為功率流在軌道結構中的垂向傳遞示意。選擇模型中間一塊軌道板長度范圍內的軌道結構進行振動功率流計算。圖11為列車和軌道周期性作用下，輸入各子系統的振動功率流，曲線間間距表示功率流在傳遞過程中的損耗。由圖10、圖11可知，在1～1 000 Hz頻率范圍內，最高的振動功率流主要發生在10 Hz頻率范圍以內的低頻段，為軌道結構的周期性激勵頻率。輸入至鋼軌的振動功率流主要有兩個峰值，對應的頻率分別為16 Hz和200 Hz，鋼軌的振動能量主要集中在中高頻范圍內。傳遞至軌道板和橋梁的第一階振動功率流峰值也出現在16 Hz處，同時在1～1 000 Hz頻率范圍內有多個峰值，軌道板和橋梁的振動能量主要集中在中低頻范圍內。16 Hz處的振動功率流峰值是因為鋼軌、軌道板和橋梁在此頻率處同時出現了一階振型模態(圖9)。傳遞至軌道板的振動功率流與輸入鋼軌的有類似分布情況。而傳遞至橋梁的振動功率流在較低頻段和較高頻段內都較低，在10～63 Hz頻段內取得較大值。由此可知，能量在經過扣件系統后，高頻能量被衰減，低頻能量繼續往下傳遞；經過軌道板支承后，低頻能量都得到了更有效衰減。

圖10 能量在軌道結構中的傳遞示意

圖11 輸入各子系統的振動功率流

3.3 功率流傳遞規律

圖12為軌道結構不同子系統間的功率流傳遞率。由圖12可知，軌道板至橋梁的功率流傳遞率在全頻段均小于1，說明能量經過軌道板支承后在全頻段均得到了衰減。而鋼軌至軌道板的功率流傳遞率除10～100 Hz頻率范圍內，其余頻段內均小于1，出現功率流傳遞率大于1的原因是軌道板結構在這些頻率處出現了共振現象。在63～500 Hz頻率范圍內，鋼軌至軌道板的功率流傳遞率逐漸減小，說明扣件系統在較高頻頻段內可發揮更好的能量儲存和耗散效果。在低頻段范圍內，軌道板至橋梁的功率流傳遞率最小，說明軌道板支承在低頻范圍內可發揮更優越的能量儲存和耗散效果。

圖12 不同子系統間功率流傳遞率

采用平均振動能量級對軌道結構不同頻率段內的總振動能量進行評價[20]。計算公式如下

(26)

式中，Pa為結構的平均振動能量級；K為頻率點的數量。

圖13表示平均振動能量級在軌道結構子系統間的傳遞情況。由圖13(a)可知，從鋼軌至軌道板和軌道板至橋梁均發生了明顯衰減，且衰減量基本一致，主要是各子系統隔振元件發揮了其儲能和耗能作用。由圖13(b)可知，在低頻1～100 Hz頻率范圍內，功率流呈現先增大后減小的走勢，主要是一方面扣件系統低頻隔振效果較差，另一方面如前文所述，軌道板在低頻段發生了共振，導致能量在傳遞過程中反而出現了增加的現象。由圖13(c)可知，在100～1 000 Hz的中高頻頻率范圍內，能量在傳遞過程中呈現衰減趨勢，主要是扣件和軌道板支承在中高頻頻率范圍內都發揮了較優越的能量儲存和耗能效果。

圖13 軌道結構的平均振動能量級

4 結論

本文引入功率流指標，從能量的角度分析了高架軌道結構周期性振動下能量分布及傳遞規律，得到如下結論。

(1)列車垂向振動產生的能量在軌道結構固有頻率處取得峰值。鋼軌的振動能量集中在中高頻范圍，引起鋼軌的高頻振動，軌道板和橋梁的振動能量集中在中低頻范圍，引起兩者的低頻振動響應。

(2)在全頻段(1～1 000 Hz)和中高頻(100～1 000 Hz)范圍內，扣件和軌道板支承的存在，使得振動能量在傳遞過程中逐漸減小，且減小趨勢明顯；在低頻段(1～100 Hz)范圍內，軌道板的共振導致振動能量從上往下傳遞過程中呈現先增大后減小的趨勢。

(3)扣件可有效衰減鋼軌中高頻段(100～ 1 000 Hz)振動能量；軌道板支承可有效衰減軌道板低頻(1～10 Hz)振動能量。實際中可通過設計扣件和軌道板支承的剛度和阻尼，獲得最優的減振效果。

(4)功率流指數直觀反映振動能量在軌道結構中的分布、傳遞和衰減規律，為軌道交通領域的減振、隔振設計提供理論基礎和工程指導。