“雙減”背景下單元設(shè)計的課堂測評實踐與思考
——以“函數(shù)概念與性質(zhì)的應(yīng)用”復習課為例

浙江省富陽中學 (311400) 陳 暉浙江省杭州市余杭區(qū)教育發(fā)展研究學院 (311100) 曹鳳山

1 課堂測評的背景分析

2021年7月《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》(以下簡稱“雙減”政策)公開發(fā)布.“雙減”政策核心目的是減輕學生學習負擔，讓學科教育回歸校園，落實立德樹人根本任務(wù)，促進學生全面發(fā)展和健康成長.“雙減”政策明確了9個“嚴禁”和15個“不得”，重點涉及作業(yè)布置、考試實施、教育教學質(zhì)量的內(nèi)容[1]. “雙減”政策減的是學習負擔，但絕對不能以降低教學質(zhì)量、犧牲測評效果來實現(xiàn)“雙減”目標.雖然“雙減”政策只針對義務(wù)教育階段，還未在高中階段具體實施，但高中階段的教師應(yīng)以此為契機，重新審視教學效果，提高教學質(zhì)量，落實核心素養(yǎng).

2 課堂測評的意義研究

以學科大概念為核心的單元設(shè)計“以終為始”，強調(diào)預(yù)期結(jié)果，鼓勵學生依據(jù)核心概念進行思考，實現(xiàn)掌握知能、理解意義、學會遷移的三種目標.基于單元設(shè)計的課堂測評將分數(shù)的獲得融入素養(yǎng)培養(yǎng)的過程之中，實現(xiàn)“點→線→面”遞進式考查，引導學生整合概念、尋找知識共性、提煉知識本質(zhì).

課堂測評有別于傳統(tǒng)課后作業(yè)和測驗考試.課堂測評以測試為主、以講評為輔，在課堂內(nèi)完成整個測評流程.課堂測評的核心目的是改變過去“部分+部分=整體”的知識組織形式，代之為“整體-部分-整體”的知識建構(gòu)方式.教師通過自身建立的知識間的聯(lián)系，從知識點的教學轉(zhuǎn)為核心概念的理解和認識，將零散的知識進行整合實現(xiàn)“整體”意識.學生在課堂測評過程中，逐層體會知識點的“形散神不散”，從簡單概念理解到基本性質(zhì)應(yīng)用再到核心概念理解，實現(xiàn)遷移的最終目標.

3 課堂測評的內(nèi)容選擇

課堂測評的內(nèi)容以知識概念為明線，以能力素養(yǎng)為暗線，關(guān)注學科知識技能的結(jié)構(gòu)化，突顯概念本質(zhì)和學科實踐，實現(xiàn)通過基礎(chǔ)性知識技能進行意義建構(gòu)的目標.

函數(shù)是描述現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用[2].函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的四條主線之一，并且是必修課程的第二個主題，包含函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，函數(shù)應(yīng)用等四個單元內(nèi)容.函數(shù)概念與性質(zhì)單元包括：函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的形成與發(fā)展(屬于選學內(nèi)容，不作為考試要求).

函數(shù)概念與性質(zhì)單元學習意義重大.必修課程的主題一預(yù)備知識的最后一個單元內(nèi)容為從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式，并且本單元又是主題二的第一單元內(nèi)容，承擔著承上啟下的作用.高中階段數(shù)學知識相比初中階段要抽象，更深層次地揭示概念本身.例如在初中用變量之間地依賴關(guān)系描述函數(shù)，但在高中運用用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，強調(diào)對應(yīng)結(jié)果而非對應(yīng)過程，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).高中階段數(shù)學知識的連貫性同時體現(xiàn)于單元設(shè)計之中，函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、最大值、最小值、奇偶性、周期性)概念的定義和幾何意義的了解為后期學習具體函數(shù)指明研究方向，幫助學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中所蘊含的運算規(guī)律，能夠建立簡單函數(shù)模型，解決簡單的實際問題.

4 課堂測評的實錄展示

本次課堂測評以高三復習課為模式，結(jié)合課堂練習、合作交流為基本活動進行開展.根據(jù)函數(shù)概念與性質(zhì)的單元學習內(nèi)容，一共安排兩課時五階段進行實際教學，如表1所示.

表1 單元設(shè)計思路

4.1 課前檢測 理解概念

例1 下列圖形中可以表示為以M={x|0≤x≤1}為定義域，以N={y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是( ).

A. B.

C. D.

解析：選項A，函數(shù)定義域為M，但值域不是N；選項B，函數(shù)定義域不是M，值域為N；選項D，集合M中存在x與集合N中的兩個y對應(yīng)，不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.故選C.

設(shè)計意圖：用圖象法表示函數(shù)，強調(diào)函數(shù)圖象的作用，從圖象中更直觀地理解函數(shù)的實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，能夠通過圖形直觀認識數(shù)學問題、歸納數(shù)學概念，達到直觀想象和數(shù)學抽象的水平一層次.

例2 已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由表2-1，表2-2表示.

x123f(x)211

x123g(x)321

則f(g(1))=；當g(f(x))=2時，x=.

解析：由表格的對應(yīng)關(guān)系可知，f(g(1))=f(3)=1；當g(f(x))=2時，則f(x)=2，此時x=1.

設(shè)計意圖：表示函數(shù)的方法有三種：圖象法、列表法、解析法.列表法是以表格形式呈現(xiàn)出實數(shù)之間的對應(yīng)，引導學生理解函數(shù)符號表達與抽象定義之間的聯(lián)系，能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，達到邏輯推理的水平一層次.

例3 下列四組中，表示同一函數(shù)的是( ).

A.f(x)=lnex，g(x)=elnx

解析：通過簡單運算，分析構(gòu)成函數(shù)的三個要素(定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域)，易得選C.

設(shè)計意圖：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域是構(gòu)成函數(shù)的三要素，幫助學生從實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系理解函數(shù)概念，考查學生對概念本質(zhì)的理解，達到數(shù)學抽象的水平一層次.四個選項都必須通過一系列的運算性質(zhì)才能化簡轉(zhuǎn)化，重點考查指數(shù)和對數(shù)運算性質(zhì)，達到數(shù)學運算的水平一層次.

以上3例屬于課前檢測，從函數(shù)三個不同的表示方法為切入點，喚醒學生對函數(shù)概念的認知，強調(diào)對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，檢測指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，為課堂的后續(xù)教學奠定基礎(chǔ).

4.2 性質(zhì)求解 落實基礎(chǔ)

例4 (2021年新高考Ⅰ卷第15題)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

設(shè)計意圖：以含絕對值函數(shù)的形式考查分段函數(shù)的性質(zhì)，從具體的數(shù)學情境出發(fā)，讓學生探究求解函數(shù)最小值的策略與方法，理解單調(diào)性的作用與意義，達到邏輯推理與數(shù)學運算的水平二層次.

例5 (2021年全國卷Ⅰ第13題)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=.

解析：因為f(x)為偶函數(shù)，故f(-x)=f(x)，即x3(a·2x-2-x)=-x3(a·2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，故a=1.

設(shè)計意圖：結(jié)合具體函數(shù)，以奇偶性的數(shù)學關(guān)系式為解題方法，重點考查奇偶性概念的知識技能，體現(xiàn)數(shù)學抽象水平一的測評要求.

設(shè)計意圖：延續(xù)例5的奇偶性考查思路，進一步探究函數(shù)奇偶性與周期性的相關(guān)聯(lián)系，要求學生能夠理解相關(guān)概念的邏輯關(guān)系，建立完善的知識體系，達到邏輯推理的水平二層次.

以上3例重點考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，對學生的基本知識和基本技能進行考查，關(guān)注學生對概念與性質(zhì)的掌握程度，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

4.3 結(jié)構(gòu)分析 優(yōu)化算法

例7 (2015年浙江卷第7題)存在函數(shù)f(x)滿足，對任意x∈R都有( ).

A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

設(shè)計意圖：兩種方法各有千秋，側(cè)重函數(shù)概念的方法一重點落實學生對概念的辨識度，要求學生理解概念、應(yīng)用概念；側(cè)重函數(shù)性質(zhì)的方法二要求學生對復合函數(shù)的理解，對性質(zhì)的把握與應(yīng)用.方法一能夠用恰當?shù)睦咏忉寯?shù)學概念，現(xiàn)實數(shù)學抽象水平二層次的考查；方法二對條件與結(jié)論的分析，實現(xiàn)邏輯推理水平二層次的考查.

例8 (2014年浙江卷第7題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3 B. 3

C. 69

解析：設(shè)f(-1)=f(-2)=f(-3)=k，則可令函數(shù)g(x)=f(x)-k=(x+1)(x+2)(x+3)，得到c=6+k∈(6,9]，故選C.

設(shè)計意圖：利用f(-1)=f(-2)=f(-3)構(gòu)造方程組求解實數(shù)a、b，是部分學生優(yōu)先選擇的方法，但對運算能力較薄弱的學生較為容易失分.學生在初中已經(jīng)學習二次函數(shù)的三種解析式：一般式、頂點式、兩根式，從二次函數(shù)到三次函數(shù)，利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造三次函數(shù)的根式，優(yōu)化計算過程，培養(yǎng)學生的遷移能力和邏輯推理.

例9 (2020年全國Ⅰ卷第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

設(shè)計意圖：從方程轉(zhuǎn)化到函數(shù)、等式到不等式，一系列的解題步驟滲透著轉(zhuǎn)化的思想方法，分別從數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算的三個方面培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

以上3例的情境設(shè)置是熟悉的數(shù)學情境，對數(shù)學問題的考查具有多角度深層次特性.要求學生針對具體問題，分析結(jié)構(gòu)特點，優(yōu)化解題思路.

4.4 逆向而行 回歸原點

例10 (2004年浙江卷第12題)若f(x)和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-f(g(x))=0有實數(shù)解，則g(f(x))不可能是( ).

設(shè)計意圖：從方程的解到函數(shù)解析式，再從函數(shù)到方程無解，要求學生能正確用符號語言刻畫函數(shù)的概念和函數(shù)與方程之間的關(guān)系，切合高考的選拔性要求.

設(shè)計意圖：通過梳理函數(shù)的最大值定義，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，避免分類討論，減輕運算負擔，認識并應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì).此題方法不唯一，有分類討論、數(shù)形結(jié)合等多種解題策略.利用最大值定義的目的是讓學生從另一個角度分析和解決問題，回歸概念.

例12 若函數(shù)f(x)=x3-ax2-2ax+a2-1與x軸有且僅有一個交點，則a的取值范圍是.

設(shè)計意圖：正難則反的解題思路開拓學生的思維廣度，辯證的觀點看待問題提升學生的思維高度.能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊含的函數(shù)與方程思想，達到邏輯推理的水平三層次.

以上3例問題的難度較之前的幾個例題明顯加大，要求學生在看似熟悉的數(shù)學情景之中，結(jié)合基本活動經(jīng)驗，能夠構(gòu)建過渡性命題，對概念的理解以及深入地應(yīng)用.

4.5 跨界應(yīng)用 滲透思想

例13 已知關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)在[2,+∞)有解，則a2+b2的最小值為.

設(shè)計意圖：通過主元分析，學生能夠一目了然地理解方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合方法，從代數(shù)轉(zhuǎn)化到幾何，提升解題正確率.

設(shè)計意圖：以向量的基本知識為載體，構(gòu)建具體函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)值域問題.

例15 (2010年浙江卷理科第15題)設(shè)a1,d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是.

設(shè)計意圖：以數(shù)列的基本知識為載體，考查利用一元二次方程或函數(shù)知識解決參數(shù)取值問題.

以上3例的情境設(shè)置不再是題目中所呈現(xiàn)的情境，滲透函數(shù)思想，體現(xiàn)知識的連貫性、方法的普適性、思想的一致性.

5 課堂測評的反思建議

2019年教育部公布了《中國高考評價體系》，提出了“一核”“四層”“四翼”的構(gòu)架，指出“經(jīng)過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，思維認知強的學習者應(yīng)當能夠獨立思考，通過自己的邏輯思辨，發(fā)表獨立的、有創(chuàng)造性的看法；能夠從多個角度觀察、思考同一個問題，能夠靈活地、創(chuàng)造性地運用不同地方法，發(fā)散地、逆向地解決問題；能夠通過敏銳地洞察力，發(fā)現(xiàn)復雜、新穎情境中的關(guān)鍵事實特征和有價值的新問題”[3].課堂測評要求教師結(jié)合實際教學環(huán)境，精心準備相關(guān)問題引導學生積極思考、主動探索，幫助學生厘清事物發(fā)展的脈絡(luò)，形成用數(shù)學眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學知識分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生理性精神.

針對高三習題課特點，依托于單元設(shè)計的課堂測評能幫助教師更好地發(fā)現(xiàn)學生問題，減輕學生學業(yè)負擔，避免重復性低效性的訓練.基于單元整體設(shè)計的課時教學設(shè)計，發(fā)揮每道例題的必備知識測試作用，強調(diào)在思考問題、分析問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中關(guān)鍵能力的運用，例題之間的層層遞進凸顯學生在不同情境之下處理問題的學科素養(yǎng)，大概念間不同的測評角度落實立德樹人的育人功能和政治使命.課堂測評的具體實例應(yīng)以課程標準為綱領(lǐng)性文件，突顯知識內(nèi)容的核心價值，以“四翼”為根本準則.同時，課堂測評受限于課堂時間、學生心理、基礎(chǔ)等各種因素，教師需重視課堂測評有效值和后效措施.

課堂測評中，教師應(yīng)始終占據(jù)主體地位，對測評的設(shè)計、組織、實施、評價和效果負有主要責任.測評的實施過程中，合適的測評定位、適當?shù)臏y評難度、精準的測評目標是根本準則.測評內(nèi)容的選擇要遵循其有效性、突出性、代表性，從核心概念出發(fā)，強調(diào)核心方法應(yīng)用，構(gòu)建核心知識體系，注重核心素養(yǎng)培養(yǎng).

“雙減”政策的貫徹執(zhí)行和核心素養(yǎng)的落地落實，是教師教育教學的根本任務(wù).發(fā)揮數(shù)學試題的功能價值、踐行課堂測評的評價價值、落實教育教學的育人價值，是教師努力的措施與方向.