注重解題通法，加強變式探究
——以一道高二期末聯(lián)合測試題為例

重慶市忠縣中學校 (404300) 張 侶

圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考或各地模擬考試中常見的熱點問題.此類問題考查知識點多，涉及范圍廣，形式靈活多變，思維視角多樣，利于考生的選拔與區(qū)分，可以很好考查學生的數(shù)學知識、思想方法和能力，深受命題者青睞.

一、題目呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程；(2)若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q，直線NQ交x軸于點T，求|QT|·|TN|的最大值.

試題評析：第(1)問以過A,B定點的兩條動直線斜率乘積為定值入手，探究兩條直線交點的軌跡方程，較為簡單，注重考查數(shù)學的基本知識，基本概念.第(2)問考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長表示，最值問題.試題立足通性通法，注重數(shù)學本質(zhì)，設(shè)計合理，解法多樣，考查了學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，有很好的教學引導作用.

二、解法研究

點評：聯(lián)立直線與橢圓方程，借助韋達定理即可求出x1x2+y1y2，結(jié)合直線MQ與MN的垂直關(guān)系，獲得了kMQ=2kMN，進一步得到參數(shù)m與t的關(guān)系，借助弦長公式得到|QT|·|TN|的表達式，再根據(jù)基本不等式求最大值.

點評：從圓錐曲線點差法的思想角度入手，探尋直線MN與NQ的斜率乘積為定值，結(jié)合直線MQ與MN的垂直關(guān)系，獲得了kMQ=2kMN.根據(jù)直線MN與NQ方程求點N的縱坐標，借助弦長公式得到|QT|·|TN|的表達式，再根據(jù)基本不等式求最大值.

三、變式拓展

結(jié)合以上原問題的破解過程，改變問題的設(shè)問方式，獲得以下幾個變式問題.

變式1 若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q，直線NQ交x軸于點T，求證：直線MT垂直于x軸.

變式2 若點M在曲線C上，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q，MT⊥x軸，垂足為T，連接QT并延長交C于點N.求證：kMQ·kMN為定值.

變式3 若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q，求△MQN面積的最大值.

四、解后反思

著名數(shù)學家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，采到一顆蘑菇以后應向周圍看看，可能還會有意外收獲”.因此，對試題的變式、引申、拓展探究就顯得尤為重要，所以教師在教學過程中要重視對試題的研究，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，再類比進行探究和拓展，以不同角度，不同方式進行解決問題，真正達到“求解一個題，拓展一類題，變式一片題”的最終目的，促使學生真正養(yǎng)成良好的數(shù)學思維品質(zhì)和解題能力，進而提升數(shù)學核心素養(yǎng).