2022年數學競賽中一些不等式題的精巧證明

南昌大學附屬中學 (330047) 付穎梅

2022年各國、各地區數學奧林匹克中出現了不少形式漂亮、內容完美的不等式題，異彩紛呈.本文對其中幾道試題給出精巧證明,以饗讀者.

讀者可以試著證明下面有趣的不等式：已知a,b,c是滿足a+b+c=3的非負實數，求證：

例4 (2022年羅馬尼亞數學奧林匹克試題)已知a,b,c,d是滿足a≥b≥c≥d， (a-b)(b-c)·(c-d)(d-a)=-3和a2+b2+c2+d2=14的實數，求證：(a+c)(b+d)≤8.

下面的問題留給讀者思考：

例6 (2022年摩爾多瓦數學奧林匹克試題)已知a,b,c,d是滿足a2+b2+c2+d2=4的實數，求證：a4+b4+c4+d4+4(a+b+c+d)2≤68.

證明：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd≤4(a2+b2+c2+d2)=16,a4+b4+c4+d4+4(a+b+c+d)2≤a4+b4+c4+d4+2(a+b+c+d)2+32=a4+b4+c4+d4+4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+40≤a4+b4+c4+d4+2(a2b2+1+a2c2+1+a2d2+1+b2c2+1+b2d2+1+c2d2+1)+40=(a+b+c+d)2+52=68.

另外，從上述證明可知，在相同條件下,以下不等式亦成立(證明留給讀者)：