基于核心素養(yǎng)理念下“圖形的變化”數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探索

文∣張碧鏗

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化、細(xì)化。教師應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，本文以初中數(shù)學(xué)內(nèi)容“圖形的變化”教學(xué)為例進(jìn)行探究。

初中數(shù)學(xué)“圖形的變化”涵蓋平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、相似、投影等五大內(nèi)容，貫穿七年級(jí)至九年級(jí)的教材，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。“圖形的變化”內(nèi)容較多涉及圖形的動(dòng)態(tài)變化，比較抽象，學(xué)生對(duì)于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)存在一定困難。如何在“圖形的變化”的教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，鍛煉學(xué)生的思維能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?

一、在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中，激發(fā)學(xué)生的探究熱情

在“圖形的變化”各章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容中，不少內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活、經(jīng)濟(jì)、科技等方面有關(guān)，解決這些實(shí)際問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)。激發(fā)學(xué)生的探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行實(shí)踐。

(一)直接建模應(yīng)用培養(yǎng)興趣

“圖形的變化”在生活中的應(yīng)用有很多，在進(jìn)行每個(gè)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)之前，教師應(yīng)充分挖掘教材的內(nèi)容，聯(lián)系生活的實(shí)際，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的密切聯(lián)系，如傳送帶的運(yùn)輸、電梯的平移、摩天輪及風(fēng)力發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)等，用圖片、案例引入數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生的興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情，把實(shí)際的場(chǎng)景畫(huà)面直接轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的平移模型、旋轉(zhuǎn)模型、軸對(duì)稱模型等。

教師也可在圖片中，適當(dāng)引入相關(guān)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例如：以風(fēng)力發(fā)電機(jī)為例引入旋轉(zhuǎn)模型，向?qū)W生介紹風(fēng)力發(fā)電的情況。風(fēng)力發(fā)電在芬蘭、丹麥等國(guó)家很流行，在我國(guó)西部地區(qū)得到大力發(fā)展，風(fēng)力發(fā)電沒(méi)有燃料問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生輻射或空氣污染，是一種特別環(huán)保的發(fā)電方式。風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動(dòng)風(fēng)車葉片旋轉(zhuǎn)，再通過(guò)增速機(jī)將旋轉(zhuǎn)的速度提升，來(lái)帶動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電。通過(guò)教師對(duì)一些課外知識(shí)的介紹，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情也得到了不斷提高。

(二)簡(jiǎn)單建模應(yīng)用激發(fā)求知?jiǎng)恿?/h3>

有些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題在建立數(shù)學(xué)模型后，還需要運(yùn)用較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，這樣才能讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的建模思想，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的奇妙。

例如在實(shí)際生活中，有些求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題，通過(guò)對(duì)某些圖形的平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)就能得到比較規(guī)則可求面積的圖形，繼而再求出相應(yīng)的面積。由此能讓學(xué)生感受到通過(guò)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等解決問(wèn)題的巧妙之處。同時(shí)學(xué)生也意識(shí)到掌握好了知識(shí)，才能在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候快速運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題；更易激發(fā)學(xué)生的求知欲，提升他們的應(yīng)用能力。

(三)深層建模應(yīng)用引導(dǎo)鉆研探究

有些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的各種背景，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)深層次的知識(shí)進(jìn)行解決，這種問(wèn)題對(duì)學(xué)生的能力要求比較高。例如人教版八年級(jí)上冊(cè)的“最短路徑”內(nèi)容。“牧馬人飲馬”“造橋選址”問(wèn)題中，如何選擇“飲馬”“造橋”的位置使得路徑最短，需要學(xué)生在充分理解圖形軸對(duì)稱性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型；能明白為什么所選的位置就是路徑最短，綜合性較強(qiáng)。

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的各種不同層次的問(wèn)題，教師應(yīng)關(guān)注教材中的案例，關(guān)注生活中信息，把這些案例和信息融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中；再通過(guò)建立不同層次的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，進(jìn)一步提升學(xué)生的應(yīng)用能力。這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的認(rèn)識(shí)也更加深刻，課堂內(nèi)容更加豐富多彩，也能更好地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

二、在圖形的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的想象能力

在“圖形的變化”中，圖形總是千變?nèi)f化的；變化前后的圖形之間又存在著一定的聯(lián)系。但圖形的變化對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都比較抽象，如何讓學(xué)生對(duì)圖形有更好的“圖感”，讓他們能想象圖形經(jīng)過(guò)變化后的狀態(tài)？教師可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行實(shí)踐。

(一) 重視畫(huà)圖操作，培養(yǎng)直觀圖感

在“圖形的變化”教學(xué)過(guò)程中，涉及平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、相似、位似等畫(huà)圖的教學(xué)內(nèi)容，教師要重視這些畫(huà)圖操作的教學(xué)，在課堂上安排充足的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫(huà)圖，通過(guò)畫(huà)圖加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形變化的熟悉，從而培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀想象能力。

例如在教學(xué)中，教師出示例題，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖。

圖1

【例題】如圖1，在直角△ABC中，以直角三角形一邊為邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在直角三角形的其他邊上。

教師讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖解決問(wèn)題，學(xué)生的答案會(huì)出現(xiàn)多種符合條件的圖形，如圖2。教師讓學(xué)生逐一展示，充分感受等腰三角形的對(duì)稱性質(zhì)。同時(shí)引導(dǎo)其加強(qiáng)對(duì)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定的理解，對(duì)于解決直角三角形和等腰三角形相結(jié)合的題型會(huì)有更好的直觀圖感，感受和體會(huì)分類討論的思想。

圖2

(二) 熟悉基本圖形，挖掘基本模型

在“圖形的變化”教學(xué)過(guò)程中，基本圖形的概念、性質(zhì)、畫(huà)圖等教學(xué)需要扎實(shí)開(kāi)展。綜合的幾何圖形中大都包含著多個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，只有落實(shí)好每一個(gè)基本圖形的變化教學(xué)，學(xué)生才能比較直觀看到各種基本圖形的組合。

【例題】 如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， ⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CM為⊙O的直徑，且CM=1。過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線分別交AB,AD于點(diǎn)G、H，BD與CG、CH分別交于點(diǎn)E、F，⊙O繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)(始終保持圓心O在正方形ABCD內(nèi)部)，求四邊形CGAH的面積的最大值。

圖3

這道綜合題包含直角三角形、正方形、圓形等基本圖形 ，是動(dòng)態(tài)變化的題目。

對(duì)于綜合題題型，教師應(yīng)挖掘基本圖形，提煉基本模型，利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決問(wèn)題，達(dá)到逐步培養(yǎng)學(xué)生圖形的直觀想象能力，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

(三)借助信息媒體，培養(yǎng)直觀想象

結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，教師還可以適當(dāng)借助計(jì)算機(jī)畫(huà)圖軟件來(lái)輔助教學(xué)。通過(guò)作出一些圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形，或沿某一條直線翻折后的圖形，展示滿足一定條件的運(yùn)動(dòng)軌跡等；這些教學(xué)活動(dòng)的展示都能培養(yǎng)學(xué)生幾何圖形直觀想象力。教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的適度融合，通過(guò)信息化的手段讓學(xué)生去感受圖形的變化，優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)，為學(xué)生解決問(wèn)題提供直觀資料的幫助，為學(xué)生理解知識(shí)而創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律提供啟發(fā)思路。

教師可借助各種教學(xué)手段，讓學(xué)生多進(jìn)行畫(huà)圖操作，讓學(xué)生熟練掌握基本圖形的知識(shí)點(diǎn)。在綜合題型中，挖掘或構(gòu)建基本模型，借助信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的融合等都能較好實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀想象能力核心素養(yǎng)。

三、在邏輯推理訓(xùn)練中，鍛煉思維能力

邏輯推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力,指根據(jù)已知推出新結(jié)論的一種能力。邏輯推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，“圖形的變化”各章節(jié)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)是非常好的契機(jī)。圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種變化中，圖形只是改變了位置，變化前后的圖形是全等的，三種變化是兩個(gè)圖形全等的特殊情況。而相似是圖形的大小發(fā)生了改變，全等是相似的特殊情況，位似也是相似的特殊情況。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)承上啟下、類比推理、猜想論證等提升學(xué)生的思維能力。

(一)以舊帶新，承前啟后

教學(xué)時(shí)，充分分析新知識(shí)構(gòu)建需要哪些舊的知識(shí)作為鋪墊，在熟悉舊知識(shí)的前提下推出新的知識(shí)，讓學(xué)生充分感受到邏輯推理的重要性。

例如人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十七章“相似”教學(xué)中，相似的判定方法，都是先通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，再進(jìn)一步證明相似，在四個(gè)相似方法的推導(dǎo)證明中，教師要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)全等的證明方法，再認(rèn)真思考如何證明相似三角形。在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角形相似的判定方法時(shí)，要注意從多方面考慮，構(gòu)造邊角關(guān)系。通過(guò)這些推理證明，以舊帶新，承前啟后，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力和思維能力，同時(shí)在推理過(guò)程中將所運(yùn)用到的邏輯思維遷移到后續(xù)學(xué)習(xí)中。

(二)類比推理，螺旋上升

對(duì)于有些問(wèn)題的推理論證，教師需要在簡(jiǎn)單問(wèn)題的基礎(chǔ)上一步一步地推導(dǎo)，運(yùn)用得到的結(jié)論和推導(dǎo)的方法進(jìn)一步探究新背景下問(wèn)題解決的策略與方法。這種類比推理的過(guò)程，能讓學(xué)生收獲成功的喜悅。

以人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十三章的習(xí)題為例。

【例題】如圖4，過(guò)菱形對(duì)角線交點(diǎn)的一條直線，把菱形分成了兩個(gè)梯形，這兩個(gè)梯形全等嗎？為什么？

圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)梯形關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)中心對(duì)稱，所以這兩個(gè)梯形全等。

教師進(jìn)一步展示下一道例題。

【例題】如圖5，有一張紙片，若連接EB，則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD。請(qǐng)你畫(huà)一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明理由。

圖5

矩形FABE是中心對(duì)稱圖形，菱形EBCD也是中心對(duì)稱圖形，所以經(jīng)過(guò)它們中心的直線把圖形分成全等的兩部分，直線l既經(jīng)過(guò)矩形FABE的中心，又經(jīng)過(guò)菱形EBCD的中心，所以直線l把紙片分成了面積相等的兩部分。

類比推理是鍛煉學(xué)生邏輯推理能力的重要方法。在教學(xué)中，教師可以把內(nèi)容相似、知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的題型組合在一起進(jìn)行練習(xí)；通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生找相似、找關(guān)聯(lián)、找不同。這些做法都能較好地發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，讓他們的思維能力得到螺旋式的提升，邏輯推理的核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

(三)猜想論證，拓展思維

教師在“圖形的變化”教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)注重幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)思考的基本方法，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化、猜想與論證，對(duì)于一些問(wèn)題的結(jié)論可以進(jìn)行大膽的猜想，再根據(jù)猜想結(jié)果，進(jìn)行推理和論證，最后解決問(wèn)題。在此過(guò)程中，讓學(xué)生養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習(xí)慣。

關(guān)注學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，是鍛煉和提升學(xué)生思維能力的關(guān)鍵。邏輯推理能力的提升,能夠讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展；這不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平,更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在“圖形的變化”各章節(jié)的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以充分利用教材的內(nèi)容，結(jié)合生活的實(shí)際應(yīng)用，選擇合適的專題，對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行研究和實(shí)踐。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，每學(xué)期結(jié)束，筆者都會(huì)對(duì)學(xué)生掌握“圖形的變化”知識(shí)點(diǎn)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容的掌握、理解、解決問(wèn)題的能力，均能達(dá)到理想效果。在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)中，學(xué)生的表現(xiàn)和反應(yīng)能呈現(xiàn)出學(xué)科核心素養(yǎng)較好的養(yǎng)成態(tài)勢(shì)。