基于鉆柱動力學的底部鉆具組合疲勞壽命研究*

毛良杰 甘倫科 幸雪松 李 雋

(1. 西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室 2. 中海石油(中國)有限公司北京研究中心 3. 中國石油勘探開發研究院)

0 引 言

近年來，石油與天然氣勘探開發的重點已轉向超深層/深層，超深井和深井占據主體井型，而鉆柱失效等井下復雜事故嚴重制約了此類井的鉆探成本與安全[1]。鉆柱失效形式有斷裂、磨損、變形和刺漏等[2]，一般而言，致使鉆柱失效的主要原因是鉆柱振動誘發的鉆柱疲勞[3]。其中發生在底部鉆具組合(BHA)上的多為橫向振動，且是最復雜和最具破壞力的振動，極易導致BHA過早疲勞[4]。因此，為了防止井下事故的發生，有必要對BHA的疲勞壽命進行預測。

累計疲勞損傷法是預測沒有初始裂紋鉆柱疲勞壽命最常用的方法。然而，由于起下鉆作業、機械加工、成形工藝和材料等因素，鉆柱不可避免地會產生初始裂紋缺陷[5]，傳統的累計疲勞損傷法不適用于含初始裂紋的鉆柱疲勞壽命預測。為此，許多學者進行了考慮鉆柱初始裂紋的疲勞壽命研究。其中，張智等[6]建立了鉆桿接頭疲勞壽命有限元計算模型，在此模型基礎上分析了表面質量對疲勞壽命的影響，發現改善鉆桿接頭螺紋根部的表面質量可以大幅延長其疲勞壽命。李文飛等[7]建立了復合型鉆柱疲勞壽命計算模型，通過算例說明未發生屈曲的鉆柱疲勞壽命短于發生屈曲的管段。陳勇等[8]計算了外螺紋接頭的相對疲勞壽命，結果發現，抗疲勞性能最佳的螺紋為帶API標準應力減輕槽的外螺紋。O.OZGUC[9]通過有限元法對鉆桿接頭處進行建模分析，發現鉆桿疲勞損傷裂紋多為垂直于鉆桿軸線的平面裂紋。T.A.LEMMA等[10]采用模糊系統對不同鉆桿的無量綱強度因子進行建模，利用模糊系統和累計損傷理論預測鉆柱疲勞壽命，經過分析發現，鉆柱疲勞壽命受初始裂紋尺寸測量準確性的影響極大。N.H.DAO等[11]利用三維有限元模型結合Walker模型，研究了旋轉鉆進過程中鉆桿表面裂紋的疲勞擴展，其數值模擬結果表明，軸向力對鉆桿裂紋擴展有重要作用。

綜上所述，目前關于鉆柱疲勞壽命的研究，大多是從靜態角度分析鉆柱的受力情況或者只研究某種振動形式單獨作用下鉆柱的受力情況。而事實上，鉆柱存在復雜和高度非線性的振動，振動對其疲勞壽命預測會有極大的影響，因此有必要在預測BHA疲勞壽命前獲得其動力學特性。近年來，有限元法以其精度高、適用性廣等眾多優勢，成為研究鉆柱動力學的主要方法。而隨著研究的不斷深入，鉆柱動力學有限元模型從單一振動形式發展到多種振動形式的耦合作用，從單自由度系統逐步發展到多自由度系統，考慮的邊界條件也越來越貼近實際工況[12]。筆者充分考慮鉆柱與井壁的接觸、鉆頭與井底相互作用，建立了鉆柱動力學有限元模型，分析BHA的動力學特性；根據BHA動力學特性，考慮初始裂紋缺陷，建立了基于鉆柱動力學的底部鉆具組合疲勞壽命預測模型，并分析討論了鉆壓、轉速、初始裂紋尺寸及穩定器安裝位置對BHA疲勞壽命的影響規律，以期為鉆柱安全提供一定的理論指導。

1 底部鉆具組合疲勞壽命預測模型的建立

鉆柱在充滿鉆井液的井筒中轉動，且具有超大的細長比。其受力特點如下：①上部受到大鉤的拉力和轉盤扭矩，下部受到井底與地層互作用產生的壓力和扭矩；②整個鉆柱都受到鉆井液帶來的黏滯阻尼力；③在與井壁發生接觸時，還會受到垂直于鉆柱軸線的沖擊力和井壁的摩擦力。針對鉆柱這些受力特點，本節基于哈密頓原理并充分考慮鉆柱與井壁的接觸、鉆頭與井底互作用，建立6自由度鉆柱動力學有限元模型，借此得到鉆柱的動力學特性；再根據Walker模型計算BHA的疲勞壽命。圖1為鉆柱系統的物理模型。

圖1 鉆柱系統物理模型Fig.1 Physical model of drill string system

1.1 鉆柱動力學模型的建立

鉆柱運動可以用單元節點位移向量來表示：

U=(u1，v1，w1，θx1，θy1，φ1，

u2，v2，w2，θx2，θy2，φ2)T

(1)

式中：U是鉆柱單元的位移矩陣；u1、v1、w1分別是鉆柱單元第1個節點X、Y、Z方向的平動位移；θx1、θy1、φ1分別是鉆柱單元第1個節點相對于X軸、Y軸和Z軸的轉角；u2、v2、w2分別是鉆柱單元第2個節點X、Y、Z方向的平動位移；θx2、θy2、φ2分別是鉆柱單元第2個節點相對于X軸、Y軸和Z軸的轉角。

拉格朗日動力方程為[13]：

(2)

單元體總動能T表達式為：

(3)

在式(3)中，前3項表示梁單元的平移動能，后1項表示梁單元的轉動動能。

單元體總勢能V表達式為：

(4)

將式(3)式(4)代入式(2)，即可得到梁單元的動力方程：

(5)

1.1.1 鉆柱與井壁接觸

假設井壁為剛性，鉆柱與井壁實質是隨機接觸。軸向摩擦阻力Fez、切向摩擦阻力Fer、扭矩Te及彎矩Me分別為[14]：

(6)

接觸力Fr可以表示為[14]：

(7)

式中：do為井筒直徑，m；r為鉆柱半徑，m；vr是鉆柱的徑向速度，m/s；ur為鉆柱的徑向位移，m；kh為井壁的剛度，N/m；v1和v2分別為節點碰撞前、后速度，m/s。

式(7)中的負號表示在鉆柱與井壁接觸的瞬間，鉆柱受到的徑向力與鉆柱的運動方向相反。

1.1.2 鉆柱動力學模型邊界條件

有文獻指出，隨著與鉆頭距離的增加，鉆柱橫向振動加速度幅值逐漸減小，其峰值位于鉆頭附近，由于橫向振動在傳播過程中被消耗，傳遞不到底部鉆具組合頂端。同時，為了提高計算效率，只取底部鉆具組合為研究對象，所以將上部邊界定在底部鉆具組合的頂端[15-16]，則上部邊界條件為：橫向自由度被約束，鉆柱只受軸向力和扭矩作用。

鉆頭受到與地層相互作用產生的扭矩Tb和激振力P，則下部邊界條件為：鉆頭鉸支在井底，在鉆頭處鉆柱的橫向位移受到約束，但繞各軸的轉動卻不受約束。

激振力和扭矩計算公式為[17]：

(8)

式中：nb為與鉆頭類型有關的系數，PDC鉆頭取1，牙輪鉆頭取3；P0為激振力幅值，N；ω為鉆頭旋轉角速度，rad/s；t為鉆頭旋轉時間，s；Nb為鉆頭轉速，r/min；h為鉆頭進尺，m；Db為鉆頭直徑，mm；μb為鉆頭與地層間的摩擦因數，無量綱；PWOB為鉆壓，N。

1.2 底部鉆具組合疲勞壽命預測

常用的疲勞壽命計算模型主要有Paris模型、Walker模型和Forman模型。其中Walker模型的參數更多，且均由現場實際數據計算得到，計算結果更精準，所以本文使用Walker模型作為疲勞壽命預測模型。

3軸應力下的鉆柱受力在小變形情況下滿足第四強度理論[18]，可以應用Mises等效應力理論進行應力的合成，故令：σ1max=σz+σb，σ1min=σz-σb，σ2=σr；σ3=σt，于是最大、最小Mises等效應力為：

(9)

Tresca等效應力為：

(10)

所以，平均應力、應力幅、應力比為：

(11)

初始裂紋尺寸可以由無損探傷儀測定，考慮到鉆柱初始缺陷的影響，在疲勞壽命計算過程中，需要先計算出幾何形狀因子及應力強度因子[19]，在此基礎上，臨界裂紋尺寸可根據應力條件確定，再利用Walker模型計算鉆柱的疲勞壽命。

在使用和制造鉆柱的過程中大多產生表面線性裂紋，鉆柱表面線性裂紋的幾何形狀因子的計算方法為：

Fm=1+0.128(aL/Dp)-
0.288(aL/Dp)2+1.525(aL/Dp)3

(12)

式中：Fm為裂紋形狀因子，無因次；aL為裂紋半長，m；Dp為鉆柱直徑，m。

最大應力強度因子為：

(13)

式中：Kmax為最大應力強度因子，無因次；σmax為最大等效應力，MPa；a為裂紋尺寸，m。

初始裂紋深度a0由探傷儀直接測得，臨界裂紋深度ac與材料的斷裂韌度和受力情況有關，其計算式為：

(14)

式中：KIC為材料斷裂韌度，MPa·m1/2；τmax為最大切應力，MPa；μ為泊松比，無因次。

Walker模型為：

(15)

式中：N為應力循環周次，次；c、n、m均為材料常數。

鉆柱從初始裂紋深度a0擴展到臨界裂紋深度ac的循環周次(即疲勞壽命)為：

(16)

1.3 底部鉆具組合疲勞壽命預測模型求解

利用Newmark-β法求解鉆柱動力學模型，得到位移、速度和加速度，據此計算出最大等效應力、應力比和應力幅；在此基礎上，利用Walker模型計算疲勞壽命，具體的求解流程如圖2所示。

圖2 底部鉆具組合疲勞壽命預測模型求解流程圖Fig.2 Flow chart for solving fatigue life prediction model of BHA

2 底部鉆具組合疲勞壽命預測模型準確性驗證

本文以表1所列參數為基礎，對文獻[20]報道的鉆桿疲勞壽命試驗結果進行了預測，預測結果如表2所示。對比試驗實際檢測結果、本模型預測結果及文獻[20]預測結果，可以發現本模型準確可靠，比從靜態角度分析受力得到的預測模型精度更高。

表1 文獻[20]中鉆桿疲勞破壞試驗基本參數Table 1 Basic parameters of drill pipe fatigue-to-failure test in Reference [20]

表2 鉆桿疲勞破壞試驗結果對比情況Table 2 Comparison of fatigue-to-failure test results of drill pipe

3 案例分析

本研究選取渤海中部一口直井(B1井)進行分析，該井鉆柱系統的主要參數(源于現場資料)如表3所示。數值模擬中，將鉆柱分為若干個單元，每個單元長3 m；模擬時間為5 s，時間步長為0.001 s。

表3 B1井底部鉆具組合主要參數Table 3 Main parameters of BHA in Well B1

3.1 動力學特性分析

圖3是BHA的橫向變形與軸向力分布圖。從圖3可以看出：BHA變形程度越靠近鉆頭越大；距離鉆頭244 m以上部分鉆柱橫向變形更小。這是因為中和點上部的鉆柱受軸向拉力，穩定性好，不易變形；中和點下部鉆柱受軸向壓力，穩定性差，極易發生變形，所以BHA下部在外力作用下振動更為劇烈。

圖3 BHA橫向變形與軸向力Fig.3 Lateral deformation and axial force of BHA

圖4為BHA疲勞壽命分布圖。從圖4可以看出：從距離鉆頭350 m到距離鉆頭244 m，BHA疲勞壽命逐漸縮短，在244 m處迅速縮短到一個極低的值(低于0.1×108次)；在接近244 m位置處，BHA疲勞壽命突增到6×108次左右，然后又開始逐漸縮短。這是因為距離鉆頭越近，BHA振動越劇烈，劇烈的振動加大了BHA所承受的交變應力的幅值及頻率，所以BHA疲勞壽命逐漸縮短；在距離鉆頭244 m處，BHA橫截面積發生了變化，產生了應力集中，交變應力幅值增大，此處BHA疲勞壽命迅速縮短到一個極低的值；而距離鉆頭小于244 m后，BHA橫截面積增大，臨界裂紋尺寸減小，疲勞壽命也就延長。

圖4 BHA疲勞壽命分布(鉆壓80 kN、轉速60 r/min)Fig.4 Fatigue life distribution of BHA (WOB: 80 kN,rotary speed: 60 r/min)

通過以上分析，鉆柱振動的加劇會使得疲勞壽命迅速縮短。鉆井工程中鉆壓和轉速是最重要的兩個施工參數，合理地控制鉆壓和轉速可以有效地延長鉆柱疲勞壽命，避免鉆柱過早失效；穩定器的存在不僅會使近鉆頭處鉆鋌保持居中，而且會抑制近鉆頭處鉆鋌的振動；鉆柱初始裂紋深度也會對鉆柱疲勞壽命產生巨大的影響。因此，筆者進一步研究了不同轉速、鉆壓、初始裂紋深度及穩定器安裝位置下，BHA最大等效應力和疲勞壽命的分布情況，得到轉速、鉆壓、初始裂紋深度及穩定器安裝位置對BHA疲勞壽命的影響規律。

3.2 初始裂紋深度對BHA疲勞壽命的影響

圖5為不同初始裂紋深度下BHA疲勞壽命。

圖5 不同初始裂紋深度下BHA疲勞壽命Fig.5 Fatigue life of BHA under different initial crack depths

從圖5a可以看出：具有更大初始裂紋深度的BHA，其疲勞壽命會更短。這是因為初始裂紋深度越大，臨界裂紋深度與初始裂紋深度之差越小，裂紋擴展到臨界裂紋深度的應力循環次數(即疲勞壽命)越少。此外，從圖5b可以發現：初始裂紋深度從0增大到1 mm時，疲勞壽命從1.55×108次迅速縮減到0.4×108次；超過1 mm后隨初始裂紋深度繼續增大，疲勞壽命緩慢縮減到0.2×108次。因此，建議在生產和使用鉆柱的過程中，應當經常用無損探傷儀檢測鉆柱的裂紋深度，避免因下入初始裂紋深度過大的鉆柱而導致鉆柱在井下作業過程中發生疲勞斷裂。

3.3 轉速對BHA疲勞壽命的影響

圖6為不同轉速下BHA最大等效應力和疲勞壽命分布曲線。

圖6 不同轉速下BHA各位置最大等效應力和疲勞壽命分布曲線Fig.6 Distribution of maximum equivalent stress and fatigue life at each position of BHA at different rotary speeds

從圖6可以看出：轉速越大，BHA的最大等效應力越大、疲勞壽命越短；在低轉速范圍內(30～90 r/min)，轉速對BHA最大等效應力和疲勞壽命的影響較小，在高轉速范圍內(120～180 r/min)，轉速對BHA最大等效應力和疲勞壽命的影響較大。這是因為在低轉速范圍內，轉速的增加雖然會增大BHA所受離心力，但同樣也會導致阻尼力的增加，從而抑制鉆柱的振動。在離心力與阻尼力的綜合作用下，轉速對BHA最大等效應力的影響并不明顯。而在高轉速范圍內，轉速增加會大幅度增大鉆柱的離心力，過大的離心力可能加劇鉆柱與井壁間的碰撞而導致鉆柱的等效應力激增(見圖6a)，所以轉速增大，鉆柱疲勞壽命明顯縮短。據此建議在正常鉆井時，可以適當選擇較高的轉速以提高機械鉆速，但在強化鉆井時，要對BHA的疲勞壽命重點關注。

3.4 鉆壓對底部鉆具組合疲勞壽命的影響

圖7為不同鉆壓下BHA各位置最大等效應力和疲勞壽命分布曲線。從圖7可以看出：中和點以下部分，鉆壓越大，BHA承受的最大等效應力越大，疲勞壽命越短。這是因為鉆壓的增加會增加處于壓縮狀態鉆柱的彎曲應力，同時鉆壓增加又會降低處于拉伸狀態鉆柱的拉伸應力。因此在大鉆壓下，中和點以下鉆柱的最大等效應力較大。中和點以上部分則相反，疲勞壽命的變化情況與之對應。由此可知鉆壓對BHA疲勞壽命影響顯著，在滿足高機械鉆速要求的鉆壓范圍內，建議選用較低鉆壓。

圖7 不同鉆壓下BHA各位置最大等效應力和疲勞壽命分布曲線Fig.7 Distribution of maximum equivalent stress and fatigue life at each position of BHA under different weights on bit

3.5 穩定器安裝位置對BHA疲勞壽命的影響

圖8為不同穩定器安裝位置下BHA近鉆頭處最大等效應力和疲勞壽命分布曲線。從圖8可以發現：安裝穩定器與不安裝穩定器相比，BHA近鉆頭處最大等效應力降低，疲勞壽命延長；穩定器安裝在距離鉆頭9 m處時，延長疲勞壽命的效果最佳。這是因為安裝穩定器后，BHA被約束，橫向變形減小(見圖9)；橫向變形減小使得BHA振動減弱，最大等效應力減小，疲勞壽命延長。

圖8 不同穩定器安裝位置下BHA近鉆頭處最大等效應力和疲勞壽命分布曲線Fig.8 Distribution of maximum equivalent stress and fatigue life of BHA near the bit at different installation positions of stabilizer

圖9 不同穩定器安裝位置下BHA近鉆頭處橫向變形Fig.9 Lateral deformation of BHA near the bit at different installation positions of stabilizer

此外，在圖9還可以發現，穩定器安裝在距離鉆頭9 m時，穩定器到鉆頭這一段BHA的橫向變形最小，所以穩定器安裝在距離鉆頭9 m時，延長BHA疲勞壽命的效果最佳。在實際鉆井過程中，可以通過安裝穩定器來延長近鉆頭處BHA的疲勞壽命，但需綜合考慮鉆具特性、鉆柱振動以及穩定器特性來確定合適的穩定器安裝位置。

4 結 論

(1)BHA橫向振動比縱向振動更激烈，橫向振動是導致BHA疲勞的主要原因；越靠近鉆頭，BHA變形程度越大，橫向振動越劇烈，疲勞壽命也越短；鉆柱橫截面積變化使得鉆柱產生應力集中，劇烈振動和應力集中的共同作用會極大縮短鉆柱疲勞壽命。

(2)初始裂紋深度對BHA疲勞壽命影響明顯，具有更大初始裂紋深度的BHA，其疲勞壽命會更短；從無初始裂紋增加到裂紋深度為1 mm，BHA疲勞壽命迅速縮短，隨后初始裂紋深度繼續增加，BHA疲勞壽命緩慢縮短。

(3)鉆壓對BHA疲勞壽命影響顯著，隨著鉆壓的提高，中和點以下部分BHA疲勞壽命縮短；轉速越大BHA疲勞壽命越短，在低轉速范圍內轉速對BHA疲勞壽命影響較小，在高轉速范圍內轉速對BHA疲勞壽命影響較大；安裝穩定器可以延長近鉆頭處BHA疲勞壽命，在本文案例中，穩定器安裝在距離鉆頭9m處，穩定器到鉆頭的橫向變形最小，延長疲勞壽命的效果最佳。