基于無跡卡爾曼濾波的井筒壓力實時校正模型*

夏順雷 李 軍,2 柳貢慧 楊宏偉 羅 鳴 李文拓

(1.中國石油大學(北京)石油工程學院 2.中國石油大學(北京)克拉瑪依校區石油學院 3.中海石油(中國)有限公司湛江分公司)

0 引 言

目前井筒壓力預測多為通過建立模型模擬計算獲得[1-6]，模擬計算井筒摩阻壓降的計算至關重要。為了準確地計算摩阻壓降，在模型建立時考慮要全面，在模型計算時輸入參數要能準確描述井下工況。已有學者針對不同的井筒摩阻壓降影響因素建立了多種井筒壓力預測模型，如O.ERGE等[7]建立了考慮鉆柱旋轉、偏心和屈曲井筒壓力預測模型，李軍等[8]研究了橢圓井眼中的井筒壓力計算模型，岳湘安等[9]建立了考慮巖屑的井筒流動模型。上述模型雖然在建模過程中考慮了不同的影響因素，但是無法確保模型計算過程中的相關參數能夠準確描述井下工況，導致預測結果與實際井筒壓力仍可能有較大誤差。此外，由于上述模型考慮因素多，實際計算過程中需要占用大量時間和空間，求解效率不高。

隨著隨鉆井下數據傳輸技術的發展，井底壓力、溫度和鉆壓等井下數據能夠及時傳輸到井口[10-14]，使得根據井下數據實時調整井筒壓力成為可能。在鉆井過程中，井筒流動是復雜的動態系統。對井筒壓力預測模型的相關參數值進行實時校正，會顯著提高模型對系統描述的準確性。目前，可以校正模型參數的方法有很多，如卡爾曼濾波技術和最小二乘法[15]。最小二乘法需要在不斷地存儲測量值的同時處理數據，適合事后分析。卡爾曼濾波參數可以實時調整，且不需要存儲大量的測量值，計算過程相對高效，適合井筒壓力預測模型的實時校正。然而，卡爾曼濾波算法最初是為線性模型開發的，無法處理非線性的井筒模型。近年來，一種適用于強非線性模型的濾波算法被開發出來，即無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)算法。無跡卡爾曼濾波是無跡變換(Unscented Transform，UT)與標準卡爾曼濾波的結合，通過無跡變換使標準卡爾曼體系適用于非線性模型。UKF算法提出后，已經有多位學者將其成功運用于井下工況判定、井筒流量校正和旋轉導向等方面，并取得了良好的效果[16-19]。但是，目前鮮有學者研究UKF算法在井筒壓力校正中的應用。

因此，筆者通過將UKF算法與井筒內壓力計算模型相結合，建立了一種新的井筒壓力實時校正模型。分別使用自設數據和實測數據對模型進行仿真驗證，結果顯示該模型能夠對井筒壓力進行實時校正，且計算結果具有較高的精度。

1 井筒壓力計算模型

建立校正模型的重點在于UKF算法與井筒壓力計算模型的結合。為此，在井筒壓力計算模型的建立過程中需做以下假設：

(1)井眼垂直，不考慮井斜和方位角變化；

(2)鉆井液流體在井筒內為一維軸向流動；

(3)井筒內流動為單相流動；

(4)不考慮軸向傳熱。

鉆井作業中，任意一點井筒壓力由井口回壓、靜液柱壓力和摩阻壓降3部分組成。其中，井口回壓可以由壓力表直接測量，靜液柱壓力和摩阻壓降需要通過相關模型計算得到，其計算模型為：

(1)

式中：p為井筒壓力，Pa；T為井筒溫度，℃；h為井深，m；ρL(p,T)為當前溫度壓力條件下鉆井液密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；pc為井口回壓，Pa；dpf為摩阻壓降梯度，Pa/m。

ρL(p,T)=ρ0exp[4.331 7×10-10(p-p0)-

1.999 9×10-18(p-p0)2×

4.733 8×10-4(T-T0)-

1.378 3×10-6(T-T0)2]

(2)

式中：ρ0為地面溫度壓力條件下鉆井液密度，kg/m3；p0為地面壓力，MPa；T0為地面溫度，℃。

由式(2)可以看出，想要計算不同井深處鉆井液密度，需要得到井筒溫度。鉆井過程中，井筒與地層構成了一個復雜的熱交換系統。基于熱力學第一定律，可以獲得地層和井筒傳熱模型：

(3)

式中：qm為質量流量，kg/s；Cp為鉆井液比熱容，J/(kg·℃)；λ為傳熱系數，W/(m·℃)；r為距井眼軸線距離，m；z為井眼軸向距離，m；S為熱源項，J；t為鉆井液循環時間，s。

對于鉆井液流動產生的摩阻壓降梯度，采用式(4)[22]計算：

(4)

式中：Dhy為水力半徑，m；f為范寧摩阻系數，無量綱；v為鉆井液流速，m/s。

上述模型為鉆井液密度、井筒溫度、井筒壓力三者耦合的井筒壓力模型。使用有限差分法對模型進行求解，在每個時間步中，首先求解井筒溫度，再通過鉆井液密度隨溫度、壓力的變化模型求解井筒壓力。模型的具體離散過程和求解方法可以參考文獻[23]。

2 井筒壓力反演校正算法與建模

準確計算摩阻壓降能夠顯著提高井筒壓力計算精度。然而，影響摩阻壓降的因素較多，想要獲得較高精度的摩阻壓降十分困難。而且由于環空內井徑變化、鉆柱旋轉與偏心以及井壁摩阻系數的變化等不確定因素較多，進一步增加了環空摩阻壓降計算難度[24]。為提高井筒環空摩阻壓降計算精度，本文在摩阻壓降計算模型中引入摩阻校正因子C，計算公式如式(5)。摩阻校正因子可由UKF反演算法求解。

(5)

2.1 UKF反演算法

所謂反演，就是利用狀態量和觀測量的函數關系，以觀測量為已知參數，在一定估計準則條件下，得到所需狀態量的最優估計值。因此參數的反演本質上是最優化估計方法的一種應用[25]。卡爾曼濾波是最優化估計領域的一個里程碑式的研究成果，被廣泛應用于線性系統中。為了將卡爾曼濾波理論應用于非線性系統，Julier等[26]通過在卡爾曼濾波技術中引入無跡變換算法，將非線性系統中參數值的非線性傳遞轉化為線性傳遞，開發出無跡卡爾曼濾波技術。

2.2 反演校正模型的建立

將摩阻系數作為狀態量，使用UKF反演算法求解式(5)時，還需一個對摩阻校正系數有影響的控制體邊界附近或邊界處的觀測量，如PWD測量值。可確定UKF反演計算的狀態量和觀測量分別為：

狀態量：

xk=C(k)

(6)

觀測量：

zk=pw(k)

(7)

式中：x、z分別為狀態量和觀測量符號；k表示k時刻，無量綱；C(k)為k時刻摩阻系數，無量綱；pw(k)為k時刻井底測量壓力，Pa。

對于井筒壓力反演校正模型，在狀態量和觀測量確定后，與之對應狀態方程和觀測方程如下：

狀態方程：

xk=xk-1+uk-1

(8)

觀測方程：

(9)

式中：uk為系統噪聲，協方差為Q；vk為測量噪聲，協方差為R。

無跡卡爾曼濾波過程主要包含2個步驟(循環步)：狀態更新(預測步)和測量更新(校正步)。本文針對式(8)和式(9)描述的非線性系統，利用UKF算法反演校正井筒壓力的一個循環步。在計算過程中需要給定摩阻校正系數的初始值，即狀態量的初始值x0。初始值的選取對初始校正結果影響較大，隨著校正次數增加，初始值對校正結果的影響將迅速減小。UKF反演計算的一個循環步如下：

(1)求初始時刻狀態量x0的統計值：

(10)

(2)對于k-1(k∈N*)時刻，利用UT變換，計算一組Sigma點及對應權重：

Sigma點：

(11)

(12)

權重：

(13)

(3)狀態預測：由k-1時刻的Sigma點集和狀態方程預測k時刻狀態量的Sigma點集，并計算加權均值和協方差。

xi,k∣k-1=xi,k-1+uk-1i=0,1,2

(14)

(15)

(16)

(4)測量更新：由k時刻狀態量的Sigma點集和觀測方程計算k時刻觀測量的Sigma點集，并計算加權均值和協方差。

ρL(p,T)v2dh+vki=0,1,2

(17)

(18)

(19)

(20)

(5)計算卡爾曼增益矩陣：

(21)

(6)狀態量和協方差更新：

(22)

(23)

圖1 井筒壓力校正流程圖Fig.1 Flow chart of wellbore pressure correction

3 算例分析

為分析并驗證模型對井筒壓力的校正效果，本文給出2個計算實例。其中算例1使用了合成的井底壓力數據，用于分析反演算法的可行性；算例2使用了來自某高溫高壓井井底PWD實測數據，用于驗證模型實際校正效果。

本文重點為UKF和水力學模型的反演計算，因此并未對UKF參數做特殊的優化。算例中UKF三個相關參數設置為：α=0.1，β=2，κ=2。此外，模擬計算過程中系統噪聲和測量噪聲標準差分別設置為0.05和0.000 2，對應反演模型中系統噪聲和測量噪聲協方差矩陣分別為Q=0.052，R=0.000 22。

3.1 模擬井計算

模擬井井身結構參數和部分鉆井參數如圖2所示。為驗證井筒壓力反演校正算法對井下復雜工況的適應性，設定2 000～3 000 m井段為縮徑段，摩阻校正系數變大；4 000～6 000 m井段為擴徑段，摩阻校正系數減小；其他井段摩阻校正系數隨井深增加而增加。模擬井摩阻校正系數隨井深的變化見圖3。將摩阻系數設定值帶入式(5)和式(9)，可得到鉆進過程中的井底壓力數據，即觀測量。此外，在模擬過程中，為避免離散后的井筒溫壓模型維度過大，確定離散后的網格長度為5 m。因此，反演計算過程中，井深每延伸5 m，對摩阻系數進行一次反演計算。

圖2 模擬井井身結構參數和鉆進參數Fig.2 Hole structure and drilling parameters of simulated well

圖3 井筒摩阻校正系數設定值Fig.3 Set value of wellbore friction correction coefficient

圖4展示了摩阻校正系數反演值與設定值隨井深的變化。由圖4可知，初始校正時刻，即1 500 m處，反演計算得到的摩阻校正系數波動劇烈，且與設定值差別較大。隨著井深的不斷延伸，反演次數逐漸增加，模型計算得到的摩阻校正因子波動減緩，且逐漸靠近設定值。圖5展示了反演計算相對誤差隨井深的變化。由圖5可以看出，1 500～2 000 m反演校正初始井段，模型計算結果相對誤差較大；2 000 m后，模型計算結果相對誤差逐漸減小，最終穩定在0.02%以內。

圖4 反演計算結果Fig.4 Inversion calculation results

此外，由圖4和5可以看出，在擴徑段和縮徑段，尤其是2 500 m和5 000 m摩阻校正系數設定值突然變化處，摩阻校正系數反演值相對誤差變大。這是由于在擴徑段和縮徑段摩阻校正系數的設定值變化較快，導致反演計算得到結果精度下降。雖然反演計算得到的摩阻校正系數在擴徑段和縮徑段精度有所下降，但是仍較接近摩阻校正系數設定值，誤差不超過0.02%。

圖6展示了不同井深處環空摩阻壓降。由圖6可以看出：隨著井深增加，環空摩阻壓降不斷增大；摩阻壓降未校正值越來越偏離真實值，井底偏差最大，約為2.6 MPa。校正后的摩阻壓降值雖在校正初始階段有一定程度的波動，但始終與真實值十分接近。圖7展示了不同井深處井底壓力值。由圖7可以看出，隨著井深不斷增加，未校正的井底壓力值逐漸偏離真實值，而校正后的井底壓力值始終與真實值接近。

圖6 不同井深處環空摩阻壓降Fig.6 Annulus friction pressure drop with different well depth

圖7 不同井深處井底壓力Fig.7 Bottom hole pressure with different well depth

通過模擬井相關計算，由圖6、圖7可以看出，建立的基于UKF算法的井筒壓力反演校正模型不僅能夠較準確的計算出井下摩阻校正系數，而且能夠根據井下情況實時調整計算結果。將反演得到的摩阻校正系數帶入井筒壓力計算模型，可以提高井底壓力預測精度。

3.2 實例井計算與驗證

本算例數據來自某油田鉆井實例。數據包含四開鉆井過程中4 190～4 512 m段井底壓力和排量數據。井深每延伸1 m，相關數據被更新記錄一次，見圖8和圖9。該井三開套管外徑244.50 mm，壁厚11.99 mm，套管鞋深4 172 m，頂深0。四開采用的鉆井液密度為2.35 g/cm3，PWD測點距離井底4.25 m。鉆頭和鉆桿數據：鉆頭直徑215.90 mm；鉆桿外徑127.00 mm，內徑88.26 mm。

圖8 4 190～4 512 m實測井底壓力圖Fig.8 Measured bottom hole pressure at 4 190～4 512 m

圖9 4 190～4 512泵排量Fig.9 Pump displacement at 4 190～4 512 m

設置模擬計算網格長度為1 m，井深每延伸1 m進行一次反演計算。摩阻校正系數初始值設定為1.2，反演結果如圖10～圖13所示。由圖10和圖11可以看出：在反演計算初始階段，隨著反演次數增加，摩阻校正系數線性增大，校正后PWD處壓力快速向實測數據靠攏；當井深超過4 400 m，即反演次數超過200次后，摩阻校正系數穩定在9.0左右，校正后PWD處壓力值比較接近PWD實測壓力數據；未校正的PWD處壓力與PWD實測壓力差別較大。由圖11可以看出：本文建立井筒壓力反演校正模型還能校正PWD無法直接測量的井底壓力。由圖12可以看出：未校正PWD處壓力相對誤差超過4%；校正后PWD處壓力相對誤差隨著反演次數的增加逐漸減小，在摩阻校正系數穩定后相對誤差小于1%。圖13為井深4 500 m時裸眼段井筒壓力剖面。由圖13可以看出，利用摩阻校正系數計算得到的井筒壓力剖面更加接近PWD實測壓力。

圖10 摩阻校正系數計算結果Fig.10 Calculation results of friction correction coefficient

圖11 井底壓力計算結果Fig.11 Calculation results of bottom hole pressure

圖12 PWD處計算誤差Fig.12 Calculation error at PWD

圖13 4 500 m時井筒壓力剖面Fig.13 Wellbore pressure profile at 4 500 m

為進一步體現摩阻校正系數在井筒壓力預測中的作用，將計算得到的摩阻校正系數帶入井筒壓力計算模型，用于預測變排量測試過程中井筒壓力。變排量測試現場實測數據見表1，計算結果見圖14。由圖14可以看出：未校正的PWD處壓力值與PWD實測值相差3 MPa左右，而利用摩阻校正系數計算得到的PWD處壓力與真實值相差小于0.5 MPa，顯著提高了井筒壓力預測精度。

表1 變排量實測數據Table 1 Measured data in variable pump displacement test

圖14 變排量過程中井筒壓力Fig.14 Wellbore pressure in variable pump displacement test

綜上，在實際鉆井過程中，通過UKF反演模型能夠實時反演得到不同井深處摩阻校正系數，利用摩阻校正系數，能夠較準確地預測鉆井過程中井筒任意點的壓力和任意時刻的井筒壓力剖面，彌補井下測量工具只能進行單點測量的不足。校正后的井筒壓力精度受校正次數影響較大。本文模擬計算條件下，當反演校正次數超過200次后，反演得到的摩阻校正系數趨于穩定，計算結果相對誤差小于1%。

4 結 論

本文將無跡卡爾曼反演算法引入到井筒壓力預測模型中，建立了基于無跡卡爾曼濾波的井筒壓力的實時校正模型。通過模擬井和實例井對模型進行分析、驗證，該模型具有以下特點：

(1)使用基于UKF的井筒壓力反演校正模型不僅能夠計算出井下摩阻校正系數，而且能夠根據井下情況實時調整計算結果。

(2)利用反演得到的摩阻校正系數不僅能夠提高井底壓力預測精度，還能夠較準確地預測鉆井過程中井筒任意點的壓力值和任意時刻的井筒壓力剖面，從而彌補井下測量工具只能進行單點測量的不足。

(3)校正后的井筒壓力精度受校正次數影響較大。在本文實例井模擬計算條件下，當反演計算次數超過200次后，反演得到的摩阻校正系數趨于穩定，計算結果相對誤差小于1%。