有界線性算子及其函數的Browder定理的判定*

仇思楠，曹小紅

陜西師范大學數學與統計學院，陜西 西安 710119

線性算子的譜理論是算子理論的重要組成部分。該理論源于代數方程、線性方程組、積分方程和微分方程的特征值求解問題，與算子方程的求解關系密切。1909 年，Weyl［1］在檢測Hilbert 空間上自伴算子所有緊攝動的譜時發現：自伴算子T的所有緊攝動譜集的交集恰好是其譜集中非孤立的有限重特征值全體，這一性質被人們稱為Weyl定理。自此之后，一方面，許多學者開始研究哪些算子滿足Weyl定理，于是滿足Weyl 定理的算子范圍不斷地擴大［2-9］；另一方面，Weyl 定理的形式也在不斷變化，其中Weyl 定理的一種變形就是由Harte 和Lee 定義的Browder 定理［10］。近年來，許多學者利用不同的譜集給出了算子滿足Weyl 型定理的各種判定方法［11-13］。本文將借鑒文獻［11］的思想方法，用一種新定義的譜集來刻畫有界線性算子及其函數的Browder定理。

1 預備知識

在本文中，H表示無限維復可分的Hilbert 空間，B(H)表示H上的有界線性算子全體，T*表示T∈B(H)的共軛算子。稱算子T∈B(H)為上半Fredholm 算子，若T的零空間N(T)是有限維的且值域

對T∈B(H)，算子T的譜，本質譜，Weyl譜，Browder譜，本質逼近點譜，Saphar譜，Kato譜分別表示為σ(T)，σe(T)，σw(T)，σb(T)，σea(T)，σS(T)以及σK(T). 相應的預解集分別為：ρ(T) = Cσ(T)，ρe(T) = Cσe(T)，ρw(T) = Cσw(T)，ρb(T) = Cσb(T)，ρea(T) = Cσea(T)，ρS(T) = CσS(T)，ρK(T) = CσK(T). 記σC(T) ={λ∈C：R(T-λI)不閉}，由Kato 算子定義可知σK(T) =σS(T) ∪σC(T). 此外，記σ0(T) =σ(T)σb(T)，ρ+e(T) ={λ∈ρe(T)：ind(T-λI) ＞0}. 用B°(λ0；ε)表示λ0的ε空心鄰域，D 表示單位閉圓盤，Γ 表示單位圓周。對集合E?C，用isoE表示E中孤立點的全體，?E表示E中邊界點的全體，accE表示E中聚點的全體，intE表示E中內點的全體。

我們知道，對于T∈B(H)，任給多項式p，有σ(p(T)) =p(σ(T))，σe(p(T)) =p(σe(T))，σb(p(T)) =p(σb(T))，σa(p(T)) =p(σa(T)). 特別地，由文獻([14，Satz6])知，對于T∈B(H)，任給多項式p，有σK(p(T)) =p(σK(T)).

2 有界線性算子的Browder定理

在文獻［11］中，作者定義了一個新的譜集σ3(T)并由此研究了有界線性算子T及其函數演算的Weyl型定理。下面將繼續該項工作。首先定義集合

令σ3(T) = Cρ3(T)，則σ3(T) ?σw(T) ?σb(T) ?σ(T).

設T∈B(H)， 算 子T滿 足Browder 定 理 是 指σ(T)σw(T) ?π00(T) 或σw(T) =σb(T)， 其 中π00(T) ={λ∈isoσ(T)：0 ＜n(T-λI) ＜∞}；算 子T滿 足Weyl 定 理 是 指σ(T)σw(T) =π00(T). 顯 然，Browder 定理只是Weyl 定理的一部分，算子滿足Weyl 定理則必定滿足Browder 定理，反之，若算子滿足Browder定理，則未必滿足Weyl定理。

下面，借助σ3(T)來刻畫有界線性算子及其函數的Browder定理。

定理1設T∈B(H)，則下列敘述等價：

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T)；

（iii）accσ(T) ?σ3(T)；

（iv）σ3(T) = accσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}；

（v）intσ(T) ?σ3(T)；

（vi）σ(T) =σ3(T) ??σ(T)；

（vii）intσ(T) = intσ3(T)；

（viii）accσ(T) = accσ3(T) ?accisoσ(T)；

（ix）σ3(T) = intσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)]；

（x）σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)；

（xi）σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σK(T)；

（xii）σ(T) =σ3(T) ?σC(T) ?σ0(T)；

（xiii）σ(T) =σ3(T) ?σK(T).

證明

（i）?（ii）任 給λ0?σ3(T) ?isoσ(T)，由ρ3(T) 的 定 義 及 已 知 條 件T滿 足Browder 定 理 可 知λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 又由于λ0?isoσ(T)，因此λ0?σ(T).反包含顯然成立。

（ii）?（iii）由accσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T)知accσ(T) ?σ3(T).

（iii）?（iv）對任意λ0?accσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}，則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，且n(T-λ0I) ＜∞，于是λ0?σ3(T).反包含顯然成立。

（iv）?（v）顯然。

（v）?（vi）σ(T) = intσ(T) ??σ(T) ?σ3(T) ??σ(T).

（vi）?（vii）由intσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ??σ(T)知intσ(T) ?σ3(T)，于是intσ(T) ?intσ3(T). 反包含顯然成立。

（vii）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則λ0?intσ3(T) = intσ(T)，所以λ0∈ρ(T) ??σ(T)，故T-λ0I是Browder算子。

（ii）?（viii）顯然。

（viii）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T)，因此λ0?accσ(T)，于是T-λ0I是Browder算子。

（iii） ? （ix） 對 任 意λ0?intσ(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)]， 則λ0∈ρ(T)?isoσ(T)，且n(T-λ0I)＜∞，因此λ0?σ3(T). 反包含顯然成立。

（ix）?（v）顯然。

（i）?（x）任給λ0?accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)，則T-λ0I是上半Fredholm算子且λ0∈ρ3(T) ?isoσ3(T)且λ0?σ0(T). 由半Fredholm 算子的攝動理論以及ρ3(T)的定義知T-λ0I為Weyl算子。由于T滿足Browder定理，則T-λ0I為Browder算子，又由于λ0?σ0(T)，于是λ0?σ(T). 反包含顯然成立。

（x）?（xi）顯然。

（xi）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，當0 ＜|λ-λ0|＜ε時，λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σK(T)，從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

（xii）?（xiii）顯然。

（xiii）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，當0 ＜|λ-λ0|＜ε時，λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?σ3(T) ?σK(T)，從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

注1

（i）當T滿足Browder定理時，定理1的（x）中σ(T)分解的四部分缺一不可。

例2令T∈B(?2)定 義 為：T(x1，x2，x3，…) =(0，x1，x2，x3，…)，則σ(T) =σw(T) =σb(T) = D，但 是{λ∈C：n(T-λI) = ∞}=σ0(T) = ?，σC(T) = Γ，σ(T) ≠{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)， 故accσ3(T)不能缺。

例3令T∈B(?2)定義為：T(x1，x2，x3，…) =(0，x2，x3，x4，…)，則σ(T) ={0，1}，σw(T) =σb(T) ={1}，即T滿 足Browder 定 理。 但 是accσ3(T) =σC(T) = ?，{λ∈C：n(T-λI) = ∞}={1}，σ0(T) ={0}，σ(T) ≠accσ3(T) ?σC(T) ∪σ0(T)，故{λ∈C：n(T-λI) = ∞}不能缺。σ(T) ≠accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T)，故σ0(T)不能缺。

（iv）σ(T) =σ3(T)當且僅當T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

證 明 必 要 性。根 據 定 理1，T滿 足Browder 定 理 顯 然 成 立。由{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ3(T) =ρ(T)知{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

充分性。σ(T) ?σ3(T) 顯然。下證σ3(T) ?σ(T). 若λ0?σ3(T)，由T滿足Browder 定理，則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，但是{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?，于是λ0?σ(T).

（v）當accσ(T) = accσ3(T)時，T滿足Browder 定理。反之不成立。如例4，雖然T滿足Browder 定理，但是accσ(T) ={0}，accσ3(T) = ?，accσ(T) ≠accσ3(T).

（vi）accσ(T) = accσ3(T)當且僅當T滿足Browder定理且E= ?，其中

E={λ∈C：存在ε＞0，當0 ＜|μ-λ|＜ε時，n(T-μI) ＜∞，并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T)}?accisoσ(T).

證明 必要性。當accσ(T) = accσ3(T)時，E?accσ(T)，但E∩accσ3(T) = ?，故E= ?.

充分性。任給λ0?accσ3(T)，則由T滿足Browder 定理可知存在ε＞0，使得當0 ＜|μ-λ0|＜ε時，n(T-μI) ＜∞并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T). 由E= ? 知，λ0?accisoσ(T). 從 而 當0 ＜|μ-λ0|＜ε時，μ∈ρ(T)，即λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 故accσ(T) = accσ3(T).

在定理1 中，主要用σ(T)與σ3(T)，accσ(T)與σ3(T)，intσ(T)與σ3(T)，σ(T)與accσ3(T)之間的關系來刻畫算子T的Browder 定理。接下來，繼續用σ(T)與accσ3(T)之間的關系來討論算子T的Browder定理。

推論1設T∈B(H)，則下列敘述等價：

（i）T滿足Browder定理；

證明

（i）?（ii） 任 給λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?σ0(T)，由定理1 可知，λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 斷言：λ0?isoσ(T). 若否，則n(T-λ0I) ≥d(T-λ0I)，又n(T-λ0I) ＜∞，從而T-λ0I是Fredholm算子。由于λ0∈isoσ(T)，因此λ0∈σ0(T). 這與λ0?σ0(T)矛盾。于是λ0?σ(T)得證。反包含顯然成立。

（ii）?（iii）顯然。

（iii）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使得當0 ＜|μ-λ0|＜ε時，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?σS(T)，從而μ?σ(T). 于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，即T-λ0I是Browder算子。

接下來，用σ(T)和intσ3(T)之間的關系來討論算子T的Browder定理。推論2設T∈B(H)，則下列敘述等價：

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σ0(T)；

（iii）σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σS(T).

證明

（i）?（ii）任給λ0?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σ0(T)，則 對 任 意Bo(λ0，ε)， 存 在λ1∈Bo(λ0，ε)， 使 得λ1∈ρ3(T). 于 是 存 在λ2∈Bo(λ0，ε)， 使 得λ2∈ρw(T) ∪ρS(T). 由T滿足Browder 定理，所以λ2∈ρ(T). 因此λ0∈ρ(T) ??σ(T). 若λ0∈?σ(T)，則T-λ0I是Fredholm 算子，由Fredholm 算子的攝動定理可知，T-λ0I是Weyl算子，又由T滿足Browder定理且λ0?σ0(T) 得到λ0∈ρ(T). 反包含顯然成立。

（ii）?（iii）顯然。

（iii）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使得當0 ＜|μ-λ0|＜ε時，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σS(T)， 從 而μ?σ(T).于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，因此T-λ0I是Browder算子。

注2

（i）在推論1和推論2中，通過舉例可知，當T滿足Browder定理時，σ(T)分解的幾部分仍然是缺一不可的。

（ii）intσ3(T) = ?且T滿足Browder定理當且僅當

證明 必要性。由條件及推論2 知σ(T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) =∞}?σ0(T). 容易證明

于是可得

所以σ(T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ≤d(T-λI)}∪σ0(T).

充分性。因為σ(T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ≤d(T-λI)}?σ0(T) ??σ(T)，所以intσ(T) = ?，于是intσ3(T) = ?，根據定理1可知T滿足Browder定理。

（iii）由前面的結論，當σ(T) =σ3(T) 或accσ(T) = accσ3(T) 或intσ(T) = intσ3(T) 時，T均 滿 足Browder定理。但是，當?σ(T) = ?σ3(T)時，無法確定T是否滿足Browder定理。下面，舉例進行說明。

例5設A，B∈B(?2)分別定義為：A(x1，x2，x3，…) =(0，x1，x2，x3，…)，B(x1，x2，x3，…) =(x2，x3，x4，…)，令T= diag(A，B)，則σ(T) = D，σ3(T) = Γ，?σ(T) = ?σ3(T)，但是σb(T) = D，σw(T) = Γ，故T不滿足Browder定理。

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T)；

（iii）σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T)；

（iv）σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T)；

（v）σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T).

證明

（i）?（ii）因為T滿足Browder定理，根據定理1，故σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T).

（ii） ?（iii）σ(T) =σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]= intσ(T) ??σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]. 由σ3(T) =intσ(T) ??σ3(T) 知，ρw(T) ?ρ(T) ??σ(T). 故T滿 足Browder 定 理，于 是intσ(T) ?accσw(T)，ρ3(T) ?σ(T) ?isoσ(T). 因此?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T) ?σ(T). 反包含顯然成立。

（iii）?（iv）由（iii）知σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T)，又因為

所以σ(T) ??σ3(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T). 反包含顯然成立。

（iv）?（v）顯然。

（v）?（i）設T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使是當0 ＜|μ-λ0|＜ε時，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ??σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T)， 從 而μ?σ(T). 于 是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，因此T-λ0I是Browder算子。

注3

（i）設T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?，則?σ(T) = ?σ3(T). 反之不成立。

事實上，由T滿足Browder 定理知ρ3(T) ={λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ(T) =ρ(T)，于是?σ(T) =?σ3(T). 而當?σ(T) = ?σ3(T)時，一定有{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

（ii）T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?當且僅當σ(T) =σ3(T).

（iii）T滿足Browder定理且?σ(T) = ?σ3(T)當且僅當σ(T) =σ3(T).

3 算子函數的Browder定理

我們知道，算子滿足Browder 定理并不能推出其函數演算滿足Browder 定理。接下來，借助σ(T)和σ3(T)之間的關系來討論算子函數的Browder定理。

定理2設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理當且僅當

（i）T滿足Browder定理；

（ii） 對任意多項式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T)).

證明 必要性。（i）顯然成立。對任意多項式p，p(σ3(T)) ?p(σb(T)) =σb(p(T)) =σw(p(T))，故（ii）成立。

充分性。先證明對任意λ，μ∈ρe(T)，有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 反證：若存在λ0，μ0∈ρe(T)，使得ind(T-λ0I) =n＞0，ind(T-μ0I) = -m＜0，其中n和m都是正整數。令p0(T) =(T-λ0I)m(T-μ0I)n，則p0(T)為Weyl算子，而0 =p0(λ0)=p0(μ0) ∈p0(σ3(T)) ?σw(p0(T))，矛盾。故對任意λ，μ∈ρe(T)，有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 設p(T) -μI是 Weyl 算 子， 令p(x) -μ=a(x-λ)n1(x-λ)n2…(x-12λk)nk，μ=p(λi)，i= 1，…，k.則p(T) -μI=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，且

所以T-λiI是Weyl算子。故T-λiI是Browder算子，于是p(T) -μI是Browder算子。

注4對于定理2，考慮這樣一個問題：條件“對任意多項式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T))”在什么情況下可以加強為“對任意多項式p，p(σ3(T)) =σw(p(T))”？為此，有如下結論。

設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder 定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}=σ0(T)當且僅當

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對任意多項式p，p(σ3(T)) =σw(p(T)).

證明 必要性。只需證p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對任意μ0?p(σ3(T))，令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk，μ0=p(λi)，i= 1，…，k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk. 顯 然λi?σ3(T). 從而λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設λi∈isoσ(T)，則由已知條件得λi∈σ0(T)，因此T-λiI是Browder算子。故μ0?σw(p(T)).

充分性。只需證{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?σ0(T). 由已知條件可知σ3(T) =σw(T)，又因為{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ3(T)，所以{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?σ0(T).

推論4設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理當且僅當

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對任意多項式p，p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

證明 必要性。由定理2 知，對任意多項式p，p(σ3(T) ?ρe(T)) ?p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 因此p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

充分性。根據定理2，只需證對任意多項式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對任意μ0?σw(p(T))，設p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，則T-λiI是Fredholm 算子，其中i= 1，…，k.若存在j，使得ind(T-λjI) ＞0，則λj∈σ3(T)，從而p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) ≠?，矛盾。于是任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≤0. 同理可得任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≥0. 從而λi?σ3(T)，故μ0?p(σ3(T)).

推論5設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理當且僅當

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對任意多項式p，p(σ3(T)) =σ3(p(T)).

證明 充分性。由定理2，顯然。

下證σ3(p(T)) ?p(σ3(T)). 任意μ0?p(σ3(T))，設p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，其中i= 1，…，k. 則λi?σ3(T)，從而n(p(T) -μ0I) ＜∞. 由T滿足Browder 定理，λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設λi∈isoσ(T)，i= 1，…，k. 則{λi}，i= 1，…，k，為k個開閉集，從而T= diag(T1，T2，…，Tk，A)，其中σ(Ti)={λi}，σ(A) =σ(T){λ1，…λk}. 于 是p(T) = diag(p(T1)，p(T2)，…，p(Tk)，p(A))， 其 中σ(p(Ti)) =p(σ(Ti)) ={μ0}，σ(p(A)) =p(σ(A)). 因 為λi?σ(A)，故μ0?p(σ(A))，于 是μ0∈isoσ(p(T))，因 此μ0?σ3(p(T)).

定理3設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理當且僅當T滿足Browder定理且下列之一成立：

（i）ρ+e(T) = ?；

（ii）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).

證明 必要性。T滿足Browder定理顯然成立。下面證明（i），（ii）至少有一個成立。采用反證法，若存在λ1∈ρ+e(T)且λ2∈σ3(T) ?ρe(T) ?ρea(T)，則T-λ1I是Fredholm 算子且ind(T-λ1I) =n＞0，T-λ2I是Fredholm 算子且ind(T-λ2I) = -m＜0，其中n和m都是正整數。令p(T) =(T-λ1I)m(T-λ2I)n，則p(T)為Fredholm 算子且ind(p(T)) = 0，由p(T)滿足Browder 定理，從而p(T)是Browder 算子，因此T-λ1I是Browder 算子，這與ind(T-λ1I) ＞0 矛盾。故ρ+e(T) = ?與σ3(T) ?σe(T) ?σea(T)至少有一個成立。

充分性。若（i）成立，即若T-λI是Fredholm 算子，則ind(T-λI) ≤0. 設p(T) -μ0I是Weyl算子，令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk，μ0=p(λi)，i= 1，…，k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk且0 = ind(p(T) -μ0I) =n1ind(T-λ1I) +n2ind(T-λ2I) + … +nkind(T-λkI)， 所 以T-λiI是Weyl算子，又T滿足Browder定理，故T-λiI是Browder算子，于是p(T) -μ0I是Browder算子。

同理，若（ii）成立，由ρ3(T)的定義及Fredholm 算子的攝動定理可知，若T-λI是Fredholm 算子，則ind(T-λI) ≥0. 于是，仍可證得對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理。

事實上，σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*)當且僅當ρ+e(T) = ?. 因此，有如下推論。

推論6設T∈B(H)，則對任意的多項式p，p(T)滿足Browder定理當且僅當T滿足Browder定理且下列之一成立

（i）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*)；

（ii）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).