基于數學史實施深度學習的意蘊、困境與對策

崔海華

數學深度學習是指數學教學中，在教師精心引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習任務，積極參與、深度探究、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。其重點在于關注學生的學習過程，達成深度理解，提升學生綜合素養。隨著教改不斷進入深水區，適合的數學史進入小學數學課堂，讓數學史和學生深度學習相融，使學生通過自己的探索與思考，去經歷、創造并獲取數學知識，對于學生數學核心素養的養成具有重要的意義。然而，由于種種原因，對于數學史的深度教學，許多教師往往只停留在“好是好，但不知道怎么做”的認知層面。因此，進一步厘析基于數學史實施小學數學深度學習的內在意蘊、直面現實困境并從實際出發提出相應的對策，顯得尤為重要。

一、基于數學史實施小學數學深度學習的意蘊

作為數學文化的重要組成部分，基于數學史實施小學數學深度學習的價值意蘊越來越受到廣大教師的重視。數學史作為學習內容的補充和闡釋，能夠有效激發學生學習興趣，幫助教師預測學生學習障礙，發展學生思維，培養核心素養。

（一）呈現知識創造本源，品悟數學本質

小學數學教材中絕大多數的概念和方法，都是為了解決實際問題而產生的，因此，只有深入到知識產生的源頭，才能真正理清人類當初創造概念或方法的動機與原因，才能在教學中有效預設真實情境，讓學生像當時人們那樣嘗試著解決數學問題。例如，教材中通常把“比”定義為“兩個數相除又叫做兩個數的比”，這樣的表述是將“比”視為運算，似乎“比”的問題都可以用算術中的除法解決。按照這樣的認識，自然會帶來教學上的疑惑：既然已經有了除法，為什么還需要比？我們深入考察“比”的數學史，會發現“比”最初的意義并不是算術中的除法運算，而是幾何中量之間的“關系”。之前人們發現，解決像人數、時間、長度等可以直接用某種單位進行度量的情況時，可以用算術中除法解決；而遇到像形狀、濃度、擁擠程度等不可以直接用某種單位度量的情況時，只能用幾何中量之間的“關系”進行解決，這就是最初的“比”。只是后來隨著算術與幾何的融通，比的意義才逐漸從幾何進入算術，出現算術運算的意義。于是“比”的源頭及其數學本質躍然而出。

（二）預見學生學習障礙，優化學習過程

德國生物學家海克爾認為：個體的發育史將會重蹈其種族的發展史。具體到數學教育，就是學生學習數學的認知過程與數學史發展的過程是相似的，這就是著名的“歷史相似性原理”。數學史家波利亞進一步指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好地判斷”，即我們可以通過數學史，準確甄別、預見學生學習某一知識時所遇到的障礙，進而可以優化學習過程，通過巧妙預設，給予學生恰當的引領。例如，學習“認識負數”時，學生與數學家當初面臨的困境是相似的，都是對相反意義的量用原有的數已經不能正確表征；面臨的認知沖突沒有變，都是在減法計算中較小數不能減去較大數；面臨的認知拓展挑戰沒有變，都是沒有“存在比0 還要小的數”的認知等等。教師如果提前作出正確預判，就可以更好地預設教學，有針對性地指導學生學習，達成學習過程的優化。

（三）感悟數學思想方法，發展高階思維

數學思想是數學的靈魂。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》對于數學核心素養構成“三會”的表述，一方面凸顯了數學學科發展對于數學思想方法的依賴，另一方面彰顯了核心素養發展中數學思維的引領價值。深度學習的課堂必然是基于數學思想方法引領、以促進學生高階思維發展為主旨的課堂。例如，學習“圓的面積”時，教師通常都把轉化作為重要的數學思想和方法。但考察“圓的面積”的數學史，發現古人也曾經采用在圓的內部畫多邊形和在圓的外部畫多邊形，試圖通過不斷增加多邊形的邊數來求圓面積，都沒有成功。直到17 世紀，德國天文學家、數學家開普勒受到切西瓜的啟發，把圓分割成無數個小扇形，利用無窮小扇形面積與它對應無窮小三角形面積相等，采用無限分割、化曲為直的方法才得到了完美地解決。以此可知，重要的是要讓學生體悟無限分割、化曲為直的極限思想。要從數學思想方法的高度整體關注數學教學，居高望遠，不斷發展學生高階思維，提升學科核心素養。

二、基于數學史實施小學數學深度學習的困境

盡管國內外教育研究者對數學史融入數學教育都有較高的評價，但較高的評價卻并沒有引發行動上的較高水平的應用，基于數學史實施深度學習的教學現狀并不樂觀。

（一）教材內容與課標要求相脫節

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出，教材編寫理應適時介紹包括數學發展史在內的有關背景知識，便于更好地開展數學課堂教學。然而，現行的小學數學教材對于數學史素材的滲透相對較少，像人教版和蘇教版的教材，只在部分單元習題之后以閱讀材料“你知道嗎”的形式給予呈現，很少在正文中安排數學史內容，能夠高度體現數學知識與數學史內容密切契合的內容更是少見。

（二）教師素養與深度教學不相稱

教師對于實施深度教學的主導性作用毋庸置疑，然而很多教師既沒有受過數學史的相關培訓，也沒有對相關數學史的內容進行過較為深入地探究，即便在公開課上拿出來用一用，也只是對數學家的故事、概念產生發展的歷程、有趣的歷史名題等作簡單、膚淺的介紹。數學教師自身數學史素養的不足，加上教學指導力的匱乏，數學史不根植于學生內在，不能與數學思想方法、數學知識同生共長，游離于數學教育之外就成了一件十分正常的事，更不用說教師會深度思考“為什么要滲透數學史”“什么環節使用數學史”“如何與教學內容有機融合使用數學史”……可見，小學階段數學史融入課堂教學的深度和廣度還遠遠不夠。

（三）素材資源與拓展延伸不匹配

與“高評價、低應用”相對應的是小學數學史料素材資源比較少。一方面，雖然每個數學知識的背后都有極為豐富的數學發展史，但由于小學生所學的知識都是人類早期的成果，所能找到的相關記載并不多；另一方面，適用于小學數學教學特點的相關數學史的課程資源、教學材料較為少見，即便課標中所提及的數學家的故事、數學概念的形成與發展，在教材編寫過程中也很少涉及。雖然有很多數學史的科學研究，但缺少適用于小學數學的數學史教學素材，導致師生有無米之炊的無力之感，成為基于數學史實施深度學習的較為重大的阻礙。

三、基于數學史實施小學數學深度學習的策略

如何充分發揮數學史教育價值，將數學知識的源流、數學思想方法的價值、數學文化的魅力以及師生的主觀能動性融為一體，積極探索并實踐基于數學史實施深度學習的路徑與策略，成為當下迫切需要解決的問題。

（一）改變教學觀念，挖掘資源建構范式

教師應基于學生發展可能，切實結合課標要求，立足已有資源基礎，從基于數學史實施深度學習的高度出發，多閱讀、多研究、多掌握與小學數學教學相關的數學史資料，積點成線、連線成面，特別是能夠將相關的數學史料融入現代數學教學的思想與框架。一方面，主動補充、挖掘數學史素材，提升閱讀材料的深度與廣度，真正理清知識的來龍去脈，據史尋找學生思維突破點、生長點。另一方面，合理建構相關研究范式，化繁為簡，真正使數學史成為課堂深度學習不可或缺的一部分。例如，從數學史料出發，開展基于數學史料深度課堂的備課，形成“三備”范式，即備內容、備學生和備方法。要求教師綜合思考數學史、學生學習障礙與學生現有的學習起點，不斷追問古人為什么要創造這個知識。在整理清楚知識來龍去脈的基礎上，提煉出知識的數學本質，進而思考如何將數學史知識、學生的現實融入深度課堂的過程。“三備”看似線性，實則相互滲透，根據備課需要隨時切換，達成基于數學史精華的教學設計。具體如下：

圖1

（二）實施單元構建，突出主線建構關聯

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》從一致性、發展性出發，將單元整體設計作為撬動課堂轉型的一個重要支點。基于數學史的課堂，可以有效關聯歷史，探究知識源流，呈現知識脈絡。因此，以單元作為數學史融入的基本單位，不僅有時間和空間上的持續保證，內容上的上承下達，還能將現時的學習與歷史脈絡相印證、相融合，促進學生深度體驗、深刻感受數學的意義與價值。例如，將單位1 融入“因數和倍數”單元，學生在學習分數時，已經理解掌握了一個長度單位，如1 厘米、1 分米、1 米或任意的長度可以分別看作單位1。當長度單位與“因數和倍數”進行單元統整時，可以從“分”與“聚”兩種數學史發展的常見角度設計探究過程。“分”指向因數的學習，如給定一條整數長度的線段，可以被哪些整數長度的線段（單位1）量盡；“聚”指向倍數的學習，如把一整數長度的線段作為標準（單位1），若干段可以量盡哪些長度的線段。同樣地，也可以將面積單位分別看作單位1，與“因數與倍數”進行統整，作為研究主線，實施深度教學。

（三）注重形態轉化，探索創造超越結論

最原始的數學史料通常難以理解，需要教師對其進行符合學生閱讀學習的加工處理，轉化為學生喜聞樂見的形式呈現。華東師范大學汪曉勤教授總結提煉出“附加式、復制式、順應式和重構式”等四種運用數學史的方式。尤其是重構式，要求教師站在歷史的高度，明晰數學知識源流、數學思想演進，把握知識本質、創設有效情境，在人類認知提升的關鍵節點上，給予學生充分的時空，運用已有的數學經驗經歷再創造過程，達成深度理解。例如，學習“小數的意義”，教科書上通常將“元”和“角”之間的十進關系，結合分數的意義作為例題開展教學，但從教學效果看很不理想，原因在于：一是隨著微信、支付寶等網絡付費的普及，學生使用實物人民幣買東西的機會很少，對于“元”和“角”之間的關系不太熟悉；二是通過“1/10 元也可以用0.1 元來表示”，從分數的意義引入小數的意義，學生難于理解。通過數學史料研究發現，小數的出現始于長度單位的度量。劉徽在《九章算術注》中提出：最小的長度單位是“忽”，當“忽”還嫌大時，需要把它再平均分成10 份、100 份……，得到更小的數“微數”，即小數。因此，在教學中，從學生已知的最小計數單位“個（一）”出發，把它作為標準，往右退一作十，以此得到比“個（一）”更小的計數單位。由此，學生完成思維突圍，創造了小數，溝通了十進計數法、小數意義和分數意義之間的聯系，整數、小數、分數基于數學本質實現了統一。

（四）融入信息技術，再現情境凸顯人文

信息技術的發展日新月異，有可能的條件下組織學生觀看一些數學概念產生、發展的模擬過程，甚至可以讓學生借助網絡多媒體模擬一些易于操作的數學知識發展過程，直觀形象地通過情境再現歷史，激發學生對數學史的共鳴、人文情懷的關照，賦予數學教科書知識以溫度，有利于激發學生學習興趣，減少學生理解難度，彰顯數學史的人文魅力。例如，教學“三角形的面積”時，可以回溯到“三角形面積”產生的歷史源頭，通過屏幕聲像打開穿越通道，創設讓學生重回古老的埃及的情境：在這里，人們靠著尼羅河沖刷出的土地種植莊稼，但尼羅河每年都會泛濫，河水退后，兩岸人民每年都面臨重新丈量土地和公平劃分土地的問題。由此激發學生計算三角形土地面積的興趣。這樣的引入，既讓學生明白三角形的面積計算的必要性，同時也感受到其數學史之源。也可以根據劉徽《九章算術注》中對三角形的面積采用“半廣以乘正從”的方法，創設探究情境，引導學生深度學習。

物理學家、哲學家恩斯特·馬赫認為：沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學。數學史不只是歷史人物、歷史事件和歷史概念串成的故事，更是故事背后的數學問題、數學思想、數學方法和人文精神。基于數學史的小學數學深度學習課堂可以使師生溝通歷史與現實、數學與人文，師生在課堂中穿越時空，在數學理解中不斷深入數學本質，樹立文化自信，獲得素養提升。