基于SOLO理論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計
——以分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理為例

王 宇

(哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150000)

SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)是對皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論的繼承和發(fā)展，本質(zhì)上是一種認(rèn)知發(fā)展理論.經(jīng)過大量的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅是成長的總體階段會呈現(xiàn)階段性趨勢，當(dāng)他們學(xué)習(xí)或者解決某個問題時也同樣會表現(xiàn)出階段性的外顯特征.SOLO能夠?qū)W(xué)生每個反應(yīng)進(jìn)行分類，并且SOLO理論中的思維方式具有累積性，即一種思維方式的出現(xiàn)并不替代以前的思維方式，后發(fā)展起來的思維方式與早先形成的思維方式可以并存.約翰·比格斯認(rèn)為，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性主要包括兩個方面：一是量的方面，即學(xué)習(xí)要點(diǎn)的數(shù)量；二是質(zhì)的方面，即如何建構(gòu)學(xué)習(xí)要點(diǎn).根據(jù)這兩方面要求，約翰·比格斯把學(xué)習(xí)結(jié)果分為SOLO的5個水平.

五種反應(yīng)水平具體判斷標(biāo)準(zhǔn)如下：

表1

關(guān)注學(xué)生在問題教學(xué)中的表現(xiàn)就能知道他們的思維水平在什么結(jié)構(gòu)層次，這樣我們的教學(xué)設(shè)計就更具有針對性.

1 利用SOLO分類理論準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)

課前學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)處于前結(jié)構(gòu)水平，教師可以通過一些感性材料或者對舊知的復(fù)習(xí)、實驗的操作引導(dǎo)學(xué)生向單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平過渡來學(xué)習(xí)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識；然后通過對知識進(jìn)行辨析、解讀，從多角度發(fā)現(xiàn)和理解知識的內(nèi)涵，達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平；最后，使學(xué)生的思維水平向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次發(fā)展，將以上學(xué)習(xí)的各方面知識綜合到一起，實現(xiàn)知識的應(yīng)用.并積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的遷移和運(yùn)用進(jìn)而努力達(dá)到擴(kuò)展抽象水平.

以人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第六章第1節(jié)“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”教學(xué)為例，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中關(guān)于兩個基本計數(shù)原理的學(xué)習(xí)在知識層面上要求學(xué)生“理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其作用”；在思維層面上要求學(xué)生“結(jié)合具體情境，理解許多計數(shù)問題可以歸結(jié)為分類和分步兩類問題”“能根據(jù)計數(shù)原理分析問題”“能運(yùn)用這些原理解決簡單的實際問題”，在內(nèi)化學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時掌握一定的解題方法和解題技巧.根據(jù)以上述分析，得出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學(xué)目標(biāo)如下：

(1) 從實例出發(fā)，并能正確“完成一件事”；(單點(diǎn)結(jié)構(gòu))

(2) 通過對問題進(jìn)行比較能夠總結(jié)得出兩個計數(shù)原理；(單點(diǎn)結(jié)構(gòu))

(3) 通過對問題特征的分析，能描述“完成一件事”的具體含義，明確分類與分步的區(qū)別，總結(jié)出應(yīng)用兩個計數(shù)原理的基本步驟；(單點(diǎn)結(jié)構(gòu)/多點(diǎn)結(jié)構(gòu))

(4) 能正確選擇和利用兩個基本計數(shù)原理解決一些簡單問題；(關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu))

(5) 體會兩個計數(shù)原理所包含的劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合和特殊與一般的思想方法；(關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu))

(6)理解如何求子集的個數(shù).(拓展抽象)

2 利用SOLO理論明確教學(xué)重難點(diǎn)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要著力于重點(diǎn)的分解以及難點(diǎn)的破解.分解教學(xué)重點(diǎn)就是幫助學(xué)生比較容易地接受新知識，同時努力減輕學(xué)生的壓力；教學(xué)難點(diǎn)的破解就是在分析學(xué)生所學(xué)新知識與學(xué)生已有的認(rèn)知水平之間存在的落差的基礎(chǔ)上，搭建適當(dāng)?shù)哪_手架.在利用SOLO分類理論對教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行分析后，可以結(jié)合學(xué)生的實際情況確定教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).以人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第六章第1節(jié)“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”為例，教學(xué)重難點(diǎn)設(shè)計如表所示.

3 利用SOLO分類理論設(shè)計教學(xué)內(nèi)容

設(shè)計教學(xué)的最佳途徑是依據(jù)所期望的教學(xué)目標(biāo)來安排工作.這里的期望包括《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中的教學(xué)要求，也包括學(xué)生學(xué)情.以SOLO分類理論為指導(dǎo)進(jìn)行課堂教學(xué)，就要以最終期望學(xué)生達(dá)到的思維結(jié)構(gòu)層次為出發(fā)點(diǎn)，思考要想學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)發(fā)展到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，并且最終能夠達(dá)到擴(kuò)展抽象水平.通過這個思考過程，就能很容易明確可以引導(dǎo)學(xué)生的思維水平向各個階段發(fā)展的具體的教學(xué)任務(wù).

片段一：情境引入，提出問題(第1課時)

請同學(xué)們觀察實際生活中“衣、食、住、行”各方面存在的數(shù)學(xué)問題：

“衣”：高考后的假期，小王和同學(xué)約好前往景區(qū)游玩，出門前，她從兩頂不同的白色帽子或三頂不同的紅色帽子中選擇一頂佩戴，共有多少種戴法？

“食”：景區(qū)午飯有比薩或意面各三個口味可供選擇，如表3-1所示：

表3-1

小王從中任選一個口味的一種午飯食用，共有多少種選擇？

“住”：由于天氣原因，小王決定在景區(qū)暫住一晚，民宿還剩4個下鋪或2個上鋪，選擇一個床位住宿，共有多少種選擇？

“行”：第二天可以乘共享單車或觀光車從景區(qū)返程，景區(qū)有40輛共享單車和8輛觀光車，要順利返程共有多少種選擇？

問題1：對于我們生活中“衣、食、住、行”各方面遇到的數(shù)學(xué)問題，大家能否用已掌握的數(shù)學(xué)知識來進(jìn)行解決呢？(引導(dǎo)學(xué)生從生活情境中提煉數(shù)學(xué)問題，并利用枚舉法對問題進(jìn)行思考及解決)

設(shè)計思路：課前學(xué)生的思維水平處在前結(jié)構(gòu)水平，此時教師需要提供給學(xué)生進(jìn)入新課程的指向.設(shè)置生活中學(xué)生經(jīng)常會遇到的大量繁雜的計數(shù)問題能夠激起學(xué)生的興趣，此時學(xué)生產(chǎn)生想要探究這些計數(shù)問題背后蘊(yùn)藏的特定原理的興趣和沖動，達(dá)到通過情景和問題引導(dǎo)學(xué)生快速過渡到單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的效果.

片段二：問題探究，歸納原理(第1課時)

問題1：請嘗試從“什么事情”“如何解決”“結(jié)果怎樣”三個方面對上述問題進(jìn)行再次觀察并將表格填寫完整.

表3-2

問題2：能否根據(jù)這四個問題的解決辦法嘗試抽象概括出一般結(jié)論？

表3-3

設(shè)計思路：此時學(xué)生的思維水平處在由單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次向多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次過渡時期，設(shè)置表格填空問題是為了幫助學(xué)生探究疑難、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成結(jié)論，從而解決重點(diǎn).表格將四個問題有機(jī)地整合在一起，更是為學(xué)生能夠抽象出結(jié)論打下基礎(chǔ).

片段三：演練反饋，方法總結(jié)(第2課時)

通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道了要運(yùn)用兩個計數(shù)原理解決問題的關(guān)鍵是要弄清完成“什么事情”、應(yīng)該“如何解決”、最終“結(jié)果怎樣”.那對于一個計數(shù)問題應(yīng)該怎么完成？怎樣進(jìn)行分步或分類呢？

問題1：書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

(1) 從書架中任取1本書，有多少種不同的取法？

(2) 從書架的第1， 2， 3層各取一本書，有多少種不同取法？

追問1：從書架中取2本不同種類的書，有多少種不同的取法？

問題2：能否總結(jié)出應(yīng)用分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理“完成一件事”的基本步驟？

設(shè)計思路：此時學(xué)生處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平，繼續(xù)從解決問題出發(fā)時學(xué)生不再毫無頭緒，且問題及追問循序漸進(jìn)，能夠把學(xué)生的所思所想串聯(lián)到一起.通過對題目中關(guān)鍵詞的辨別，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出解決問題的關(guān)鍵及步驟，突出強(qiáng)調(diào)弄清完成一件事的要求至關(guān)重要，進(jìn)一步弄清“完成一件事”的具體含義，并且能夠準(zhǔn)確區(qū)分分步和分類，從而達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平.

片段四：原理再用，鞏固提高(第3課時)

問題：在國慶長假期間，班主任要從7名值周生中選若干人在7天假期值班且每天只需1人值班.

(1) 有多少種可能的安排方法？

(2) 若要求不能出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？

(3) 你能夠設(shè)計出貼近我們學(xué)習(xí)和生活并且能夠運(yùn)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的問題嗎？

設(shè)計思路：通過SOLO分類理論可以將習(xí)題的作用發(fā)揮得更加積極.此題目屬于關(guān)聯(lián)思維結(jié)構(gòu)水平習(xí)題，學(xué)生首先必須十分明確分類與分步的區(qū)別，同時掌握運(yùn)用基本計數(shù)原理解決問題的關(guān)鍵.另外讓學(xué)生編制題目，經(jīng)歷從解決問題到提出問題的過程，發(fā)展“命題人思維”更能讓學(xué)生融會貫通應(yīng)用計數(shù)原理，雖然可能稍有困難，但過程中充滿探索的趣味.

片段五：總結(jié)提高，認(rèn)知升華(第3課時)

問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為你在解決問題方面有何收獲？

設(shè)計思路：把課堂時間歸還給學(xué)生，讓學(xué)生自己進(jìn)行總結(jié).通過梳理表格或思維導(dǎo)圖等多樣性的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善知識體系并加深理解和認(rèn)識.

4 利用SOLO分類理論討論教學(xué)評價

鑒于人的思維層次從關(guān)聯(lián)水平提升到拓展抽象水平需要付出巨大的努力，因此要求所有的學(xué)生會達(dá)到或者希望達(dá)到更高層次是很不現(xiàn)實的.因此對于中學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的評價要基于實際去進(jìn)行，若期望偏離實際反而會導(dǎo)致呈現(xiàn)出一個不成功的課堂.因此，在正式教學(xué)之后，教師需要依據(jù)適量的標(biāo)準(zhǔn)來對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價.

如果一個學(xué)生遇到新的或者他所不熟悉的題目類型，將會做出較低水平的回答.也就是說，如果要測試一個人的最佳表現(xiàn)，就需要讓他獲得大量的測驗練習(xí)和經(jīng)驗，然后才能進(jìn)行測評.因此，在利用SOLO分類理論進(jìn)行評價時，只有當(dāng)一個學(xué)生對題目類型經(jīng)過練習(xí)鞏固有一些經(jīng)驗后，他的最佳表現(xiàn)才能被評價，這是符合我們的教學(xué)經(jīng)驗的.可以以“SOLO分類評價理論”為基礎(chǔ)，由學(xué)生回答問題的水平，統(tǒng)計學(xué)生的學(xué)習(xí)成果.在完成統(tǒng)計之后，教師可以通過統(tǒng)計的結(jié)果進(jìn)行自我教學(xué)評價，如果教學(xué)某一知識點(diǎn)時，顯現(xiàn)低級水平的學(xué)生較多，那么教師就需要思考教學(xué)過程是否出現(xiàn)了問題.

例如，如圖1，以一道基本計數(shù)原理題為例：從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？

圖1

若學(xué)生在分析題目后只能聯(lián)想到運(yùn)用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理，但是無法深入思考，無法解決問題，則反映出學(xué)生呈前單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平.

若學(xué)生能夠從題目中考慮到從甲地到丁地需要分步完成且共有兩條路線，即甲地→乙地→丁地或甲地→丙地→丁地，但是不能夠表述出兩條路線間的內(nèi)在關(guān)系，則此時反映出學(xué)生呈多單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平.

若學(xué)生能夠考慮到乙地、丙地間的區(qū)別與聯(lián)系，能夠考慮到多方面多角度進(jìn)行解題，則此時反映出學(xué)生呈關(guān)聯(lián)水平.

SOLO分類理論是教學(xué)評價中的一個重要工具及要素.在完成評價后，教師需要根據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)出的結(jié)果對自己的教學(xué)進(jìn)行總結(jié)與反思并對教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容等形成經(jīng)驗或判斷.具體應(yīng)該怎樣實施還需要教育工作者根據(jù)實際進(jìn)行變通和調(diào)整.