齊次化聯立解決高考中與斜率和積有關的定點問題

廉換霞，林新潮

(福建省莆田第一中學，福建莆田，351100)

平面解析幾何是用代數的方法研究它們的幾何性質，體現了形與數的結合，重點提升學生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養，可見其重要性.所以，在每年高考全國卷的六道解答題中必有一道是解析幾何.近幾年高考中，常出現以斜率和或積為定值來探究直線過定點的問題.本文以三道高考題為例進行分析，并用齊次化聯立的方法進行解答，以尋求此類問題統一的解決方法和思路.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A，P2B的斜率之和為-1，證明：直線l過定點.

評注：本題利用齊次化聯立來求解，相對于常規解法，大大減少了計算量，且具有模式化的解答過程，可以提升學生的直觀想象、數學運算、數學建模素養.這里充分利用了直線經過平移不改變斜率的特性.本題的特點是有圓錐曲線上一定點P2，若兩直線P2A，P2B的斜率和為定值，則直線AB過定點.那么有無更一般的結論呢？具體可參考林炳宗[1]等人的論文.該幾何模型的特點是有圓錐曲線上一定點，兩直線的斜率和或積為定值與直線過定點的等價關系.

(1) 當a2d-b2≠0時，

(1) 求C的方程：

(2) 點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

思路分析：本題已知AM⊥AN，我們可將幾何關系代數化為kAM·kAN=-1.從而有橢圓上一定點(A)，兩直線(AM，AN)的斜率積為定值，符合我們研究的幾何模型，解題思路就為推證直線MN過定點，并求出定點P坐標，又AD⊥DP，所以D在以AP為直徑的圓上，得點Q為圓心，|DQ|為圓的半徑.

即x2+2y2+4x+4y=0，點A、M、N平移后為A′(0，0)，M′，N′.直線M′N′不經過原點，可設其方程為mx+ny=1，代入橢圓方程有x2+2y2+(4x+4y)(mx+ny)=0即(1+4m)x2+(2+4n)y2+4(m+n)xy=0.

所以圓錐曲線平移后所得方程，對“x”是“左加右減”，對“y”是“下加上減”.

(1) 求E的方程；

(2) 證明：直線CD過定點.

思路分析：點C在橢圓上，A，B為左右頂點，由橢圓第三定義，可得所以我們連接BC，從而有橢圓上一定點B，考慮兩直線BC，BD的斜率積是否為定值.驚喜地發現kPB=3kPA，通過kCA橋梁關系，可得BC與BD的斜率積為定值，符合我們研究的幾何模型，進而推證直線CD過定點.

(2) 證明：點P在定直線x=6上，可設P(6，y0) .

又A，B為x軸上定點，A(-3，0)，B(3，0)

點C在橢圓上，A，B為左右頂點，有

評注：此種解題方法在于，先去思考是否符合我們的幾何模型，可以提升學生的邏輯推理和數學抽象素養.以后在我們解答圓錐曲線定點問題時，可以考慮先找曲線上一定點，若由其出發的兩直線的斜率和或積為定值，則可按此模型推證直線過定點，為廣大考生提供一種解題的思路.