水中漂浮蠟燭熄滅時長度問題建模分析

莫 濱

南京市第十八中學，南京 210022

將蠟燭下部加配重后，使之直立漂浮在水中，點燃蠟燭，蠟燭會逐漸變短，同時會不斷上升。那么，是否可以通過計算得出蠟燭熄滅時的長度，是一個比較有趣的問題。2021年某省中考試題，創(chuàng)設了相關情境，計算上述長度，其是否完美解決了該問題，本文對此進行討論。

1 試題分析

例（某省卷第18題）如圖1所示，水中有一支長14 cm、底部嵌有鐵塊的蠟燭，露出水面的長度為1 cm。點燃蠟燭，至蠟燭熄滅時，水對容器底部產生的壓強 ____________（選填“變大”“變小”或“不變”）。熄滅時蠟燭所剩長度為____________ cm。（ρ＝0.9×10kg/m）

圖1 某省卷第18題配圖

此處僅討論第2空，參考答案是“4”。現(xiàn)根據(jù)某中學教育資源類網站和某文庫提供的解析，轉述其共同的思路：蠟燭和鐵塊作為一個系統(tǒng)進行整體分析，原先處于漂浮狀態(tài)，浮力等于重力。隨著蠟燭燃燒，長度變短、重力減小，浮力也減小，水中部分體積減小，即蠟燭向上運動。同時，蠟燭在液面上方部分體積也減小，直到蠟燭燃燒至與水面平齊處時，被水熄滅，此時蠟燭和鐵塊組成的整體處于懸浮狀態(tài)，浮力等于重力。依據(jù)始末狀態(tài)的受力分析，計算結果就是“4”，過程如下：

令蠟燭的橫截面積為S，開始時蠟燭長度h＝0.14 m，浸入水中深度h＝0.13 m，被水熄滅時剩余蠟燭的長度為l，鐵塊受重力為G。開始狀態(tài)

此結果成功印證了試題的參考答案。但是，能相互印證，其求解過程一定正確嗎？上述分析都是基于一個假設，即蠟燭熄滅時，上部是一個平面，而且是一個水平的平面，此假設成立嗎？

2 蠟燭熄滅時的實際形狀

蠟燭燃燒時的真實情況又是怎樣？想必讀者都見過，但是通常被我們忽略了。無論蠟燭上部原先是何種形狀，點燃后，火焰在蠟燭中心，火焰處溫度高，中心部分蠟燭先熔化后汽化，而被燃燒掉，形成凹陷。隨著時間的推移，凹陷程度越來越大，上部邊緣部分越來越薄。理想情況下，蠟燭邊緣所受熱輻射是均勻的，則邊緣各處同步熔化并下降，邊緣上部形成一個水平的圓環(huán)，內部形成凹面。實際情況是，蠟燭不可能絕對規(guī)則，不能保證絕對豎直放置，燭芯不一定在正中心，燭芯燃燒時會發(fā)生卷曲，外界空氣擾動等因素，都會使得火焰偏移，總會有一處率先熔化而“潰壩”，里面燭液流下（圖2），此即中國古代文學作品中富有詩意的“燭淚”。這種情況下，蠟燭頂部不能形成平面，人為吹滅蠟燭，冷卻后也是中部凹陷的形狀。

圖2 蠟燭燃燒時上部形狀

當將蠟燭放入水中后又會怎樣呢？蠟燭上部高出水面時，上部與圖2無甚區(qū)別。當上部邊緣最低處率先抵達水面時，該處因水的冷卻不再熔化，水不會從此處漫入蠟燭中心。燭焰仍在燃燒，加熱蠟燭，只能熔化高于水面的那些部分，最終所有邊緣均抵達水面。

由于蠟燭上邊緣抵達水面，外側水會使邊緣冷卻，邊緣不再向下熔化，但是會越烤越薄。當蠟燭外壁薄到一定程度，就不再熔化，形成一圈薄壁圓筒。火焰只能繼續(xù)向下發(fā)展，依靠熔化底部的蠟燭來提供燃料，最后結果是外壁越來越薄，凹陷程度越來越深。同時，消耗蠟燭，導致蠟燭重力變小，蠟燭上浮，上部高出水面些許，高出部分沒有水的冷卻，被燭焰熔化，這樣循環(huán)往復，蠟燭越燒越短。由于蠟燭底部有配重，蠟燭不能永無止境地往下燃燒，當蠟燭內部凹陷到達一定程度時，因供氧不足而熄滅，如圖3所示。

圖3 水中蠟燭燃燒后形狀（文獻[1]配圖）

由此可見，燃燒后的蠟燭上部并不是平面，上述計算的前提條件不成立。那么能否計算呢？假設凹陷部分體積為ΔV，為了便于分析，令ΔV=SΔl， 在計算 G′時將其等效為比 l短 Δl的圓柱體，（5）式修正為

用（10）式替換（5）式，代入（8）式，則（9）式應修正為

由于試題未提供凹陷部分的形狀、體積等參數(shù)，（11）式無法算出具體數(shù)據(jù)，僅能確定l＜0.04 m。

3 多種建模方法的比較

至此，對此題的討論似乎結束了。回顧圖1和圖3，我們又發(fā)現(xiàn)兩者有一些細微差別。圖3底部是一根鐵釘，但是圖1是內嵌一個鐵塊作為配重，則（4）（5）式中蠟塊的體積就不應是 Sh和Sl，此二式不成立。上述試題分析過程錯誤。

3.1 平均密度的建模方法

內嵌鐵塊后，蠟燭和鐵塊作為一個整體，令鐵蠟混合體平均密度為 ρ，ρ介于 ρ和 ρ之間。而且隨著蠟燭燃燒，蠟所占比例減小，鐵所占比例增大，ρ增大，由于ρ不再是定值，計算時要結合該時刻的實際情況。

一旦考慮頂部凹陷的實際情況，此題將無法計算，此處僅討論鐵塊放置位置對計算的影響，故依舊假設熄滅時，頂部是水平平面。

設鐵蠟混合體中，鐵的初始體積占比為x，則蠟的體積占比為1-x，我們將（1）式改寫為

將鐵蠟作為混合體計算結果也是“4”，與參考答案相同。

3.2 內嵌配重的建模方法

前文已經指出了（4）（5）式中蠟塊體積 Sh和Sl是錯誤的，但是為何計算結果也是“4”？

平均密度的建模方法是正確的，但是其計算過程復雜程度遠超預期，用作教師的學術交流倒也無妨，此法不可能是命題者用來考查學生的初衷。（4）（5）式的建模方法，實際上忽略了配重體積；正確的蠟塊體積應該減去V，修正為Sh-V和Sl-V，也就是由于鐵塊內嵌在蠟塊中，這部分體積不應作為蠟塊體積，這部分蠟塊的重力也相應去除。 （4）（5）式中體積修正后，代入（3）式，結果也相同。原因分析如下：

將（3）式改寫為

我們發(fā)現(xiàn)，此法修正體積，不影響最終結果。

3.3 外掛配重的建模方法

圖3的外掛配重，又將如何？由于外掛配重一直在水中，體積考慮與否對結果無影響，但是物理意義不同。

考慮配重體積，（6）（7）式均應該改寫，浮力修正為蠟燭所受浮力與配重所受浮力之和。由（3）式得 F-F′＝G-G′，即 ΔF＝ΔG。 可見，由于配重所受浮力不變，整體的浮力變化量僅取決于蠟燭重力的變化量，配重體積考慮與否對結果無影響。

對比內嵌和外掛配重，我們發(fā)現(xiàn)，其實前者是修正了蠟燭重力，后者是修正了鐵片的浮力。

3.4 等效觀點下的建模方法

從物理意義的視角而言，不修正體積湊巧也能得出正確答案，但是其本質是錯誤的；修正體積或采用平均密度的方法，分析過程過于繁瑣。這類問題有沒有能夠快速分析出結果的建模方法，引發(fā)了筆者的思考。

這種等效觀點的建模方法，不必再考慮配重體積，更不必考慮內嵌與外掛的區(qū)別了，僅需聚焦于上面部分蠟燭即可。

4 修改建議

再次回味此題，命題者的思路是可取的，對浮力、重力、密度的考查，內容綜合、方法巧妙。此類問題今后依然可以為教師所用，但是建議作相應的修改。

我們先嘗試讓試題能夠計算，即解決頂部凹陷問題。建議改為“我們采用熱的刀片將蠟燭露出水面部分不停地水平切去，并將切下來的蠟燭全部取走，假設可以切到和水面相平”。這樣就可以確保頂部是一個水平平面，為試題創(chuàng)設了計算的前提。

前文分析了配重體積及內嵌、外掛情況均不影響最終結果，此題的重點也不是體積修正問題，這并不意味著教學中就能采用上述網站和文庫的解析方法，還是建議進一步修改完善此題。相對而言，學生對外掛配重比內置配重更易理解，我們就按照外掛配重來修改試題，建議改為“底部外掛鐵塊的蠟燭”，并仿照圖3修改配圖。綜合上述的建模方法，將鐵塊由內嵌改為外掛后，下部的蠟燭體積其實是增大了，鐵塊重力也比原來大，這一點學生不需要知道，但是教師應該了解。其實，筆者更傾向于不糾結體積修正問題，更又不希望學生用錯誤的方法得出正確的結論，建議增加“鐵塊體積忽略不計”的相關敘述，則配重外掛、內嵌均可。