“扔紙團”問題的深度探討

鄧天華 ，傅 敏

1.西北師范大學教育學院，蘭州 730070

2.西北師范大學附屬中學，蘭州 730070

習題教學是學科教學的重要組成部分，是培養問題解決能力的重要載體。學生常常在習題中遇到困難，有時即使對照參考答案也難以釋惑。學生在習題中暴露出來的問題往往很關鍵且重要，反映了他們真實的認知情況，具有很好的研究價值。教學中如果能緊緊抓住這些契機，有針對性地進行教學設計，及時有效地解疑釋惑，將會促進學生對概念、規律的深刻理解，也有利于問題解決能力的提升。

1 問題提出

題目（單選）利用手機可以玩一種叫“扔紙團”的小游戲。如圖1所示，游戲時，游戲者滑動屏幕將紙團從P點以速度v水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍，紙團恰好從紙簍的上邊沿入簍并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團進入紙簍中并直接擊中簍底正中間，下列做法可行的是

圖1 “扔紙團”游戲示意圖

A.在P點將紙團以小于v的速度水平拋出

B.在P點將紙團以大于v的速度水平拋出

C.在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出

D.在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出

很多學生質疑D選項：初速度v增加，高度h減小，水平位移還是可能恰好沿左側上沿飛入并擊中簍底正中間。有的學生“淺嘗輒止”地試畫拋物線軌跡后發現“好似不能通過底部中點”或“好似可能”；更多的學生注意到“單選”，既然認為C選項正確，那結合“經驗”便確定D選項錯誤。參考答案及解析中把正確答案找到就未進一步分析。最后的“同理”應該怎么解釋呢？沒有清晰地說明其錯誤原因，蘊含其中的知識和能力需求沒有得以體現。解析的確給出了數學關系和物理意義上的一點解釋，那能不能更進一步探討，以加深對平拋運動及其規律的理解呢？接下來，從三個角度進行思考。

2 三個角度

2.1 定性分析，把握本質

分析D選項，設滿足題意的紙團運動軌跡如圖2中曲線a所示。考慮高度減小，運動時間變短，當紙團剛好通過紙簍左側上沿時，豎直方向的分速度也減小。因水平的初速度增加，而紙簍兩側間距又不變，在紙簍兩側間的運動時間變短，則沿紙簍豎直方向下降的距離減小，故將擊中紙簍右側某點，如圖2中曲線b。

圖2 定性分析

2.2 軌跡模擬，直觀呈現

圖3 軌跡模擬

為呈現動態變化過程，輸入變量a和c，制作滑動條，再輸入函數y=-ax+c。拖動滑動條，即可以調節高度H和初速度v，模擬紙團從不同高度以不同初速度拋出時擊中紙簍的位置關系。在這一動態變化過程中，可以發現擊中兩側AB和CD的不同情況，也可以找到其他擊中簍底正中間的可能性。 當 a＝0.12，c＝3.7，即 y=-0.12x+3.7，紙團從更高位置以更小速度拋出將可以擊中簍底中點 F（8.01，－4.00），如圖 3 中曲線 d 所示。

在“軌跡模擬”的動態呈現過程中，也可以把上述步驟的順序進行調整：先繪制紙簍兩側面AB和CD，再繪圖3中曲線a，引導學生分析“高度和初速度的改變影響拋物線方程的開口度”，呈現系數調節的過程，直到能畫出圖3中的曲線b、c和d。還可演示初速度不變，上下移動拋出點的位置，其拋物線軌跡跟擊中紙簍的位置關系，尋找規律。

2.3 數理結合，深度釋疑

如圖4，設紙團拋出的初速度為v，高度為H，紙簍高度為h，其左右側面分別為AB和CD，間距為L，拋出點離紙簍兩側的水平距離分別為x和 x，由題意得

圖4 數理結合

若紙團從更低位置（H-Δh）以更大的初速度（v＞v）拋出，仍滿足臨界條件，即剛好經過紙簍左側上沿A點并擊中簍底D點，同上分析有

聯立（3）（4）式知

（7）式不成立，因此假設不成立。當（4）式右側因（H-Δh）減小而減小，左側值也應該減小，那就只能x增大，故紙團打在右側D點之上。

再考慮C選項，若紙團從更高位置（H+Δh）以更小初速度（v＜v）拋出，經過左側上沿A點或更大的水平距離（x+Δx）進入紙簍并擊中簍底中點，同上分析有

聯立（3）（9）式知 H+Δh＞H，（9）式右側增大，左側也增大，（8）（9）式可能都成立，說明紙團可以滿足假設，如圖3中曲線c和d所示。

3 反思

本題考查平拋運動規律及應用，屬簡單題，學生作出正確選擇并不難，但提出的疑惑很有代表性。學生在問題解決中易于借助數學表達式或憑借不知正誤的“經驗”，而往往忽略實際的物理情境便產生疑惑甚至錯誤。“扔紙團”問題中，學生試畫的“拋物線”并不一定是嚴格的拋物線，而數學表達式只能呈現定性分析的某方面，從而產生質疑。教師先從物理角度進一步定性分析，又借助信息技術嚴格作圖，再嘗試數學、物理跨學科融合，從定性到定量，從直觀到抽象，引導學生逐漸認清問題實質，促進學生深刻理解平拋運動的規律，加強數學分析能力的訓練，整體提升問題解決能力。

教學要以學為中心，回到教學中，抓住問題關鍵，有時還需“慢下來”甚至“停一停”，尋求能力的培養和提升。教學過程中，不管是概念、規律的新課教學，還是其應用的習題教學，了解學情越真實越具體，就越能針對學生在知識和能力上的不足而進行有效設計，正面回應學生的疑惑，“趁熱打鐵”及時解決問題。