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“扔紙團”問題的深度探討

2022-10-18 00:06:20鄧天華
物理教學探討 2022年9期
關鍵詞:拋物線水平教學

鄧天華 ,傅 敏

1.西北師范大學教育學院,蘭州 730070

2.西北師范大學附屬中學,蘭州 730070

習題教學是學科教學的重要組成部分,是培養問題解決能力的重要載體。學生常常在習題中遇到困難,有時即使對照參考答案也難以釋惑。學生在習題中暴露出來的問題往往很關鍵且重要,反映了他們真實的認知情況,具有很好的研究價值。教學中如果能緊緊抓住這些契機,有針對性地進行教學設計,及時有效地解疑釋惑,將會促進學生對概念、規律的深刻理解,也有利于問題解決能力的提升。

1 問題提出

題目(單選)利用手機可以玩一種叫“扔紙團”的小游戲。如圖1所示,游戲時,游戲者滑動屏幕將紙團從P點以速度v水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍,紙團恰好從紙簍的上邊沿入簍并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團進入紙簍中并直接擊中簍底正中間,下列做法可行的是

圖1 “扔紙團”游戲示意圖

A.在P點將紙團以小于v的速度水平拋出

B.在P點將紙團以大于v的速度水平拋出

C.在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出

D.在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出

很多學生質疑D選項:初速度v增加,高度h減小,水平位移還是可能恰好沿左側上沿飛入并擊中簍底正中間。有的學生“淺嘗輒止”地試畫拋物線軌跡后發現“好似不能通過底部中點”或“好似可能”;更多的學生注意到“單選”,既然認為C選項正確,那結合“經驗”便確定D選項錯誤。參考答案及解析中把正確答案找到就未進一步分析。最后的“同理”應該怎么解釋呢?沒有清晰地說明其錯誤原因,蘊含其中的知識和能力需求沒有得以體現。解析的確給出了數學關系和物理意義上的一點解釋,那能不能更進一步探討,以加深對平拋運動及其規律的理解呢?接下來,從三個角度進行思考。

2 三個角度

2.1 定性分析,把握本質

分析D選項,設滿足題意的紙團運動軌跡如圖2中曲線a所示。考慮高度減小,運動時間變短,當紙團剛好通過紙簍左側上沿時,豎直方向的分速度也減小。因水平的初速度增加,而紙簍兩側間距又不變,在紙簍兩側間的運動時間變短,則沿紙簍豎直方向下降的距離減小,故將擊中紙簍右側某點,如圖2中曲線b。

圖2 定性分析

2.2 軌跡模擬,直觀呈現

圖3 軌跡模擬

為呈現動態變化過程,輸入變量a和c,制作滑動條,再輸入函數y=-ax+c。拖動滑動條,即可以調節高度H和初速度v,模擬紙團從不同高度以不同初速度拋出時擊中紙簍的位置關系。在這一動態變化過程中,可以發現擊中兩側AB和CD的不同情況,也可以找到其他擊中簍底正中間的可能性。 當 a=0.12,c=3.7,即 y=-0.12x+3.7,紙團從更高位置以更小速度拋出將可以擊中簍底中點 F(8.01,-4.00),如圖 3 中曲線 d 所示。

在“軌跡模擬”的動態呈現過程中,也可以把上述步驟的順序進行調整:先繪制紙簍兩側面AB和CD,再繪圖3中曲線a,引導學生分析“高度和初速度的改變影響拋物線方程的開口度”,呈現系數調節的過程,直到能畫出圖3中的曲線b、c和d。還可演示初速度不變,上下移動拋出點的位置,其拋物線軌跡跟擊中紙簍的位置關系,尋找規律。

2.3 數理結合,深度釋疑

如圖4,設紙團拋出的初速度為v,高度為H,紙簍高度為h,其左右側面分別為AB和CD,間距為L,拋出點離紙簍兩側的水平距離分別為x和 x,由題意得

圖4 數理結合

若紙團從更低位置(H-Δh)以更大的初速度(v>v)拋出,仍滿足臨界條件,即剛好經過紙簍左側上沿A點并擊中簍底D點,同上分析有

聯立(3)(4)式知

(7)式不成立,因此假設不成立。當(4)式右側因(H-Δh)減小而減小,左側值也應該減小,那就只能x增大,故紙團打在右側D點之上。

再考慮C選項,若紙團從更高位置(H+Δh)以更小初速度(v<v)拋出,經過左側上沿A點或更大的水平距離(x+Δx)進入紙簍并擊中簍底中點,同上分析有

聯立(3)(9)式知 H+Δh>H,(9)式右側增大,左側也增大,(8)(9)式可能都成立,說明紙團可以滿足假設,如圖3中曲線c和d所示。

3 反思

本題考查平拋運動規律及應用,屬簡單題,學生作出正確選擇并不難,但提出的疑惑很有代表性。學生在問題解決中易于借助數學表達式或憑借不知正誤的“經驗”,而往往忽略實際的物理情境便產生疑惑甚至錯誤。“扔紙團”問題中,學生試畫的“拋物線”并不一定是嚴格的拋物線,而數學表達式只能呈現定性分析的某方面,從而產生質疑。教師先從物理角度進一步定性分析,又借助信息技術嚴格作圖,再嘗試數學、物理跨學科融合,從定性到定量,從直觀到抽象,引導學生逐漸認清問題實質,促進學生深刻理解平拋運動的規律,加強數學分析能力的訓練,整體提升問題解決能力。

教學要以學為中心,回到教學中,抓住問題關鍵,有時還需“慢下來”甚至“停一停”,尋求能力的培養和提升。教學過程中,不管是概念、規律的新課教學,還是其應用的習題教學,了解學情越真實越具體,就越能針對學生在知識和能力上的不足而進行有效設計,正面回應學生的疑惑,“趁熱打鐵”及時解決問題。

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