共振條件下豎直懸臂輸流管的局部分岔分析

張嘉文，高曉凌，謝沅澤，卞小霞

（1.鹽城工學院 信息工程學院，江蘇 鹽城 224051；2.鹽城工學院 土木工程學院，江蘇 鹽城 224051；3.鹽城工學院 數理學院，江蘇 鹽城 224051）

管道系統是一種重要的載流裝置，在石油化工行業、核工業工程和航空航天工程等領域有廣泛的應用。由于管道系統在工作過程中受外界激勵的影響，其中的流體產生非定常流動，引起管道系統的流-固耦合非線性效應，導致輸流管系統失穩，嚴重時發生爆裂，繼而引發災難性的事故。因此，管道系統的非線性動力學特性研究受到了廣大學者的重視。

1 輸流管道系統的研究現狀

輸流管道系統是非線性系統，需要用非線性動力學分析方法研究[1]。Hosseini 等[2]基于Euler-Bernoulli 梁模型，利用修正的應變梯度理論研究了長度尺度參數、外徑和長徑比對固有頻率和顫振臨界速度的影響。金基鐸等[3]研究了懸臂輸流管道受彈性支承和運動約束作用的穩定性和分岔現象。Mao 等[4]分析了輸流管在3∶1 內共振下的受迫振動響應。Wang 等[5]得到了松散約束中的不同參數對懸臂梁非線性動力學行為的影響。方孟孟等[6]基于Galerkin 法研究了懸臂輸流管系統在基礎激勵與脈沖內流聯合作用下的動力學行為。張宇飛等[7-8]分析了輸送脈動流體的懸臂管道在諧波外力作用下的非線性共振響應、模態相互作用及倍周期和混沌振動，并且通過實驗的方法對基礎激勵作用下懸臂輸流管的動力學行為進行振動測試分析。

本文以懸臂輸流管的非線性動力學系統為討論對象，分析平衡點處穩定條件不滿足時分岔的情況。討論了2 類臨界特征根的情況。分別是2 個零特征值，1 個零特征根和1 對純虛特征根的情況，給出了不同情況下的轉遷曲線及平衡解穩定區域。

2 動力學模型

張宇飛等在文獻[7]中得到了受外激勵及內共振影響的輸流管系統非線性無量綱系統如下

式中：“·”表示對時間t 的偏導數，“′”表示對X 的偏導數各項表達式及系數都可以在文獻[7]中找到。張宇飛等應用攝動分析法及Galerkin 離散法得到平均方程如下

式中：X=[x1，x2，x3，x4]，式（2）中各系數均可在文獻[7]中找到。共振關系為

式中：σ1和σ2是2 個調諧參數。

式（2）在平衡點（x1，x2，x3，x4）=（0，0，0，0）處的Jacobian 矩陣為

由Hurwitz 判據，系統在原點處穩定，當且僅當下列條件成立

條件中不等式同時成立時，矩陣的特征根實部均為負數，否則，若是有1 個不等式不成立，則平衡點不穩定，可能發生分岔。

3 局部分岔分析

下面討論系統在原點附近受參數（δ1，δ2）擾動后的動力學行為，分析特征根為1 個零和1 對純虛數的情況。

選取參數值如下

此時，雅可比矩陣的特征值為λ1=0，λ2，3=±3i，λ4=-2，參數β17，μ 被擾動，變換為：β17=-1+δ1，μ=0+δ2，狀態變量經如下變換

式中：Nfi（i=1…4）見附錄。系統在初始平衡點（y1，y2，y3，y4）=（0，0，0，0）處，參數為零時Jacobian 矩陣為

接下來討論式（11）的平衡點及穩定性。式（11）的Jacobian 矩陣為

式（11）的平衡點有如下情況：①z=r=0 為初始平衡點；②z2=-δ1/4，r=0 為靜態分岔解次Hopf 分岔解二次Hopf 分岔解。

以上平衡解的穩定性條件由Jacobian 矩陣（12）分析得到，對于初始平衡解①，δ1＞0，δ2＞0 時平衡點穩定。記其穩定邊界即轉遷曲線為L1：δ2＝0（δ1＞0），L2：δ1＝0（δ2＞0）；對于靜態分岔解②，δ1＜0 時解存在，δ1＜0 且δ1/4+δ2＞0 時解穩定，則有穩定邊界L2：δ1＝0（δ2＞0），L3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0）；對于一次Hopf 分岔解③，δ2＜0 時解存在，穩定條件為δ2＞0，5δ1＋39δ2＞0，對比得到此解無法穩定，轉遷曲線是L4：5δ1＋39δ2＝0（δ1＞0）；對于二次Hopf 分岔解④，δ1＋4δ2＜0，5δ1＋39δ2＞0 時解存在，50δ1+352δ2＞0 時解穩定，得到穩定邊界為L3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0），L5：50δ1+352δ2＞0。

由上述分析可知系統平衡解的轉遷曲線及穩定區域如圖1 所示，初始平衡解①穩定性區域為I，參數穿過L2分岔出靜態分岔解②，解②的穩定性區域為Ⅱ，參數經過L3時分岔出二次Hopf 分岔解④，區域Ⅲ中，解②不再穩定，解④穩定。

從圖1 的不同區域選取參數（δ1，δ2）驗證理論分析的結果。圖2（a）、2（b）、2（c）是不同參數及不同初始狀態對應的狀態變量x1的時間歷程曲線，圖2（d）是二次Hopf分岔解對應的相軌線在（x1，x2）平面上的投影。首先從平衡解（z，r）＝（0，0）的穩定區域Ⅰ中選?。é?，δ2）=（0.1，0.1），初始狀態為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），如圖2（a）所示，軌線最終收斂到零點；其次，從靜態分岔解（z，r）=（－δ1/4，0）的穩定區域Ⅱ中選取（δ1，δ2）=（-0.1，0.2），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（0.1，0.1，-0.1，0.1），由圖2（b）可見軌線收斂到確定的非零解；最后，從二次Hopf 分岔解的穩定區域Ⅲ中選?。é?，δ2）=（-0.1，0.018），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），由圖2（c）、2（d）可見狀態變量作穩定的周期運動，相軌線收斂到穩定的極限環。

圖1 系統關于參數（δ1，δ2）的轉遷曲線圖

圖2 不同條件下時間歷程曲線及相軌線

4 結論

通過Hurwitz 判據分析了平衡點的穩定性條件。對于特征值為1 個零和1 對純虛根的臨界情況，分析了平衡條件不滿足時，系統的局部分岔行為。參數（μ，β17）受擾后，系統可能會產生4 個平衡解：①z＝r=0；②z2=-（δ1＋4δ2）。其中第三類存在性與穩定性條件沖突，無法實際產生，其他3 個解在相應的穩定區域均可產生，數值分析驗證了理論結果。