“初等數學研究”課堂中數學文化的滲透

張 靜，李澤輝，羅朝陽

（昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100）

“文化”包含了人類在社會歷史的實踐過程中所有的精神創造和物質成果的總和。“數學文化”與數學、文化這兩個概念交叉融合后，成為一種綜合的意識形態。數學文化的學習在加強學生數學學習的使命感、體會數學精神、認識數學本質、提升數學素養等方面有積極的影響。“初等數學研究”作為數學師范生的專業課，旨在讓學生了解初等數學的研究對象，認識初等數學的學科地位和作用，以及用高等數學的理論和觀點看待中小學數學的問題，并應用重要的數學思想方法解決問題。通過對“初等數學研究”教材中涉及的隱性數學文化知識進行提煉與展開，將數學文化元素融入數學課堂教學中，能夠幫助師范生形成較為長久而穩固的數學觀念，充分發揮數學文化的長期教育價值，為培養和造就具有數學文化底蘊的數學預備教師探索有益的途徑。

1 數學文化的內涵及價值

1.1 數學文化的內涵

在世界歷史記載中，古希臘是“數學”一詞的發源地，當時“數學”的含義是“科學”“知識”，而在中國古代則被稱為算術、算學和數學。關于“數學”的定義，數學家們各執一詞，其中具有代表性的說法不下十種，如畢達哥拉斯的“萬物皆數說”、希爾伯特的“符號說”、庫爾的“邏輯說”、克里奇的“集合說”、M.克萊因的“精神說”、波萊爾的“藝術說”等。這些關于數學的定義，多是從數學內涵的角度對其進行界定。隨著對數學本質及其廣泛應用的深入認識，人們越來越認同將數學看作是一種文化。美國數學家懷爾德系統地提出了“數學文化論”，他指出“數學文化”與整個人類文明有著非常重要的聯系，是人類文化的重要組成部分。國內學者中，孫小禮教授最先開啟了對數學文化的探索。對數學文化的定義，國內主要有以下幾類：張奠宙從文學、語言學和美學等角度解釋數學是一種文化現象；黃秦安從系統的角度，將數學文化總結為一個具有強大精神與物質功能的動態系統；鄭毓信認為數學文化是一個屬于數學學科的專有名詞；顧沛將數學文化定義為狹義與廣義兩種。狹義的數學文化是指數學的形成和發展過程與結果，廣義的解釋還包含了數學與人文、歷史、教育、美感的交叉，以及數學與各種文化之間的關系。

綜上所述，數學文化的定義是基于文化視角對數學所做的描述，其本身的應用價值以及對學生學習與成長的積極影響得到了廣大數學教育者的廣泛認同。數學文化深刻凸顯了數學的人性底色，涵蓋了所有數學化的創造物。本文認為，數學文化是由數學發展過程和數學成果所組成的有機整體，主要包含有：數學知識、數學思想方法、數學歷史、數學精神、數學之美的形成與發展，以及數學與人文及各種科學文化之間的相互關系。

1.2 數學文化的教育價值

數學文化的教育意義是隱性卻長遠的。著名物理學家愛因斯坦與日本教育家米山國藏都曾經發表過他們對學校教育的著名言論，即，校內進行的以知識為主的教育對學生的影響是十分短暫而有限的，學生出校門后幾年就忘了以前學過的知識是十分正常的，然而不管他們未來進入哪個行業，不會遺忘的教育對個人發展的影響才是教育真正發揮價值之處。十年樹木，百年樹人。米山國藏認為，數學思想方法和數學精神會長期影響學生的生活和工作。學生在學校期間所學習的數學知識，并不完全是出于以后工作具體使用才學的。在達成考試的功利性目的后，學生通常會很快忘掉數學知識，但學習過程中形成的數學素養會與學生相伴一生。數學素養被認為是一種理性思維，培養數學素養能夠對學生的觀念、精神和思維模式產生潛移默化的影響，同時，數學素養也是21 世紀的青年面對生活、學習、工作所需要的基本素養。在課堂中滲透數學文化，能夠塑造學生堅毅、理性、包容的心理品質，體會數學學科所蘊含的無限美感與奧秘，實現文化育人的教育目標，讓教育影響在學生離開校園后依然發揮“余熱”。

2 “初等數學研究”中滲透數學文化的必要性

我國義務教育階段以及《普通高中數學課程標準2017年版》均明確要求，中小學教師應把數學文化與數學課標中各模塊的教學內容進行有機結合。中小學數學教師在課堂教學中顯示出的數學文化底蘊，與數學師范教育教學中高校課堂對數學文化的充分滲透有直接聯系。數學師范生已經歷過中小學數學知識的積累過程，基本具備了自學和探究數學的能力，往往將學習更多的數學分析、高等代數等知識或苦練教學技能作為重中之重。盡管近年來各大院校紛紛開設了數學史與數學文化課程，但從已有的調查研究結果看，師范生的數學文化底蘊普遍不高，也未對數學文化相關內容的學習產生應有的重視，師范生在數學學習中普遍缺失數學文化的浸潤。數學文化為數學課堂教育帶來了巨大的價值，尤其是其中包含的數學史、數學思想與原理，展示了數學作為人類文明的發生發展過程，體現了數學的人文氣息。在新時代發展和我國新課程標準的必要條件下，將數學文化融入與中小學數學教學密切相關的“初等數學研究”課程教學中，能讓學生在學習數學時體會其中的文化價值，在文化的氛圍中學習，與文化產生共鳴，對培養師范生的數學文化素養具有重大意義。

3 “初等數學研究”中滲透數學文化的策略

3.1 建立文化思想的分析視角，發展學生的理性思維

數學教學過程既要講究推理，也要講明道理，道理中就體現了數學文化底蘊。傳統課程采用的方式是希望學生在繁復的證明與計算中鍛煉出理性思維，然而學生往往只認識到數學枯燥乏味的一面，失去了認識數學本質的機會。引導學生從文化思想的視角分析數學內容，能夠幫助學生理解數學的本質。比如，學生在初中階段已經通過直觀歸納，學習了“對頂角相等”這個簡單的命題，但初等數學研究中關于平面幾何教學的主要目的并不是確保學生掌握了這樣的事實，而是引導學生站在更高的角度去思考為什么。教師若能聯系古希臘和中國古代的政治文化背景，剖析為何古希臘人認為這樣顯然的命題還有證明的必要，而中國古代以算法為主的數學就不會去研究這個定理，不僅能讓學生體會這個定理的理性思維價值，還能為數學課堂帶來文化上的思考與積累。

再如，函數的概念歷史長達兩百多年，學生已經經歷了從初中的“變量說”到高中的“定義說”。對于函數如何發展起來的，以及為什么要叫作函數，學生往往認識比較模糊。事實上，任何數學知識的發展都經歷了曲折的發展過程,函數的不同定義通常在歷史長河的某個時間段共存，新的定義并不意味舊定義的廢棄。了解函數的發展過程，師范生能夠更好地理解目前中小學數學教科書上函數的定義與出現的順序，從而更好地通過歷史的相似性體會到中學生學習過程中可能出現的問題，更深入地把握函數概念的本質。

3.2 構建與其他學科的聯系，滲透數學的思想方法

目前新課程改革著重提出，中小學數學課堂中應注重“通性通法”的教學，而數學思想方法的考察在各省的高考數學說明中也有明確且重要的地位。中小學數學課堂中涉及的數學思想方法有函數與方程、特殊與一般、化歸與轉化等，這些都是課堂教學必須要滲透的內容，但數學教材中往往以知識點作為主線進行編排，學生不容易體悟各種數學思想方法，這就要求教師適當拓展教學內容，幫助學生掌握數學思想方法。

在初等數學研究的課堂教學實踐中，如果教師能夠從文化的角度，選取典型問題進行剖析，就能幫助學生更好地領悟數學思想方法，并清晰認識各種方法的合理性，引導學生從學會走向會學。比如，早在歐幾里得時代，古代學者就建立了數學的公理化思想。基于幾個必要的命題和概念，由明確的定義與邏輯推理建立起演繹體系，公理化被認為是整理和表述各種理論體系的最佳形式。在介紹公理化思想的同時，應該讓學生了解公理化思想產生的巨大價值。目前公理化思想的應用早已不再局限于自然科學，如杰文斯的《政治經濟學理論》、斯賓諾莎的《倫理學》等著作就能體現公理化在經濟學、政治學和倫理學等多方面都得到了廣泛應用。數學家希爾伯特的名言“一個理論的建立一旦成熟時，就開始服從于公理化的方法”，各領域的學者都在試圖建立公理化的理論體系，這充分體現了數學文化中的公理化思想在人類文明中的重要地位。構建跨學科聯系，能拓寬學生視野，培養學生在其他學科中體會和應用數學思想方法，讓學生在人文藝術、生活實踐等各個方面發現數學、應用數學。

又如，斐波那契數列是一種典型的遞歸描述。遞歸的思想在初等數學研究中可以聯系計算機技術中的遞歸策略。在目前大數據與人工智能的發展熱潮中，計算機技術與數學教學密不可分，教師可以結合編程與算法的相關教學內容，演示計算機程序中的遞歸，展示少量的代碼將復雜問題所需的多次重復計算過程進行反復調用，讓學生深入體會遞歸思想以及數學思想方法的簡捷性。通過介紹相關的數學與其他學科的交叉應用，學生不僅能夠從多方面領悟數學思想方法的指導意義，還容易理解這樣選擇思想方法的原因，體現數學文化的深刻價值。

3.3 發揮數學史的德育價值，體現數學的精神實質

數學的概念、定理、公式等往往具有歷史性，在發展的過程中蘊含了數學的人性特征，根據教學內容的編排順序以及數學的歷史發展順序，發揮數學史的德育價值，引導學生從人性的視角審視學習內容，有助于學生理解數學精神。首先，教師可以介紹數學家艱辛的研究過程，在史實記載的基礎上，突出數學家對于真理的執著追求，呈現數學家高尚的人格品質。將數學史知識融入教學時，教師還應注重渲染課堂的文化感染力，通過一些數學家的趣聞軼事、說過的名言警句以及后世對其的精彩評價，使教學內容獨具文化底蘊。例如，我國數學家華羅庚先生年輕時生病落下殘疾，走路時一條腿只能畫圈向前邁步，但是他一直保持著樂觀向上的積極態度，還時常戲稱自己走路是“切線與圓的運動”。數學化的幽默語言與歷史人物結合，賦予了數學家立體生動的形象，趣味之下顯露學者風范。其次，可以選擇世界數學史中影響深遠的數學事件。比如，在進行勾股定理的教學時，教師可以從展示2002 年國際數學家大會會標來引入課題，并從數學史系列事件角度加以展開，從考古學家發現古巴比倫的泥版上的勾股數，到我國古代的“商高定理”，再將古希臘畢達哥拉斯的證明與趙爽的證明等各種方法進行對比，可以從歷史發展的角度逐漸將勾股定理與余弦定理聯系起來，還可以介紹“費馬大定理”是如何證明的這一重大數學事件。全世界數學家們前仆后繼、執著探索數學問題的過程，對于師范生可以起到榜樣引領和激勵作用。在數學史素材的選擇上，教師還可以突出我國數學的優秀成果。在世界數學的發展史上，中國數學家的卓越貢獻是不可否認的，然而在目前師范生的數學課程中并未得到充分體現，學生對本國的數學成就一知半解，因此教師可以在相關內容的學習中適當強調。例如在初等代數的教學中，教師可以介紹大約三千年前，古代中國人就知道了自然數的四則運算。從公元前3世紀開始，中國在古代數學方面領先于其他國家與地區，到了宋元時期，中國古代數學進入發展的頂峰，在方程論、數論等多方面的成就達到了新高度。這些材料可讓學生看到我們國家和民族在世界數學史上曾取得的偉大成就，從而激發他們的民族自信心與使命感。數學史實展現了人類文明的特征，相比于枯燥的知識學習，更能激發學生傳承數學文化的責任感，同時也有助于學生拓寬視野、領會精神，對未來的準教師具有深遠的意義。