“導(dǎo)問式”數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索*
——以“函數(shù)的單調(diào)性”概念教學(xué)為例

蔣智東

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)以問題為載體、以導(dǎo)問為手段，繼承了“以問題為中心”教學(xué)的合理內(nèi)核，汲取了“問題驅(qū)動(dòng)”“問題引導(dǎo)”等教學(xué)方法中“導(dǎo)”的做法，注重師生共同提出問題、共同解決問題，是值得深入探索、積極實(shí)踐的教學(xué)方法。

一、“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)模式概述

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)中的“導(dǎo)”指以教師為主導(dǎo)，學(xué)生因知識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力等的限制，需要教師的引導(dǎo)和幫助；“問”指學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，讓學(xué)生自覺產(chǎn)生問題，主動(dòng)探究問題、解答問題，主動(dòng)拓展并深化自己的認(rèn)識(shí)。

在教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地運(yùn)用學(xué)習(xí)資源，自主探索、相互協(xié)作，在完成既定問題的同時(shí)發(fā)現(xiàn)并提出新的問題。教師將所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)“隱藏”在一個(gè)或幾個(gè)問題之中，學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析討論，在教師的指導(dǎo)幫助下找出解決的方法，形成新的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力以及獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

二、“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)模式下的概念教學(xué)實(shí)踐

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)是用問題來推動(dòng)教學(xué)的。下面，筆者以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章第三節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”的概念教學(xué)為例，探討“導(dǎo)問式”概念教學(xué)的基本途徑和策略。

1.情境引入

師：圖1是某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，氣溫θ是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。觀察這個(gè)氣溫變化圖，說出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐漸升高或下降的。

（圖1）

（學(xué)生自主討論）

師：自變量變化時(shí)，函數(shù)值隨之變大或變小，我們把這種現(xiàn)象稱為“函數(shù)的單調(diào)性”。初中我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性就有了一定的認(rèn)識(shí)，今天我們一起來建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生感興趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生閱讀、提取圖中信息，啟發(fā)學(xué)生思考。學(xué)生通過交流，體會(huì)到函數(shù)值隨自變量的變化而變化。情境的創(chuàng)設(shè)是否合適是學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的強(qiáng)弱，也關(guān)系到課堂教學(xué)的效益。

2.借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=的圖象，觀察自變量變化時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律。

（學(xué)生畫圖并觀察、交流）

生1：第一個(gè)函數(shù)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)函數(shù)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。

師：自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這樣的變化規(guī)律，我們分別稱之為增函數(shù)和減函數(shù)。

生2：函數(shù)y=x2的圖象在區(qū)間（-∞，0］上從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小；在區(qū)間［0，+∞）上從左到右逐漸上升，y隨x的增大而增大。所以函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0］上是減函數(shù)，在區(qū)間［0，+∞）上是增函數(shù)。

生3：函數(shù)y=在區(qū)間（-∞，0］和［0，+∞）上都是減函數(shù)。

師：完全正確，函數(shù)的上升與下降要分區(qū)間說明。

問題2：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)的教學(xué)從學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，形成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一階段認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)例題引導(dǎo)學(xué)生討論，明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。隨后引導(dǎo)學(xué)生類比減函數(shù)的定義，用自己的語言逐步對(duì)增函數(shù)定義進(jìn)行描述，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性形成直觀、描述性的認(rèn)識(shí)。

3.探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)

問題3：圖2是函數(shù)y=x+(x＞0)的圖象，同學(xué)們能說出函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)間為減函數(shù)嗎？

生4：這個(gè)函數(shù)先減后增，但好像看不出增區(qū)間和減區(qū)間分界點(diǎn)的數(shù)值是多少。

（圖2）

問題4：怎樣從解析式的角度說明f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞）上為增函數(shù)？

師：（教師用幾何畫板進(jìn)行演示）從函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［0，+∞）內(nèi)的圖象上任意選取兩個(gè)點(diǎn)（分別標(biāo)記為M點(diǎn)和N點(diǎn)），度量出這兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，請(qǐng)同學(xué)們觀察并比較這兩個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的大小關(guān)系。

生5：只要有xM＜xN，就有f（xM）＜f（xN），也就是說在區(qū)間［0，+∞）上，當(dāng)自變量x從xM逐漸增大到xN時(shí)，函數(shù)值f（x）從f（xM）逐漸增大到f（xN）。

Thomas A Setwart （2003）［10］指出戰(zhàn)略柔性較強(qiáng)的企業(yè)能夠迅速解決生產(chǎn)所面臨的資源使用問題。企業(yè)可以用較短的時(shí)間獲取生產(chǎn)所需的資源，將這些資源投入到新產(chǎn)品的研發(fā)和生產(chǎn)中，或者利用現(xiàn)有資源生產(chǎn)出新產(chǎn)品，可以為企業(yè)節(jié)省資源從一種用途轉(zhuǎn)換到另一種用途的成本。

師：為了更簡(jiǎn)潔地表達(dá)，我們可以將xM和xN改為x1和x2。請(qǐng)同學(xué)們思考怎樣表述函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞）上為增函數(shù)。

生6：對(duì)任意的兩個(gè)自變量x1，x2∈［0，+∞），當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2）。

【設(shè)計(jì)意圖】上述系列問題具有層次性和遞進(jìn)性，教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)。通過問題的深入，既揭示了函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩個(gè)自變量的取值具有任意性，要依據(jù)兩個(gè)自變量的大小來比較對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小。事實(shí)上，這也給出了證明函數(shù)單調(diào)性的方法，為后續(xù)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊。至此，把學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度，完成對(duì)概念的第二階段的認(rèn)識(shí)。

4.抽象思維，形成概念

問題5：這個(gè)結(jié)論也適用于研究其他函數(shù)的特征嗎？請(qǐng)同學(xué)們給函數(shù)單調(diào)遞增的性質(zhì)下一個(gè)定義。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生思考交流并給出定義，教師指導(dǎo)學(xué)生類比給函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)下定義。此教學(xué)環(huán)節(jié)使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知過程，完成對(duì)概念的第三階段的認(rèn)識(shí)。

5.概念的辨析

問題6：對(duì)于函數(shù)單調(diào)性定義中的“任意”兩字，是否可以換作“無數(shù)”？

【設(shè)計(jì)意圖】這些問題是為了幫助學(xué)生加深對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步明確函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)在其定義域子區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)局部的性質(zhì)。

6.概念的應(yīng)用

問題8：物理學(xué)中的玻意耳定律p=k/V（k為常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明此定律。

問題9：根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)概念的應(yīng)用也是概念理解的重要組成部分，此環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的知識(shí)來研究物理問題，是數(shù)學(xué)知識(shí)在具體情境中的應(yīng)用。問題9中的證明是對(duì)定義的回歸和強(qiáng)化。

三、“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)模式的基本特征

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)模式以問題形式展開教學(xué)，用遞進(jìn)式問題及其解決來建構(gòu)知識(shí)，讓學(xué)生自覺、主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題。在問題的形成與解決過程中，“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)使學(xué)習(xí)變得有深度、有廣度、有高度。

1.“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)是有深度的教學(xué)

在合理的問題串的引導(dǎo)下，學(xué)生能深度學(xué)習(xí)，真正獨(dú)立思考，相互啟發(fā)。因此，“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)是有深度的教學(xué)。一方面，問題能引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激起思辨。上述教學(xué)中，問題3是學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性從圖形直觀到定量描述的關(guān)鍵，具有啟發(fā)性，為新概念的形成做好鋪墊。另一方面，問題能將學(xué)生的思維引向深刻。問題4立足于研究具體函數(shù)的特征，引導(dǎo)學(xué)生從圖象直觀的特點(diǎn)入手，逐步將其轉(zhuǎn)換為文字語言和數(shù)學(xué)語言。

2.“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)是有廣度的教學(xué)

課堂教學(xué)的廣度是指課堂教學(xué)橫向的容量與范圍。本節(jié)課教學(xué)的廣度，一方面是對(duì)函數(shù)單調(diào)性從初中到高中認(rèn)識(shí)上的跨越。教師設(shè)計(jì)問題串，通過導(dǎo)問引導(dǎo)學(xué)生完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí)，構(gòu)建起對(duì)概念的科學(xué)表述。另一方面，函數(shù)單調(diào)性概念符號(hào)化表示進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)符號(hào)f（x）的認(rèn)識(shí)。在上述教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生形式化地描述函數(shù)值隨自變量的變化而變化的趨勢(shì)，為接下來對(duì)函數(shù)奇偶性和周期性的學(xué)習(xí)做鋪墊，進(jìn)一步增強(qiáng)和完善學(xué)生對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)性以及符號(hào)f（x）的認(rèn)識(shí)和理解。

3.“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)是有高度的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的最高目標(biāo)是培養(yǎng)人，人的成長(zhǎng)和發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的真正落腳點(diǎn)。我們要站在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高度來看待教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式。在上述函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)中，通過導(dǎo)問，師生在合作探究的基礎(chǔ)上用字母代替具體數(shù)字，實(shí)現(xiàn)了“有限”到“無限”的轉(zhuǎn)化。這是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。

四、“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)模式的實(shí)施策略

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)需要教師關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異和獨(dú)特的學(xué)習(xí)需求，為學(xué)生提供熟悉的問題情境，使學(xué)生能夠從教師設(shè)計(jì)的問題中找到解決問題的方法，進(jìn)而學(xué)會(huì)看書、學(xué)會(huì)自學(xué)，提高學(xué)習(xí)能力。

1.優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)問題意識(shí)

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)把學(xué)習(xí)設(shè)置到有意義的問題情境中。教師通過理解教材、理解學(xué)生、理解教法，在知識(shí)形成的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在知識(shí)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”“發(fā)展點(diǎn)”上，在解決問題的思想方法的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，設(shè)計(jì)出隱含數(shù)學(xué)問題并且對(duì)學(xué)生思維有適度啟發(fā)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，用數(shù)學(xué)的眼光看待問題情境，進(jìn)而主動(dòng)思考提出問題。

2.梯度設(shè)計(jì)問題，深化探究過程

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)主要是通過問題來進(jìn)行“導(dǎo)”和“問”，調(diào)控學(xué)生的學(xué)習(xí)方向和內(nèi)容來保證學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性和系統(tǒng)性。知識(shí)要以問題的形式呈現(xiàn)，問題既是思維的起點(diǎn)，又是思維的動(dòng)力，其設(shè)計(jì)要順應(yīng)“導(dǎo)”和“問”，根據(jù)學(xué)生的“現(xiàn)有水平”與“潛在發(fā)展水平”，尋找“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生向潛在的、更高的水平發(fā)展。

3.師生合作互動(dòng)，促進(jìn)問題解決

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)中教師要進(jìn)行有效的、富有創(chuàng)新性的“導(dǎo)”和“問”，成為學(xué)生選擇、組織和加工知識(shí)的引導(dǎo)者和幫助者。師生之間應(yīng)建構(gòu)相互合作、相互促進(jìn)的學(xué)習(xí)研究共同體。

4.尊重個(gè)性思維，提升質(zhì)疑能力

“導(dǎo)問式”課堂教學(xué)中，教師要善于給學(xué)生留出發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自由想象。要善于把學(xué)生的個(gè)性化差異作為一種教學(xué)資源來開發(fā)，圍繞問題解決，讓學(xué)生大膽質(zhì)疑，在不斷產(chǎn)生疑問、不斷解決疑問的螺旋式上升過程中培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和問題意識(shí)。

總之，作為教師要重視問題教學(xué)，在“導(dǎo)問式”教學(xué)模式引領(lǐng)下，在教學(xué)中努力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和能力，促使其逐步形成創(chuàng)造精神和創(chuàng)造能力。