剖析中考錯解 實現思維分享*
——2021年廣州市中考數學第22題的錯解分析及糾錯策略

張河源

(廣東省廣州市增城區教師發展中心，511300)

錯解是學生學習過程中十分寶貴的資料,也是教師教學過程中有效的教學資源.教師利用好錯解資源，仔細分析錯因，就能既幫助學生根治病癥，又有助于教師自己提高教學水平.筆者利用閱卷之便，全面收集與分析廣州2021年中考數學第22題的典型錯解,進行歸因分析，樂與同行分享．

一、原題呈現

如圖1,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,點E是AC的中點,且AC=AD.

(1)尺規作圖:作∠CAD的平分線AF,交CD于點F,連結EF,BF;

(保留作圖痕跡,不寫作法.)

(2)在(1)所作的圖中,若∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,求證:?BEF為等邊三角形.

二、簡解

(1)圖2為所求作的圖形.

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°, ∠BAC=15°.

∵AC=AD,A

F是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,∠AFC=90°.

∴∠BAF=30°.

∵∠AFC=90°,∠ABC=90°,

∴∠AFC+∠ABC=180°,

∴點B,A,F,C四點共圓,AC為直徑.

∴EF=EB,∠BEF=2∠BAF=2×30°=60°,

∴?BEF為等邊三角形.

三、 典型錯誤與分析

第(1)問尺規作圖,比較簡單,學生作答較好.主要錯誤出現在第(2)問,筆者調閱試卷，發現主要有以下五種典型錯解．

錯解1(2)證明:∵∠BAD=45°,∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°， ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°,

∴EB=EF.

錯因分析學生對“點到直線的距離”理解出錯,誤把“EB，EF”當成“∠BAC的平分線一點E到∠BAC的兩邊AB，AF的距離”,導致出現錯誤結論“EB=EF”．

錯解2

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°， ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°,

∴AC是∠BAC的角平分線.

∵∠ABC=90°,∴CB=CF.

錯因分析學生對“角平分線的性質定理”理解出現偏差,誤把一個平分“AC是∠BAC的角平分線”和一個垂直“∠ABC=90°”當成“角平分線性質定理中的兩條件一平分兩垂直”,導致出現錯誤結論“CB=CF”．

錯解3

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°, ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°.

在 Rt?ABC中,點E為AC的中點，

∴以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,

∴點B，A，F，C四點共圓.

∴EB=EF,∠BEF=2∠BAF=2×(∠BAC+∠CAF)=2×30°=60°.

∴?BEF為等邊三角形.

錯解4

(2)∵∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,

再由∠CAD+∠BAC=∠BAD,

得∠BAC=15°,∠CAD=30°.

∵∠ABC=90°,點E是AC的中點,

∴∠ABE=∠BAE=15°.

在?ABE中,

∠BEC=∠ABE+∠BAE=30°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴CF=DF,即F為CD中點.

∵點E是AC的中點,

∴∠EFA=∠FAD=15°.

∵AB=AF，

=75°，

∴∠EFB=∠AFB-∠EFA=60°.

∴EF=BE.

∴?BEF為等邊三角形.

錯解5

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30° ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°.

在?ACF和?ADF中，

∴?ACF≌?ADF，

∴∠AFC=∠AFD=90°，

∴AF⊥CD.

在?ABC和?AFC中，

∴?ABC≌?AFC，

∴BC=FC，AB=AF，

∴AC是BF的垂直平分線，

∴EB=EF.

四、干預錯誤發生的應對策略

出錯不可怕,重復出錯才可怕．為避免學生在類似的數學問題上再出錯誤,教師務必深入剖析數學易錯點出錯的成因,抓住問題的癥結,采取有效的教學手段提前干預．針對廣州市中考21題出現的五種典型錯誤及其原因,我們提出提前干預錯誤發生的應對策略建議．

針對錯誤1,建議注重數學概念的教學

數學思維形式的判斷與推理是以定理、法則、公式的方式表現出來,而數學概念則是基礎．正確地理解并靈活運用數學概念,是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提．數學概念教學應鼓勵學生經歷觀察、操作、想象、推理、表達等思維活動．

例如,教師在教學“點到直線的距離”.

首先,讓學生畫一條直線l與直線l的一點P,連結點P與直線l上各點O，A1，A2，A3….其中PO⊥l(如圖3).

其次,讓學生比較線段PO,PA1,PA2,PA3…的長短,并問學生,這些線段中,哪一條最長?哪一條最短?讓學生充分感受知識的生成．

再次,讓學生給出概念“直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離”,強調關鍵詞“垂直的線段”,讓學生識圖,畫圖,辯圖,在畫圖中理解線段與線段的數量關系與位置關系,增強對圖形的觀察能力和鑒賞能力,培養學生幾何直觀的素養．

最后,給出其性質“垂線段最短”．

針對錯誤2，3,建議注重幾何定理的教學

幾何定理是證明過程的基本單位與邏輯推理的依據,教師在教學中可采用“自主探究法”．

如教師教學“角的平分線的性質定理”.

首先讓學生畫出∠AOB的平分線OC,在OC上任取一點P,過點P畫出OA，OB的垂線,分別記垂足為D，E,測量PD，PE并作比較,得到什么結論?在OC上再取幾個點試一試,通過以上測量,你發現了角的平分線的什么性質?讓學生猜想角的平分線的性質,寫出命題“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”．

其次,讓學生找出命題的題設與結論,題設用直線標識,結論則波浪線標識,并突出本質部分“角的平分線上的點到這個角兩邊的距離”,根據題設與結論寫出“已知”和“求證”,并要求學生自主探究命題的證明過程,堂上分享．

再次,讓學生用幾何語言寫出定理的內容.

∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB，

∴PD=PE.

教師強調定理的條件是“一平分兩垂直”,結論為“一相等”,尤其是“垂直”,為此教師可以設置一些反例讓學生辯識,達到較佳效果．

最后,用類似的方法讓學生“自主探究”定理的逆定理“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”,進一步體驗定理與逆定理的學習過程,加深定理之間的區別與聯系．

又如，教師在教學“三角形外接圓”.

首先,給學生思考“經過不在同一條直線上的三個點A，B，C能不能作圓,如果能,可以作出符合條件的圓有多少個?如何確定所作圓的圓心與半徑?如果不能,說明理由．”讓學生自主探索,然后小組交流,展示探究成果．

其次,教師利用幾何畫板,畫出經過已知點A，B，C的圓,講清畫圖原理“因為所求的圓要經過A，B，C三點,所以圓心到這三個點的距離必須要相等,根據線段的垂直平分線的性質定理可以得到,這個圓心必須在線段AB的垂直平分線上,又要在線段BC的垂直平分線上”．然后由學生動手畫圖,并呈現畫圖的步驟．

再次,師生互動交流后一致得出定理“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”．進而得出任意一個三角形都有外接圓．

最后,把結論“任意一個三角形都有外接圓”拓展,請問“任意一個四邊形是否都有一個外接圓?”讓學生自主探究、動手操作、猜想,辯論,學生暢所欲言,教師利用幾何畫板對學生的結論進行一一驗證,去偽存真,形成一致結論“只有對角互補的四邊形才有其外接圓”．

針對錯誤4，5,建議注重數學邏輯推理的訓練

有的學生在推理過程中,常常會出現跳步、條理不清、推理不順等.教師平時的教學中要重視學生邏輯推理能力的訓練及空間想象能力的培養．