基于預編碼聯合壓擴算法降低GFDM系統PAPR的研究

谷玉婷，劉春剛*，田欣欣，譚 暢，王 鋼，楊珊珊

(1.河北師范大學中燃工學院，河北 石家莊 050024；2.哈爾濱工業大學 電子信息工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

隨著第五代移動通信系統在全國范圍內的普及推廣[1]，廣義頻分復用 (Generalized Frequency Division Multiplex,GFDM)滿足未來多載波調制技術的要求[2-3]，將GFDM技術應用于衛星通信系統，其具有傳輸干擾低、帶外輻射小和頻譜效率高等優點，已經得到了廣泛的重視以及大量的深入研究。 但是，GFDM多載波系統為塊狀調制，在傳輸過程中某一時刻可能會出現相位一致導致峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)過高[4]。由于較高的PAPR通過功率放大器時會產生嚴重的信號非線性失真，GFDM系統的誤碼率(Bit Error Rate,BER)性能會更加惡化，PAPR過高對功率放大器的設計會有較高的限定要求；另外，采用動態范圍大的功率放大器通常需要較高的成本，嚴重影響了系統傳輸性能以及日益復雜的通信需求，因此采取一系列措施降低GFDM系統的高PAPR成為重中之重。

現有的降低PAPR技術可分為信號預畸變和信號非畸變2類。信號預畸變類包括限幅法[5]、線性壓擴算法[6]和非線性壓擴算法[7]等；信號非畸變類包括預編碼算法[8]、選擇映射SLM法[9]和部分序列傳輸PTS法[10]等。以上算法中，預編碼算法聯合非線性壓擴算法具有一定的優勢，能夠在抑制PAPR性能和系統BER之間取得折衷。

預編碼類技術通過在發送端對原始數據序列進行預編碼矩陣乘法變換，不需要傳輸額外信息，再進行GFDM調制，在接收端通過解預編碼矩陣解調出數據，通過降低信號之間的非周期自相關性使得系統PAPR得到抑制，此方法不會產生嚴重的信號失真，具有良好的應用背景[11]。文獻[12]提出利用BIDFT和DFT的預編碼方案均能顯著降低PAPR。文獻[13]提出的利用WFRFT預編碼變換降低GFDM系統的PAPR具有顯著效果。

非線性壓擴算法屬于信號畸變的一種,其思路為通過對壓擴后信號樣點的幅度滿足的概率密度函數(Probability Density Function，PDF)進行函數變換。文獻[14]對壓擴后信號的PDF采用半sin函數定義，只改變輸入信號的幅度，不改變相位。文獻[15]壓擴后對小幅度信號PDF不做處理，對大幅度信號PDF采用三角函數定義進行壓縮。文獻[16]對于小幅度信號在原始PDF的基礎上適當地縮放，然后將縮放后的PDF在拐點處的切線作為大幅度信號PDF的線性分布。

為了更好地抑制GFDM系統PAPR性能并對系統BER產生較小的影響，本文把預編碼類技術和壓擴類技術相結合，提出了一種基于DHT預編碼矩陣的Cos分布非線性壓擴抑制PAPR的聯合方法——DHT-CosNC (Discrete Hartley Transform Precoding-Cos Nonlinear Companding)。該方法通過DHT預編碼方法和Cos壓擴函數實現信號非周期自相關性的調整以及信號幅度的改變以抑制其PAPR。仿真結果表明,本文算法能達到更優的PAPR抑制效果且對系統BER性能影響較小。

1 GFDM系統性能分析

1.1 GFDM系統模型

GFDM多載波系統模型如圖1所示。

圖1 GFDM系統模型Fig.1 GFDM system model

二進制序列b經過信道編碼后，通過QPSK調制，完成相應的星座映射。由于GFDM復數據符號采用塊狀方式調制，將編碼數據映射到包含N個元素的數據塊，分解為K個子載波，每個子載波有M個子符號，即總共符號數為N=KM,得到一個由復數據符號組成的序列S=(S0,S1,…,Sk,…,SK-1)Τ，k∈[0,K-1]。上采樣因子為L，sk,m表示第k個子載波m個子符號中傳輸的數據，則經過串并(S/P)變換后可以得到時-頻二維GFDM數據矩陣S為：S=(S0,S1,…,SK-1)Τ，即：

(1)

在GFDM調制過程中，每個復數據符號sk,m在發送前都需要用各自循環脈沖成形濾波器進行時域成型濾波和頻域上變頻變換，被各自子載波的中心頻率調制再疊加得到發送信號s[n]，添加CP，最后將數據傳入信道進行發送[17]。這樣,GFDM發送信號:

(2)

gk,m[n]=g[(n-mK)modN]e-j2πnk/K，

(3)

式中，gk,m[n]為原型濾波器g[n]在時頻域上的移位形式，n為采樣索引；modN為以N為周期的循環移位；e-j2πnk/K為在頻域上的移位操作。

1.2 PAPR性能分析

一個完整的GFDM信號是M個符號上各個載波上的信號疊加在一起的信號。通常情況下，在傳輸過程中，多個子載波隨機疊加后發送會產生較大的PAPR。GFDM是一個多載波系統，當N個子信號都以相同的相位求和時，所得到的信號的峰值最大功率是平均功率的N倍，則PAPR可以表示為：PAPR=10lgN，當N不斷增加時，PAPR的值也會呈現線性增長趨勢。

在GFDM系統中,信號的PAPR定義為這個數據塊內信號峰值功率與數據塊內所有采樣點功率的平均值的比，表示為：

(4)

式中，Ppeak為GFDM信號峰值最大功率；Paverage為GFDM信號平均功率。

分析GFDM基帶輸出信號的歸一化瞬時功率，由式(2)可得：

p[n]=s[n]s*[n]=

n=0,1,…,N-1,m=0,1,…，M-1，

(5)

(6)

式中，qm(k1,k2)為同一時隙不同載波間符號的非周期自相關函數。將式(6)代入式(5)得到：

(7)

從式(7)可以得出，GFDM信號瞬時歸一化功率與濾波器的歸一化功率和同一時隙不同載波間符號的自相關性密切相關。本文從降低不同載波間符號的自相關性入手來降低系統的瞬時功率，輸入信號的非周期自相關函數的值相加之和越小，輸出信號的功率最大值也就越小。因此，本文采用預編碼矩陣的正交性來降低符號間非周期自相關函數，從而降低GFDM信號的瞬時功率，使系統的PAPR得到一定程度上的抑制。

通常，采用互補累積分布函數(CCDF)來衡量降低PAPR方法的有效性，CCDF定義為PAPR超過一個給定的閾值ξ0的概率，即：

CCDFxn(ξ0)=Pr(PAPRxn>ξ0)=

1-(1-e-ξ0)N。

(8)

因此，通過預編碼器Hm降低符號間的自相關性，從而降低子載波相位一致的概率，就可以達到降低PAPR的效果。

2 DHT預編碼技術降低PAPR原理及算法

在基于預編碼矩陣的GFDM系統中，經過驗證，離散哈特利變換預編碼矩陣(DHT-Precoding)是目前一種較好的正交預編碼矩陣，其對各時隙傳輸的復數據序列進行預編碼處理，降低各符號之間的周期自相關性，能夠有效地降低GFDM信號的瞬時功率，從而抑制系統的PAPR性能。在接收端，可以通過預編碼矩陣的逆運算重建初始數據，并且不會對系統的BER性能造成影響。其變換是一種基于實數域的可逆的線性映射，H:X(n)→Y(n)，X(n)為DHT預編碼變換前的實數數據，Y(n)為DHT預編碼變換后的實數數據。

X(n)的離散哈特利變換可以表示為：

(9)

式中，n=0,1,…,N-1；casθ=cosθ+sinθ。

DHT的可逆矩陣表示為：

(10)

離散哈特利變換矩陣H={hm,n}M×M中的元素為：

(11)

式中，hm,n為DHT矩陣中的第m行第n列元素。

為保證DHT預編碼后信號平均功率不變，DHT預編碼矩陣是歸一化矩陣，表示為：

(12)

經過預編碼器對復數據符號進行預編碼處理得到新的符號數據，表示為：

(13)

通過DHT預編碼變換后的信號經過GFDM調制得到的時域信號表達式為：

(14)

最后，接收端通過預編碼的逆矩陣對其進行解碼即可還原原始的數據塊數據：

(15)

3 提出的2種降低PAPR原理及算法

3.1 Cos分布非線性壓擴算法

為了更好地抑制GFDM系統的PAPR性能，且不產生較大的信號失真，在原有壓擴算法的基礎上提出了一種Cos分布非線性壓擴函數。此方法通過定義壓擴后新的信號幅度分布特定的概率分布，反向推導出相應壓擴函數的形式。為了降低復雜度和方便反向推導壓擴函數，定義PDF為連續可導函數。在計算壓擴函數時只關注壓擴后信號的分布特性，并且壓擴后GFDM信號采樣點的幅度滿足的PDF有較低的PAPR。Cos函數作為壓擴后信號概率密度分布函數的方法，只對信號的幅度進行變換，保持其相位不變。本文通過對壓擴后信號的PDF進行橫縱坐標尺度的縮放和平移,表示為：

(16)

式中，xc[n]為壓擴信號；N,k,w為函數變量。

需要滿足的條件為：

根據PDF的性質：

隨著系統子載波K的不斷增加，根據中心極限定理和高斯分布的性質，可得壓擴前|x[n]|幅值的PDF為：

(17)

F|xc[n]|(x)=Pr(|xc[n]|≤x)=

(18)

為了保證壓擴前后GFDM發射信號在每個GFDM信號塊上的平均功率保持不變，表示為：

E(|xc[n]|2)=E(|x[n]|2)=

(19)

即：

(20)

經過多次計算得到：

(21)

假設壓擴函數是遞增函數：

F|x[n]|(x)=Pr{|x[n]|≤x}=

Pr{|xc[n]|≤c(x)}=F|xc[n]|(c(x))，

(22)

經過計算求解，則壓擴函數為：

(23)

由式(23)得到壓擴函數的計算式為：

(24)

壓擴變換后GFDM系統傳輸信號可以表示為：

(25)

在接收端，通過計算可以求得反壓擴函數，通過反壓擴函數對復數據進行解壓擴，其反壓擴函數為：

(26)

根據式(21)可知，k參數可由w計算得到。因此，通過適當調整參數w，可以更好地降低大幅值信號出現的概率，實現不同程度的PAPR降低和誤碼率性能之間的有效折衷。

3.2 DHT預編碼聯合Cos分布非線性壓擴算法

為了達到更優的PAPR抑制效果且不增加系統實現的復雜度，圖2給出了基于DHT預編碼技術和Cos分布非線性壓擴聯合算法的系統模型，并作為混合技術應用于GFDM系統來降低PAPR。在GFDM發射機的頻域采用DHT預編碼算法，利用矩陣正交性破壞載波間的自相關性，抑制效果相對差一些，但是幾乎不影響系統的誤碼率；在時域采用Cos函數壓擴的算法，使得PAPR抑制效果更明顯。采用頻域DHT預編碼和時域Cos壓擴聯合算法，抑制效果會更加明顯，且對系統誤碼率影響不大，實現了二者的折衷效果。

圖2 降低系統PAPR流程Fig.2 Flowchart of reducing system PAPR

實現步驟為：

① 首先通過輸入的二進制數據流經過 QPSK 星座映射和串并轉換后，通過預編碼器在數據發送端對數據預編碼處理，破壞數據間的自相關性，最后進入GFDM調制。

② 對GFDM調制出的數據進行并串轉換，通過Cos函數非線性壓擴算法對數據進行壓擴，對壓擴后的數據加上CP傳入信道發送數據。

③ 對接收的數據去CP，利用推導出的Cos非線性反壓擴函數解出數據，對數據進行串并變換后進行GFDM解調。

④ 在已知預編碼矩陣時不需要傳輸額外信息，將GFDM解調出的數據送入解預編碼器，通過計算預編碼的逆矩陣解調數據，進行并串變換,QPSK星座解調，最后解調出二進制數據。

從理論上分析，本方法基于預編碼變換聯合Cos非線性壓擴算法能夠達到更優的PAPR抑制效果。

4 仿真實驗結果與分析

通過Matlab仿真對本文所提出的基于DHT預編碼矩陣的Cos分布非線性壓擴技術抑制PAPR的方法理論進行仿真驗證。仿真參數設置如表1所示。

表1 GFDM系統仿真參數Tab.1 GFDM system simulation parameters

可以通過調整本方案中的PAPR來獲得期望的PAPR降抑制水平。DHT-Cos聯合算法和其他算法的PAPR性能比較如圖3所示。

圖3 DHT-Cos聯合算法和其他算法的PAPR性能比較Fig.3 PAPR performance comparison between DHT-Cos joint algorithm and other algorithms

由圖3可以看出，當w不斷增大時，本文提出的方法將獲得更顯著的PAPR抑制效果。因為w的增加會使參數N增加而w/k減少，所以大幅度信號出現的概率會降低。當CCDF=10-3時，本文提出的DHT預編碼矩陣的Cos分布非線性壓擴技術(w=4)提供了最顯著的PAPR抑制效果，比其他方法性能更優。

在4PSK下GFDM信號與采用DHT-Cos壓擴后信號的PAPR的比較如圖4所示，取50個符號。由圖4可以看出，GFDM信號的PAPR數值較大，且數值變化較明顯，經過 DHT-Cos聯合算法后，PAPR比原始GFDM信號的數值降低了7.43 dB左右，且在趨于一定的數值內變化。本文提出的聯合算法在降低PAPR方面效果是顯著的。

圖4 GFDM信號與采用 DHT-Cos聯合算法后信號的PAPR值的比較Fig.4 Comparison of PAPR value between GFDM signal and signal using DHT-Cos joint algorithm

在提高PAPR性能的同時也要兼顧系統BER性能， DHT-Cos聯合算法和其他算法在AWGN信道上的誤碼率性能的比較如圖5所示。

圖5 DHT-Cos聯合算法和其他算法在AWGN信道上BER性能比較Fig.5 Comparison of BER performance between DHT-Cos joint algorithm and other algorithms in AWGN channel

由圖5可以看出，當SNR較小時,Cos分布非線性壓擴(w為3,4)和DHT-Cos聯合算法(w為3,4)比DHT預編碼略差些，因為DHT預編碼矩陣是正交矩陣，在AWGN下的BER性能和原始GFDM信號大致相同。在BER=10-4時，DHT-Cos聯合算法的SNR在13～15 dB，由于該算法屬于非線性過程，會降低大幅值信號出現的概率，因而會犧牲少量的BER性能，但其PAPR抑制程度是幾種方法中最為顯著的。

5 結束語

本文主要針對GFDM多載波系統的PAPR性能進行了優化。為了顯著地提高GFDM系統的PAPR抑制效果，提出了基于DHT預編碼矩陣的Cos分布非線性壓擴聯合算法抑制PAPR。結合抑制PAPR效果和BER性能仿真結果分析，本文算法具有一定的優勢特性，可以在此基礎上繼續研究，使系統BER達到更優的效果。