反比例函數(shù)中的面積模型及其應(yīng)用

李曉俠

(山東省棗莊市臺兒莊區(qū)馬蘭屯鎮(zhèn)第二中學(xué),277400)

在每年各地中考數(shù)學(xué)試卷中,與反比例函數(shù)有關(guān)的形態(tài)各異的圖形面積問題時有出現(xiàn).這類問題既考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義,又充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法,我們只要熟練掌握了幾種常見模型,就可得以快速解決.

一、一點一垂線模型

分析由?OAB的面積為6,AB=3BC，可求出?OBC的面積為2,進(jìn)而求出?OAC的面積為8,再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出k1,k2,進(jìn)而得出答案.

∴S?BOC=2,S?AOC=2+6=8.

且k1<0,k2<0,

∴k1=-16,k2=-4,

∴k1+k2=-16-4=-20.

分析由?OAC的面積以及?PAB的面積,可求出?OBC的面積,再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出k的值.

解如圖3,連結(jié)OA,OB.

∵AC∥y軸,∴S?AOB=S?APB=2.

二、一點兩垂線模型

結(jié)論如圖4，反比例函數(shù)圖象上一點與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|k|.

(A)① ② (B)① ③

(C)② ③ (D)①

∴CD∥AB,故① 正確.

S?OCD=S矩形OAPB-S?OBD-S?OCA-S?DPC

∴③ 正確,② 錯誤.

故選B.

三、兩點一垂線模型

結(jié)論如圖6(1)(2),S?ABM=|k|；

(1)求k的值;

(2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為-1時,求?POQ的面積.

分析(1)過點P作PE垂直于x軸,垂足為E,只要求得?PEO的面積,即可求得k的值.

(2)先求出直線PB的解析式,再求得Q點的坐標(biāo),最后由S?POQ=S?POB+S?QOB即可求解.

解(1)如圖7,過點P作PE垂直于x軸,垂足為E,則PE∥BO，∴?ABO∽?APE.

∴BO=4,B(0,4).

由P(-1,6),B(0,4),可得yBP=-2x+4.

解得x1=3,x2=-1,∴Q(3,-2).

四、兩點兩垂線模型

結(jié)論如圖8(1),S?APP′=2|k|;

如圖8(2),S=2|k|;

如圖8(3),S?OAB=S梯形AMNB.

解析由模型(2),可得

點評本題作為一道填空題,用模型解答更為方便、快捷.

分析過點C作x軸的垂線,則由模型(3),可得S?COD=S梯形ADCE,進(jìn)而求得k的值.

如圖10,作CE⊥x軸于點E,則由面積模型,可得S?COD=S梯形ADCE,

點評本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,其中根據(jù)面積模型得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵.