一道袋鼠題

單 墫

(南京師范大學數學科學學院,210023)

香港小學高年級袋鼠競賽第24題(倒數第二題，俗稱壓軸題)頗為有趣.原題如下：

在袋鼠小學，每位學生或者加入藝術俱樂部，或者加入體育俱樂部，或者兩個俱樂部都參加.藝術俱樂部的學生中60%是男生，而體育俱樂部的學生中75%是男生.問袋鼠小學的全體學生中男生所占的百分比最小是多少？

(A)50% (B)57.5% (C)60%

筆者再增加一問：條件同上，男生所占的百分比最大是多少？

雖是小學生的賽題，大學師生未必能做啊！不信，你試試！

感覺男生人數應多于女生，至少不少于女生，即在全體學生中，男生所占百分比p≥50%.

不過這只是一個猜想，需要證明.選擇支(A)——(E)以50%為最小，其實改其中之一為小于50%的數更好.

現在要做兩件事：

(1)證明p≥50%;

(2)舉例說明(1)中等號能夠成立.如果舉不出等號成立的實例，那么(1)或許要改為p≥57.5%或其他更大的值.

或許先做(2)更好.

設僅參加藝術俱樂部的男生為x人，僅參加體育俱樂部的男生為z人，同時參加兩個俱樂部的男生為y人.相應地，女生人數為u,w,v,則有

①

②

顯然將v中的1人去掉，而u，w各增加1人，則上述兩個比值不變.因此，可設v=0.

同樣，將x中1人，z中1人去掉，而y增加1人，上述比值也不變.因此，可設x或z為0.

為舉例簡單起見，不妨設x=z=0.

這時①、②即

③

y=3w.

④

而x+y+z=u+v+w,

即男生人數為總人數的50%.

現在證明(1)：

x,y,z,u,v,w意義同前，仍有

①′

y+z=3(v+w).

②′

若u≤2(v+w),則

y+z≥v+w+u.

⑤

若u>2(v+w),則

⑥

總之，x+y+z≥u+v+w,

所以x+y+z至少為總人數的50%.

以下再考慮男生所占百分比最大為多少？

與上面類似，舉例可舉y=0,u=w=0,則

z=3v.

取v=50,則x=75,z=150.

事實上，由①′,②′,得

2x+2y+2z≤2x+4y+2z

=3(u+v)+6(v+w)

=3u+9v+6w≤9(u+v+w).

上面的證法亦即

最小同樣可求.