紙筆測(cè)試中空間觀念的測(cè)評(píng)維度與試題設(shè)計(jì)

浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 潘紅娟

具備空間觀念是小學(xué)生基本的數(shù)學(xué)能力，課程標(biāo)準(zhǔn)中提出培養(yǎng)學(xué)生“具有初步的邏輯推理能力與空間觀念”的要求。顯然，發(fā)展學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，其發(fā)展水平標(biāo)志著學(xué)生數(shù)學(xué)能力水平的高低。

當(dāng)前國(guó)內(nèi)關(guān)于空間觀念的研究，主要集中于基礎(chǔ)研究與教學(xué)策略研究，如何通過(guò)紙筆測(cè)試來(lái)診斷小學(xué)生空間觀念的發(fā)展特點(diǎn)，仍是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)研究的難點(diǎn)與瓶頸。查閱相關(guān)文獻(xiàn)，雖有一些零散的測(cè)評(píng)試題，但是較為全面反映空間觀念表現(xiàn)的測(cè)評(píng)工具十分缺失。筆者嘗試對(duì)空間觀念進(jìn)行細(xì)化分解，并用試題列舉的方式加以解釋，試圖起到使能力維度與試題內(nèi)容之間互為解釋、互為支持的作用。

要談空間觀念測(cè)評(píng)，就有必要對(duì)空間觀念進(jìn)行相應(yīng)的內(nèi)涵界定。事實(shí)上，當(dāng)前對(duì)空間觀念并沒(méi)有十分明晰、統(tǒng)一的概念界定。很多時(shí)候，我們很難將空間觀念與空間能力、空間思維等概念區(qū)別開(kāi)來(lái)。根據(jù)以往研究與課程標(biāo)準(zhǔn)的具體描述，我們對(duì)空間觀念做如下定義：空間觀念是以空間形式為主要對(duì)象，以空間知覺(jué)、表象為主要心理活動(dòng)過(guò)程，在頭腦中進(jìn)行幾何抽象、分析與綜合（包括圖形的分解與重組）、判斷與推理（包括圖形的運(yùn)動(dòng)及二維、三維間的轉(zhuǎn)換）的思維能力。

本文無(wú)意于給出空間觀念測(cè)評(píng)的嚴(yán)謹(jǐn)測(cè)試框架，僅是從教學(xué)與評(píng)價(jià)實(shí)踐的需要出發(fā)，將空間觀念分為“圖形想象”“圖形分析”“方位想象”“運(yùn)動(dòng)想象”四個(gè)維度，對(duì)這些能力進(jìn)行相應(yīng)的能力分解與描述，并提供相應(yīng)的試題列舉與分析，以期為后續(xù)空間觀念的評(píng)價(jià)研究提供一些實(shí)踐案例。

一、圖形想象

空間想象是以空間知覺(jué)和空間表象作為基礎(chǔ)的。而空間表象，是指在大量空間知覺(jué)的基礎(chǔ)上，形成關(guān)于物體、圖形的形狀、大小以及相互位置關(guān)系的印象。空間想象則是在空間表象的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)加工、改造、結(jié)合，產(chǎn)生新表象的心理過(guò)程。

圖形想象能力，指學(xué)生能否根據(jù)圖形形狀聯(lián)想生活中的相關(guān)物體；能否根據(jù)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述想象幾何圖形或圖形之間的關(guān)系；能否想象從不同位置觀察到的幾何體的形狀；能否根據(jù)不同位置看到的形狀，想象出物體的形狀；能否根據(jù)部分圖形想象或推斷整個(gè)圖形；等等。

（一）實(shí)物形狀與幾何圖形的互逆轉(zhuǎn)換

關(guān)于實(shí)物形狀與幾何圖形的轉(zhuǎn)換，具體表現(xiàn)為三個(gè)方面：一是能夠識(shí)別所學(xué)的幾何形體；二是能根據(jù)圖形的形狀、大小，在頭腦中形成具體表象，并由此聯(lián)想到具體實(shí)物；三是能根據(jù)實(shí)物或?qū)嵨飯D，聯(lián)想到它的三視圖、展開(kāi)圖，能想到它的面、棱、頂點(diǎn)等。

試題列舉：圖1是一個(gè)長(zhǎng)方體物品的長(zhǎng)、寬、高，請(qǐng)你根據(jù)具體數(shù)據(jù)估計(jì)這可能是一個(gè)（ ）。

圖1

試題考查學(xué)生“由幾何體想象實(shí)物”的能力。需要學(xué)生根據(jù)圖形名稱及長(zhǎng)、寬、高的實(shí)際長(zhǎng)度，在頭腦中形成關(guān)于形狀、大小的表象，由此判斷出這是一個(gè)類似于文具盒的實(shí)物。顯然，試題的指向與空間觀念的內(nèi)涵十分契合。

（二）幾何體與三視圖的互逆轉(zhuǎn)換

指向“幾何體與三視圖互逆轉(zhuǎn)換”的命題：一方面，可以給出幾何體，根據(jù)幾何體判斷或畫(huà)出三視圖，考查學(xué)生將“立體”轉(zhuǎn)化為“平面”的能力；另一方面，可以設(shè)計(jì)“由不同方向的形狀圖”還原“幾何體的形狀”，考查學(xué)生由“平面”想象“立體”的能力。

試題列舉：由一些同樣大小的立方體搭成的幾何體，圖2是從上往下看到的形狀，數(shù)字表示該位置立方體的個(gè)數(shù)。如果從右面看，則這個(gè)幾何體可看到的是（ ）。

圖2

此題是對(duì)學(xué)生“幾何體與三視圖互逆轉(zhuǎn)化”能力的綜合考查。首先，需要學(xué)生根據(jù)左圖中從上往下看到的形狀與數(shù)量，在頭腦中形成這個(gè)幾何體的具體表象；其次，想象出這個(gè)立體圖形從不同方向看到的平面形狀。從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)生經(jīng)歷了“二維”與“三維”的兩次轉(zhuǎn)換，顯然，空間觀念考查便得到極好的體現(xiàn)。

試題列舉：圖3是一個(gè)長(zhǎng)方體，其陰影部分的面積是多少平方厘米？

圖3

我們大多會(huì)將三視圖與幾何體的轉(zhuǎn)換作為“不同方向觀察物體”內(nèi)容學(xué)習(xí)的專屬，事實(shí)上，結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)、圖形測(cè)量等內(nèi)容進(jìn)行考查同樣可為。此題便是將長(zhǎng)方體知識(shí)融入空間觀念測(cè)評(píng)的極好例子，用“求陰影部分面積”這一任務(wù)，來(lái)考查學(xué)生是否能想象出長(zhǎng)方體每個(gè)面的形狀與大小。所以，通過(guò)平面想象空間立體，是直觀幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容與重要方式。

（三）幾何體與展開(kāi)圖的互逆轉(zhuǎn)換

“幾何體與展開(kāi)圖的轉(zhuǎn)換”同樣是二維、三維間轉(zhuǎn)化的重要視角。根據(jù)展開(kāi)圖或立體圖，在頭腦中經(jīng)歷“折”或“展”的過(guò)程，其中必然涉及關(guān)于“形狀”、關(guān)于“位置”的表象建立。

試題列舉：圖4是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖。

圖4

①長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是（ ）cm。

②如果以A為底，請(qǐng)用字母“B”標(biāo)出這個(gè)面的對(duì)面。

試題并不滿足于“已知長(zhǎng)、寬、高，求棱長(zhǎng)和”的技能考查，題①需要學(xué)生將展開(kāi)圖還原成長(zhǎng)方體，由此判斷出長(zhǎng)、寬、高，求得棱長(zhǎng)總和；題②更是需要學(xué)生經(jīng)歷“折的過(guò)程”與“折的結(jié)果”想象，由此判斷A為底面時(shí)相對(duì)面的形狀與位置。

（四）圖形拼組想象

根據(jù)語(yǔ)言提示，進(jìn)行圖形拼組的想象，同樣是可以考查的維度之一。因?yàn)樵谄唇M過(guò)程中，需要學(xué)生在頭腦中進(jìn)行幾何分析、判斷與推理。

圖5

A.① ② B.① ④ C.② ④ D.③ ④ ⑤

解答此題同樣需要經(jīng)歷“空間知覺(jué)—空間表象—空間想象”的過(guò)程，五個(gè)圖形怎樣可以搭成長(zhǎng)方體，需要對(duì)頭腦中的表象進(jìn)行加工與改造。通過(guò)嘗試，學(xué)生將不同的組件拼組，想象出每一次拼組的過(guò)程、拼搭的位置，以及拼搭所形成的形狀。

二、圖形分析

（一）復(fù)雜圖形的分解與重組

能在頭腦中進(jìn)行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理，是重要的空間思維能力。因此，能從復(fù)雜的圖形中分析出基本圖形，能分析其中的基本元素及其關(guān)系，應(yīng)該是空間觀念測(cè)評(píng)的維度之一。

試題列舉1：

圖6

試題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)不多，側(cè)重于考查圖形的分析能力。由空白部分與小長(zhǎng)方形的大小關(guān)系，想象出缺了幾塊小長(zhǎng)方形，顯然，圖形分解、估計(jì)、推理的能力蘊(yùn)含其中。

試題列舉2：如圖7，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1cm，求△ABC的面積。

圖7

此題著眼于“多邊形的面積”的知識(shí)內(nèi)容，為平面圖形的分析。

學(xué)生需要將三角形劃歸為若干個(gè)基本圖形的“差”或若干個(gè)基本圖形的“和”。這就需要學(xué)生在頭腦中進(jìn)行圖形分析，可分解成“正方形-空白三角形”（如圖8a），可分解成“三個(gè)三角形相加”（如圖8b），或通過(guò)等積變形，轉(zhuǎn)化為“已知底、高的三角形”（如圖8c）。當(dāng)然，除了這幾種方法，圖形分解、重組、轉(zhuǎn)化的方法策略還有很多。同樣，這需要空間觀念的支持。

圖8

（二）以運(yùn)動(dòng)的眼光分析圖形

讓靜態(tài)圖形動(dòng)起來(lái)，使圖形在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化，使較復(fù)雜的圖形變化成簡(jiǎn)單的圖形，同樣是空間觀念考查的重要視角。

試題列舉：如圖9，每個(gè)方格邊長(zhǎng)是1cm，求圖中陰影部分①②的面積和。

圖9

我們可以將圖①向右平移，將兩部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，求面積和。算式與結(jié)果：（ ）；

我們也可以將圖①或圖②割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成梯形，求面積和。算式與結(jié)果：（ ）。

這道題考查的意義在于將面積計(jì)算與圖形運(yùn)動(dòng)有機(jī)結(jié)合，根據(jù)描述，將靜態(tài)的圖形動(dòng)態(tài)化，頭腦中進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形或梯形來(lái)解決。

上文中“求三角形面積”一題，將不規(guī)則三角形轉(zhuǎn)化為已知底和高的三角形，同樣是“運(yùn)動(dòng)思維”在空間圖形問(wèn)題解決中的極好運(yùn)用。

三、方位想象

能想象出物體的方位與相互之間的位置關(guān)系，是空間觀念中關(guān)于“方向與位置”內(nèi)容的能力表現(xiàn)。具體表現(xiàn)為：能根據(jù)物體或圖形相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置；能根據(jù)方位描述或運(yùn)動(dòng)路線，想象物體所在的位置；能想象物體運(yùn)動(dòng)的方向與路線；等等。

（一）方向的想象與描述

試題列舉：選擇“東、南、西、北”填空。

（1）傍晚放學(xué)，小遠(yuǎn)走出校門，迎面看到太陽(yáng)，校門對(duì)著（ ）面；

（2）接著，小遠(yuǎn)坐公交車回家，他看到太陽(yáng)在他的左邊，公交車向（ ）方向開(kāi)；

（3）到了十字路口，公交車右轉(zhuǎn)彎，現(xiàn)在向（ ）方向開(kāi)；

（4）此時(shí)，小遠(yuǎn)看到他右邊是醫(yī)院的大門，醫(yī)院大門對(duì)著（ ）方。

顯然，這道試題凸顯了“方位想象”的鮮明特征，需要學(xué)生置身于真實(shí)的空間中，進(jìn)行方位想象，并推理判斷出運(yùn)動(dòng)的方向以及物體相對(duì)于參照物的方向。

（二）位置的想象與描述

試題列舉：圖10中，小方格的邊長(zhǎng)是1千米，小方格對(duì)角線的長(zhǎng)度是m千米。

圖10

（1）在圖中找到點(diǎn)A（5,2）和B（2,5），點(diǎn)A在點(diǎn)B的（ ）偏（ ）（ ）度方向，距離是（ ）千米。

（2）若過(guò)A、B兩點(diǎn)畫(huà)一條直線，則從A點(diǎn)出發(fā)沿此直線去B點(diǎn)，是向（ ）偏（ ）（ ）度。

此題融合了三個(gè)方面的能力考查：“根據(jù)方位描述找到物體的位置”“根據(jù)位置用方向與距離進(jìn)行描述”“能想象并描述物體運(yùn)動(dòng)的路線”。尤其是A點(diǎn)與B點(diǎn)的位置關(guān)系、A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，無(wú)論是方向、角度還是距離，不僅需要空間觀念支持，同時(shí)需要邏輯推理。因此，本題是一道融合了“數(shù)對(duì)”“極坐標(biāo)”等多個(gè)“位置”相關(guān)知識(shí)，融入了空間觀念與推理能力等多項(xiàng)能力考查的綜合試題。

四、運(yùn)動(dòng)想象

相較于其他維度，“運(yùn)動(dòng)想象”與空間觀念水平聯(lián)系更為緊密。為了將基于圖形幾何領(lǐng)域中所要學(xué)習(xí)的“運(yùn)動(dòng)變換”內(nèi)容與其他運(yùn)動(dòng)區(qū)別開(kāi)來(lái)，我們簡(jiǎn)單地將其分為“圖形變換想象”與“一般運(yùn)動(dòng)想象”。圖形變換想象，僅指向于“全等變換”和“相似變換”。其中，全等變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱，相似變換指向于“圖形的放大與縮小”。

（一）運(yùn)動(dòng)變換想象

要考查學(xué)生關(guān)于“運(yùn)動(dòng)變換”的想象能力，以對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等相關(guān)內(nèi)容作為載體進(jìn)行命題，便是可行的方式。

試題列舉：如圖11，將一張正方形紙片對(duì)折，再對(duì)折，剪去三角形，得到五邊形AMNCD，將折疊的五邊形展開(kāi)后的圖形是（ ）。

圖11

本題是對(duì)“對(duì)稱變換”的考查，試題并不是簡(jiǎn)單的圖形再現(xiàn)，而是要求學(xué)生基于“對(duì)稱”的概念理解，想象對(duì)稱變換的過(guò)程，分別形成正方形對(duì)折后的圖形表象和圖形展開(kāi)后的形狀表象。

試題列舉：如圖12，一個(gè)小圓沿著一個(gè)等邊三角形滾動(dòng)一周，若小圓半徑是2cm，三角形邊長(zhǎng)是10cm,那么，小圓圓心滾動(dòng)一周留下的軌跡是（ ）cm。

圖12

本試題如果從知識(shí)技能維度考慮，是考查“圓周長(zhǎng)”的試題，但同時(shí)又很好地將“平移運(yùn)動(dòng)”與“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”有機(jī)綜合，學(xué)生在頭腦中形成運(yùn)動(dòng)的表象，從而推理出小圓圓心滾動(dòng)一周的軌跡。

（二）一般運(yùn)動(dòng)想象

這里所指的一般運(yùn)動(dòng)，是指區(qū)別于小學(xué)階段“圖形變換”學(xué)習(xí)內(nèi)容的其他運(yùn)動(dòng)情況。

試題列舉：如圖13，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為6cm，寬為2cm，E為AD的中點(diǎn)，如果將長(zhǎng)方形ABCD繞軸L旋轉(zhuǎn)一周，那么三角形EBC陰影部分掃過(guò)的立體圖形的體積是多少立方厘米？

圖13

這道題的經(jīng)典意義在于融入了空間觀念中“圖形運(yùn)動(dòng)想象”與“圖形分析分解”兩個(gè)方面的能力。不僅需要由平面運(yùn)動(dòng)想象出立體圖形，同時(shí)需要對(duì)運(yùn)動(dòng)后形成的組合形體進(jìn)行分解，并分析其底面半徑、高等要素與平面圖形中長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系。

試題列舉：如圖14，院子的兩堵墻分別為5m和8m，墻外是一片草地，墻上拴著一只小羊，繩長(zhǎng)4米。如果將小羊A和小羊B分別拴在圖14a、圖14b中的位置，哪只小羊能吃到草的面積更大一些？相差多少？請(qǐng)用算式或其他方法說(shuō)明。（結(jié)果可用含有π的式子表示）

圖14

試題雖蘊(yùn)含了“旋轉(zhuǎn)”運(yùn)動(dòng)，但因考查重心并不落腳于“旋轉(zhuǎn)”運(yùn)動(dòng)的要素，因此，將其納入“一般運(yùn)動(dòng)想象”的范疇。本題并不僅僅依賴于公式的運(yùn)用，還需要想象出小羊運(yùn)動(dòng)的范圍，并能分析運(yùn)動(dòng)后形成的半圓、四分之一圓的要素，以及其圓心的位置與半徑的長(zhǎng)度。從這個(gè)角度說(shuō)，此題應(yīng)該是考查運(yùn)動(dòng)想象的好題。

最后，值得說(shuō)明的是，因測(cè)試材料本身所具有的綜合性特征，每一道試題與能力維度間會(huì)存在并非完全一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可能某些測(cè)試材料會(huì)涉及多個(gè)維度，本文只是從能力側(cè)重的角度進(jìn)行相應(yīng)歸類。筆者以為，試題的分類并不重要，如何設(shè)計(jì)指向空間觀念考查的好題才是重要的。