在活動(dòng)中建構(gòu)，在想象中提升
——“長方體的認(rèn)識(shí)”活動(dòng)設(shè)計(jì)與分析

北京市通州區(qū)貢院小學(xué) 王 巖

一、背景分析

“圖形與幾何”領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，其核心價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析以及推理的過程。因此，在教學(xué)中，我們不能僅著眼于學(xué)生的知識(shí)技能水平，還應(yīng)致力于采用合理的培養(yǎng)策略，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、想象、推理的活動(dòng)中切實(shí)發(fā)展空間觀念。

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

“長方體的認(rèn)識(shí)”是人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第一單元的內(nèi)容，它既是這一單元的起始課，也是深入研究立體圖形的開始，只有在教學(xué)中，把清晰的“長方體”要素及各要素之間的關(guān)系儲(chǔ)存在學(xué)生的頭腦中，才有可能為學(xué)習(xí)立體圖形的表面積和體積打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。如在長方體的變化中，讓學(xué)生充分感知長方體一組棱的長短決定長方體的大小，長方體一組棱的變化會(huì)引起面的大小和體的大小的變化，可以為之后的“體積”教學(xué)埋下伏筆。由此可以看出，本節(jié)內(nèi)容在學(xué)生的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)中，是將靜止的二維空間縱深為能“立起來”的三維空間的一次重要轉(zhuǎn)化，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長方體的表面積、體積和圓柱、圓錐等立體圖形的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。對本節(jié)內(nèi)容的理解與探究效果，將直接影響學(xué)生幾何知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。

通過對比北京版、人教版、北師大版三個(gè)版本的教學(xué)內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)教材中都設(shè)計(jì)了動(dòng)手操作的內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生通過“摸一摸”“量一量”“比一比”“剪一剪”“做一做”等活動(dòng)來探索圖形的特征。

在多樣的活動(dòng)中，“做一做”活動(dòng)更加突出。“做一做”活動(dòng)主要包含用小棒、硬紙板制作長方體，或者用土豆切出一個(gè)長方體。在這些活動(dòng)中，學(xué)生在選擇材料時(shí)就要思考長方體的要素及其之間的關(guān)系，在制作過程中不斷調(diào)整、感悟，同時(shí)體驗(yàn)從三維到二維再到三維的空間轉(zhuǎn)換，從而發(fā)展了自身的空間觀念。

（二）學(xué)生情況分析

長方體是最基本的立體圖形，通過認(rèn)識(shí)長方體，學(xué)生形成了初步的空間觀念，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他立體圖形的基礎(chǔ)。五年級的學(xué)生已經(jīng)有了認(rèn)識(shí)二維平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，但從二維到三維是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。那么，學(xué)生能否直觀辨認(rèn)長方體？學(xué)生更愿意選擇參與什么活動(dòng)來建構(gòu)長方體？帶著這些疑問，筆者對學(xué)生進(jìn)行了“問卷＋訪談”的課前前測。

1.下列圖形中，哪些是長方體或正方體

目的：

（1）檢驗(yàn)學(xué)生對立體圖形的認(rèn)識(shí)是否由實(shí)物過渡到抽象的圖形。

（2）檢驗(yàn)學(xué)生是否能區(qū)分長方體和長方形。

（3）為下一個(gè)問題——“長方體特征的認(rèn)識(shí)”提供支撐。

在對我校五年級291名學(xué)生的測試中，有9人認(rèn)為圖形④是長方體，還有7人認(rèn)為圖形⑦也是長方體。這兩項(xiàng)約占總?cè)藬?shù)的5.5%。總體來說，多數(shù)學(xué)生能夠正確判斷出長方體，說明他們對長方體已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)。只有少數(shù)學(xué)生不能區(qū)分面與體，還有個(gè)別學(xué)生沒有建立對長方體關(guān)鍵特征的認(rèn)識(shí)，對長方體的外在形狀沒有感知。

2.長方體上有什么？它有什么特點(diǎn)？

目的：檢驗(yàn)學(xué)生對長方體特征的認(rèn)識(shí)且能否在整體中找到它的各部分要素，并用自己的語言描述出各要素的特征。

調(diào)研結(jié)果如表1。

表1

結(jié)合數(shù)據(jù)及范希爾理論的五個(gè)思維水平進(jìn)行分析，可以看出，五年級學(xué)生對長方體已有較為豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感知，對長方體的明顯特征有一定的了解。但多數(shù)學(xué)生對長方體特征的認(rèn)識(shí)是碎片式的，只有極少數(shù)學(xué)生能夠完整地說出長方體的特征。大多數(shù)學(xué)生會(huì)探究面、棱、頂點(diǎn)各自的特征，但對這三者的特征把握往往也是片面的、孤立的，不能從整體中分解出要素，對各部分要素特征缺乏感知。

針對這種情況，如何幫助學(xué)生完成對長方體特征的認(rèn)知呢？什么樣的活動(dòng)更有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)特征，而且學(xué)生又比較感興趣呢？

筆者設(shè)計(jì)了五種活動(dòng)：

①用小棒搭長方體框架。

②用紙板圍成長方體。

③利用土豆削出長方體。

④直接觀察長方體。

⑤對比觀察長方體、圓柱、圓錐及其他立體圖形。

學(xué)生選擇操作順序，結(jié)果見表2。

表2

通過學(xué)生活動(dòng)及訪談可以看出：

①學(xué)生最感興趣的學(xué)具是小棒拼搭。（好操作）

②搭小棒和用紙板擺長方體對認(rèn)識(shí)特征最有幫助。（12個(gè)學(xué)生中有11個(gè)認(rèn)為小棒拼搭和用紙板擺長方體對認(rèn)識(shí)特征最有幫助）

③通過幾種操作，學(xué)生都能完整地說出長方體的所有特征。

根據(jù)上述前測內(nèi)容，我們可以看出：

①學(xué)生能夠通過操作活動(dòng)自己發(fā)現(xiàn)特征，課堂上應(yīng)讓學(xué)生在動(dòng)手操作過程中感悟、理解長方體的特征。

②搭小棒和用紙板擺長方體對學(xué)生認(rèn)識(shí)特征幫助作用最大，因?yàn)檫@兩項(xiàng)活動(dòng)直接指向了長方體的三個(gè)基本要素——面、棱、頂點(diǎn)。

（三）筆者的思考

根據(jù)以上前測及分析，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)上著力體現(xiàn)“做中學(xué)”的思想，由“數(shù)”到“搭”再到“想”，讓學(xué)生在操作中明晰長方體的基本特征，在想象中提升思維水平和發(fā)展空間觀念。具體設(shè)計(jì)如下：

首先，把握學(xué)生起點(diǎn)，在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上展開教學(xué)。從生活原型入手，利用幾何實(shí)物，通過觀察、比較、摸、想象等活動(dòng)喚醒學(xué)生頭腦中對長方體的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)研究長方體特征做好鋪墊。

其次，自主選擇材料，在操作體驗(yàn)中認(rèn)識(shí)特征。提供學(xué)具材料，讓學(xué)生在小組合作過程中選擇材料搭建長方體框架或利用紙板圍成長方體，在“做”中不斷地質(zhì)疑、反思、交流。這一環(huán)節(jié)將特征認(rèn)識(shí)與操作活動(dòng)緊密結(jié)合，學(xué)生在操作中再現(xiàn)長方體的表象，理解長方體的基本特征，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生合作交流和動(dòng)手操作的能力。這里突出學(xué)生“做”的活動(dòng)，通過“做中學(xué)”，學(xué)生的體驗(yàn)和理解會(huì)更深刻。

最后，操作與想象活動(dòng)融合，在想象中拓展空間觀念。通過制作長方體，學(xué)生想象棱與棱、體與面、體與體之間的關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化對長方體特征的認(rèn)識(shí)。此外，安排多層次的想象活動(dòng)，由棱想象面、由面想象體，感悟?qū)嵨锱c立體圖形之間的轉(zhuǎn)換、立體圖與平面圖之間的轉(zhuǎn)化，不斷地在立體與平面之間展開變化與聯(lián)想。這里突出學(xué)生“想”的活動(dòng)，拓展其空間觀念與想象能力。

二、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)目標(biāo)

在選擇小棒的規(guī)格及數(shù)量的思考過程中建構(gòu)長方體，在搭建長方體過程中發(fā)現(xiàn)長方體各要素之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

2.活動(dòng)情境

如果要用一些小棒搭建一個(gè)長方體框架，需要怎樣選擇材料？

3.核心問題

哪些小棒可以搭建成一個(gè)長方體？

4.活動(dòng)方式

先獨(dú)立思考，然后小組合作。

5.活動(dòng)時(shí)間

獨(dú)立思考3分鐘，小組合作10分鐘，交流分享15分鐘。

6.學(xué)習(xí)單

（1）結(jié)合材料領(lǐng)取單（見表3），先獨(dú)立思考制作一個(gè)長方體需要領(lǐng)取材料的規(guī)格及數(shù)量。

表3 材料領(lǐng)取單

三、活動(dòng)實(shí)錄

師：我們今天采用小棒搭建長方體的方式研究長方體的特征，請你先結(jié)合老師給的這些材料，自己獨(dú)立思考——你要制作的那個(gè)長方體需要什么材料？需要的數(shù)量是多少？想好了再和同學(xué)討論。

生獨(dú)立思考后小組討論。

師參與傾聽小組討論。

1組討論：咱們先要制作一個(gè)長方形的“底座”，這就需要2種小棒，各2根，然后在這個(gè)長方形的4個(gè)角上立起相同的4根小棒，再做一個(gè)和底座相同的長方形當(dāng)“蓋”，這樣就需要3種小棒，每種4根。連起來的地方在“蓋”和“底座”長方形的4個(gè)角上，所以需要8個(gè)連接器。我想，制作完成后的成品，就像一個(gè)香皂盒。

2組討論：咱們做一個(gè)像牙膏盒那樣的長方體吧。要做這樣的長方體，需要用8根最短的小棒做出2個(gè)小正方形，放在兩邊，然后用4根最長的小棒，放在兩個(gè)小正方形的中間，最后需要8個(gè)連接器把它們連接起來。

3組討論：咱們分工做，一定做得快，你們2人做長方體左面的長方形，2人做長方體右面的長方形，我們用小棒把你們做的面連起來就行了，快行動(dòng)吧！

……

生按照討論結(jié)果領(lǐng)取材料并制作長方體。

師：下面請大家交流一下你們是如何選材料的，在制作中有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我們選擇的是15厘米的小棒4根，10厘米的4根，7厘米的4根，還有8個(gè)連接器，最終制作出一個(gè)長方體。我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)長方體一共有12條邊（學(xué)生用手指著長方體的棱，任意數(shù)1、2、3……），有8個(gè)連接器。

師：誰能有序地?cái)?shù)一數(shù)這12條邊？

生2：我先數(shù)左邊4根小棒，再數(shù)右邊4根小棒，最后數(shù)中間4根小棒，一共12條。

生3：我先數(shù)上面4根小棒，再數(shù)下面4根小棒，最后再數(shù)連接上下面的4根小棒，一共12條。

生4：我和他們的方法不一樣，我是數(shù)長度相等的小棒（學(xué)生指著長方體的棱），這4根小棒長度相等，這4根小棒長度也相等，還有這4根小棒也相等，一共是12根小棒。

師：你們數(shù)得真好，沒有重復(fù)，也沒有遺漏，通過數(shù)，大家發(fā)現(xiàn)制作一個(gè)長方體需要12根小棒，這些小棒，在長方體上叫“棱”（教師相機(jī)板書“棱——12條”），這些連接器在長方體上叫“頂點(diǎn)”（教師相機(jī)板書“頂點(diǎn)——8個(gè)”）。

師：除了這些，你們在制作的過程中，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我們制作完后，看出這個(gè)長方體是由6個(gè)長方形的面組成的。

師：你能有序地?cái)?shù)一數(shù)嗎？

生5：上面、下面，左面、右面，前面、后面，一共6個(gè)面，每個(gè)面都是長方形。

生6：我們制作成的長方體不是這樣的，有2個(gè)面是正方形。

師：你們是怎樣選的材料？

生6：我們選的是15厘米的小棒4根，5厘米的小棒8根，還有8個(gè)連接器，我們用8根5厘米的小棒制作出2個(gè)正方形，然后用15厘米的小棒把這兩個(gè)正方形連起來（邊說邊舉了起來，指給大家看）。

師：看來長方體在特殊情況下也可能有兩個(gè)相對的面是正方形。（板書“面——6個(gè)，長方體也可能有兩個(gè)相對的面是正方形”）

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生7：有的面的大小一樣。如上面和下面一樣大，左面和右面一樣大，前面和后面一樣大。

師：上面和下面、左面和右面、前面和后面都是相對的，我們可以說它們是相對的面。那么你是怎么判斷它們一樣大的？

生8：一看就感覺一樣大。

師：僅靠“看”來判斷，沒有說服力。

生8：我們在制作的時(shí)候，每個(gè)相對的面的長和寬都是用的長度相同的小棒，所以相對的面是完全相同的。

師：大家看，盡管兩組同學(xué)做出的長方體形態(tài)各異，但我們發(fā)現(xiàn)無論什么樣的長方體都有12條棱、6個(gè)面，相對的兩個(gè)面完全相同。

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)有的小組沒有搭建成長方體，你們找到原因了嗎？

生9：我們開始想到了分工完成，只顧著兩邊制作出長方體，然后把中間連起來，但忽略了相對的兩個(gè)面的大小相同，所以在制作的時(shí)候，兩邊的長方形大小不同，就無法搭成長方體。

師：通過搭建，你們對長方體有了怎樣的認(rèn)識(shí)？

生10：我們認(rèn)識(shí)到長方體相對的兩個(gè)面完全相同，所以在選擇小棒的時(shí)候要考慮長度。

師：怎樣選擇長度？

生10：通過剛才同學(xué)們所說的，每組要選擇4根相等的小棒。

……

四、評價(jià)反思

通過本次活動(dòng)，學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手的活動(dòng)中體驗(yàn)搭建長方體，在辨析中認(rèn)識(shí)長方體的基本特征，在想象中提升思維水平和發(fā)展空間觀念。本次活動(dòng)收到了較好的教學(xué)效果，數(shù)學(xué)活動(dòng)真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的成長搖籃。縱觀本次活動(dòng)，有如下特點(diǎn)：

（一）智慧操作，且思且動(dòng)

數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅是操作活動(dòng)，更是思維活動(dòng)的教學(xué)。在學(xué)生制作長方體的過程中著力引導(dǎo)學(xué)生想象：操作前想，需要什么材料，要多少；看著材料想，準(zhǔn)備怎么做；做好后想，用了什么材料，怎么做的。尤其是在動(dòng)手制作長方體的過程中，學(xué)生不只是憑直觀經(jīng)驗(yàn)利用材料制作長方體，而是在制作過程中，更加關(guān)注長方體的特征及要素之間的關(guān)系。很多同學(xué)在學(xué)習(xí)單上寫道：制作一個(gè)長方體需要12根小棒，這些小棒可以分為3組，每組4根同樣長，利用3組面可以圍成一個(gè)長方體，相對的面的大小完全相同……由此可以看出，學(xué)生在且思且動(dòng)的操作活動(dòng)中，更好地內(nèi)化了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其思維在實(shí)物、幾何體之間不斷轉(zhuǎn)換，這既是對長方體的認(rèn)識(shí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，又是智慧操作的經(jīng)驗(yàn)積累。

（二）立足差異，對比提升

由于各小組選擇的小棒規(guī)格和數(shù)量不同，致使有的小組搭成了像香皂盒那樣的長方體框架，有的小組搭成了像牙膏盒那樣的長方體框架，有的卻無法搭成。教師抓住生成，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，及時(shí)點(diǎn)撥，厘清“成”與“不成”的原因。在此活動(dòng)中，促使學(xué)生辨清不同長方體框架的“棱”和“面”，使學(xué)生抓住長方體各要素之間的關(guān)系，展開討論。通過這樣的活動(dòng)，學(xué)生透過差異，快速高效地看出真相與本質(zhì)，使活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)再一次得到提升與發(fā)展。