數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透

◇毛銀鶴（甘肅：臨洮縣北街小學(xué)）

毫無疑問，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思想。當(dāng)前，大部分小學(xué)老師只注重知識的傳授和培養(yǎng)，而忽略學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解和把握，導(dǎo)致老師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很累。如何更新教學(xué)觀念，加深對數(shù)學(xué)思想的理解？怎樣才能使數(shù)學(xué)思想的滲透更有效？有什么戰(zhàn)略方法、要把握什么原則？從什么角度來看？本文對此進行了研究，以期為相關(guān)人員提供借鑒。

一、數(shù)學(xué)思想概述

關(guān)于數(shù)學(xué)思想的認識尚無定論，學(xué)者的觀點不盡相同，關(guān)于數(shù)學(xué)思想的界定也存在著分歧，主要從兩個方面進行論述。

（一）從數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點出發(fā)

鄭毓信指出，數(shù)學(xué)思想的最初含義，是在與具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，尤其是其最終的嚴(yán)格表達方式的矛盾中被證實的。數(shù)學(xué)思想的含義是一種思想方式或原理，它脫離了特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并具有更廣泛的普遍性。臧雷認為，對數(shù)學(xué)的認識要分兩個角度。一種是狹義的，它是指通過對特定數(shù)學(xué)知識的認知過程而產(chǎn)生的認知結(jié)果或看法，并在后續(xù)的認知活動中不斷地被應(yīng)用和證明。廣義的數(shù)學(xué)思想，除了以上幾個方面之外，還應(yīng)該包含數(shù)學(xué)的概念、理論、方法和形態(tài)的形成和發(fā)展的規(guī)律。張國棟、李建華等人都認為，在數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)思想往往被用來解釋，而非從認識數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)出發(fā)。

（二）從哲學(xué)的知識論視角出發(fā)

丁石孫認為，數(shù)學(xué)思想是指人們?nèi)绾慰创龜?shù)學(xué)。其中包括：數(shù)學(xué)在人的認識系統(tǒng)中所占據(jù)的位置、與生產(chǎn)實踐和其他學(xué)科的聯(lián)系、數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律、數(shù)學(xué)研究方法的特征等。蔡上鶴指出，數(shù)學(xué)思想是把真實世界的空間形態(tài)、數(shù)量關(guān)系，通過思維活動，在人的意識中呈現(xiàn)出來。張奠宙、過伯祥等人認為，數(shù)學(xué)思想通常被用來概括一些具有重要意義、內(nèi)容豐富、系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)成果。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的意義

（一）有利于推動數(shù)學(xué)應(yīng)用理論的發(fā)展

其實，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是人類思想和解決問題的基本原則。實踐已經(jīng)證明，數(shù)學(xué)思想和方法已經(jīng)被廣泛地運用于現(xiàn)代技術(shù)，經(jīng)濟學(xué)、心理學(xué)、社會學(xué)，甚至是最常見的科學(xué)技術(shù)，如工業(yè)和胚胎學(xué)，都是由新的數(shù)學(xué)思想和新的算法所決定的。

（二）有利于推動數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展

學(xué)科的教育因子對人的成長起到了循序漸進的、深遠的作用。每一門學(xué)科都能以其自身的內(nèi)在魅力、多方面的力量來滋養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)素質(zhì)，使他們形成科學(xué)的、獨立的、有意義的學(xué)習(xí)能力。因此，學(xué)科教育的本質(zhì)就是培養(yǎng)人，將人的全面發(fā)展與學(xué)科教學(xué)活動相結(jié)合，使其從各方面，或?qū)ζ溥M行影響，或直接傳授，從而使個人的綜合素質(zhì)得到提升。從長遠來看，數(shù)學(xué)對學(xué)生的綜合素質(zhì)有很大的促進作用，對現(xiàn)代社會的發(fā)展有更深的認識。數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的工具和語言，就像語言、宗教、藝術(shù)，都是人類文化的一部分。

（三）有利于老師建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀

從數(shù)學(xué)的角度來看，其思想具有條理性、簡練、嚴(yán)密、可擴展性等特征，是一種廣泛應(yīng)用的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是一種態(tài)度，更是一種文化。只有了解了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，了解了它的內(nèi)在價值，才能從數(shù)學(xué)的角度來看待問題。近幾年，隨著新一輪課程改革的逐步深化，新的課程觀念不斷強化，要求一線老師提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)素質(zhì)、數(shù)學(xué)知識，從而使自己的數(shù)學(xué)思想得到充分的發(fā)揮。

三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)原則

（一）意識性原則

所謂意識，就是要讓老師認識到數(shù)學(xué)的各種思想方法，認識到數(shù)學(xué)思想的重要性。一是要樹立學(xué)生的主觀意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識相比，數(shù)學(xué)的思想方法是以不同的形式和不同的表象呈現(xiàn)的，在小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識點中，它們常常伴隨著傳統(tǒng)知識的產(chǎn)生，逐漸地表現(xiàn)出來，較難被發(fā)現(xiàn)，也較難解釋。在實際教學(xué)中，由于老師對教材內(nèi)容的疏忽，常常導(dǎo)致教材內(nèi)容的缺失。所以，數(shù)學(xué)老師除了要強化傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識和教學(xué)內(nèi)容，還要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識和敏感度的培養(yǎng)，積極主動地把數(shù)學(xué)的各種類型、內(nèi)容、形式的教學(xué)與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合。二是要重視從教學(xué)內(nèi)容中發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)流程的設(shè)計中，要善于從數(shù)學(xué)思想的視角出發(fā)，對教材內(nèi)容進行細致分析，探索其滲透點、結(jié)合點、蘊含點，從而厘清教材中的思想方法，再通過設(shè)置情境、討論例題、組織練習(xí)等方法，使其成為可能。三是要把學(xué)生能理解和接受的數(shù)學(xué)思想方法融入教學(xué)中。首先，老師要從課本中精心挑選具有鮮明特色和具體內(nèi)容的重點內(nèi)容，或明或暗或詳或簡地向?qū)W生展示，引導(dǎo)他們理解這些知識和思想方法的關(guān)系，讓學(xué)生親身體驗這些知識中蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法。其次，要在保證教學(xué)效果的基礎(chǔ)上，進行教學(xué)方法的設(shè)計。小學(xué)數(shù)學(xué)老師要以學(xué)生現(xiàn)有知識和學(xué)習(xí)能力為出發(fā)點，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生獨立思考，杜絕生搬硬套。

（二）滲透性原則

滲透性原則，就是在課堂上，老師自覺地將數(shù)學(xué)思想相對獨立、抽象的方式，融入課本的具體知識點中，而不是一針見血。在教學(xué)中，學(xué)生的思想方法與學(xué)生學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)知識是有區(qū)別的。比如，一些數(shù)學(xué)方面的東西，很多人都是一學(xué)就會，而且還能用來解決一些數(shù)學(xué)問題。然而，在數(shù)學(xué)思想的教學(xué)中，許多學(xué)生在解決同類問題時卻常常遇到困難。所以，許多老師都會感慨，數(shù)學(xué)思想的滲透實在是太難了。而產(chǎn)生這種迷茫的主要原因是思想方法與知識技巧上的巨大差異。學(xué)習(xí)知識和技巧，大部分都是靠模仿。當(dāng)數(shù)學(xué)思想達到一定程度的時候，學(xué)生的思維和理解能力就會得到很大的提升，從而取得更好的教學(xué)效果。例如，在教學(xué)中，關(guān)于“王阿姨購買15 塊糖，10 塊餅干，支付的金額和李大叔買10塊糖和15 塊餅干的價格是一樣的”一題，鼓勵學(xué)生自己找出相似的例子，或者用算法來表達。學(xué)生通過例子，逐漸地找到了“加法交換律”。然后老師鼓勵他們用不同的方式來表達這種規(guī)則，并討論哪一種最好。最后，學(xué)生一致同意用“a+b=b+a”來表達。在這個例子里，老師為學(xué)生設(shè)計了一個非常平常的生活場景，讓學(xué)生做一些簡單的事情，并且樂意嘗試。因為他們喜歡用最好的方式來表達自己對規(guī)則的理解。不可否認的是，這種思想方法是一種象征思想的浸潤。

四、數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

（一）在基礎(chǔ)知識教學(xué)中的滲透

現(xiàn)代認知心理學(xué)把知識分成兩類：陳述性知識和程序性知識。陳述性知識是一種可以用清晰語言表達的，對“是什么”“為什么”這樣的基礎(chǔ)問題進行解釋的方法，而程序性知識則是一種方法，是“怎么想”“怎么做”。小學(xué)數(shù)學(xué)思想是一種認知策略，它包括收集、處理各種資料，推理、運算方法的簡便選擇。小學(xué)數(shù)學(xué)思想既有概念原則的陳述性知識，又有程序性知識的具體運作過程。在數(shù)與代數(shù)課程中，小學(xué)生將學(xué)到不同種類的數(shù)及相應(yīng)的算術(shù)，在此基礎(chǔ)上，逐步體驗、掌握數(shù)與代數(shù)的含義，提高其數(shù)感，并初步了解負數(shù)、方程等知識。其中包括分類、轉(zhuǎn)化、集合、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、極限、符號化等數(shù)學(xué)思想。在圖形與幾何課程中，小學(xué)生將會學(xué)習(xí)一些簡單的幾何圖形，并且能夠理解和認識其基本特性，體會旋轉(zhuǎn)、平移、對稱，對圖形轉(zhuǎn)換有初步的理解與認識，也會學(xué)習(xí)如何描述、確定和測量對象的方位，逐步培養(yǎng)和發(fā)展空間概念。同時也包含了極限、轉(zhuǎn)化等主要數(shù)學(xué)思想。在統(tǒng)計與概率課程中，學(xué)生將初步了解統(tǒng)計的基本流程，并圍繞如何搜集、整理及描述資料，根據(jù)先前搜集、整理的結(jié)果，解答較簡單的問題或?qū)δ承┈F(xiàn)象做出簡單的判斷。要對某些事件的可能和不確定因素有一個初步的認識，然后對其進行簡單的計算和分析。這些內(nèi)容貫穿于小學(xué)的整個教學(xué)過程，盡管所占比例較低，但對于提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)運用意識非常重要，而且還包含了統(tǒng)計、分類、概率等典型的數(shù)學(xué)思想。在實踐與綜合應(yīng)用課程中，通過實際的教學(xué)活動，使學(xué)生認識和體會數(shù)學(xué)與生活的緊密關(guān)系，并能有效地運用數(shù)學(xué)知識和思想方法，解決日常生活中常見的一些問題。在小學(xué)的各個年級都有這樣的認識，對于提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力起到了很大的推動作用。

（二）在探求公式中的滲透

公式是用數(shù)學(xué)符號表達各種關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達式。它是由變量構(gòu)成的，具有普遍性，對同類問題和關(guān)系都是有效的。它所蘊含的數(shù)學(xué)邏輯含義，能夠用來表達對問題的認識和解決方法，取決于它所包含的自由變量和特殊的邏輯關(guān)系。對于小學(xué)生來說，想要理解公式，并不是一件容易的事情。在教學(xué)中，老師可以把數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生的頭腦里，使他們對公式的意義和價值有一個直觀的認識。在數(shù)學(xué)課上，通過插圖來說明分配法則。照片上的畫面，是一群學(xué)生在種樹，他們被分成了25 個小隊，每個小隊都有4 個人在挖坑，4 個人在種樹，2 個人給樹澆水。問：參與植樹的學(xué)生一共有多少？在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生得到兩種不同的方法，再將兩種方法的結(jié)果進行比較，由學(xué)生推導(dǎo)出相應(yīng)的分配規(guī)律，并給出相應(yīng)的符號表示?？梢钥闯?，這種方法片面地強調(diào)了對結(jié)果的直接分析，學(xué)生只看到了簡單、抽象的分析，而“分配”這個重要的思想過程，老師沒有涉及，學(xué)生也沒有經(jīng)驗，很難在腦海中形成意義上的連接。所以，學(xué)生只能死記硬背。為使學(xué)生更好地了解分配的實質(zhì)，老師可以在課堂一開始就運用數(shù)形組合來創(chuàng)造情境，使學(xué)生能更好地認識和接受圖形的特點。通過計算矩形區(qū)域，讓學(xué)生直觀、形象地學(xué)會分配法則，使學(xué)生對矩形區(qū)域的學(xué)習(xí)和掌握更加深刻。數(shù)形結(jié)合是一種教學(xué)方法，它是一種與數(shù)字形狀相結(jié)合的有效方法，更符合學(xué)生的認知發(fā)展，從而使形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變。

（三）在知識生成過程中的滲透

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識產(chǎn)生的過程其實就是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生過程。比如，讓學(xué)生在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，從而得出相應(yīng)的結(jié)論，并通過這種方式來解決問題，讓學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)。例如，在“小數(shù)乘整數(shù)”的教學(xué)中，老師可以通過求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角之和，由此導(dǎo)出其內(nèi)角之和的公式。所以，數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論的本質(zhì)就是一條知識鏈條，將數(shù)學(xué)知識壓縮成一條知識鏈條，在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要適當(dāng)?shù)匮娱L這些知識鏈條。老師指導(dǎo)學(xué)生進行探究、發(fā)現(xiàn)和推理，闡明每一結(jié)論之間的因果關(guān)系，探究其與已有知識的聯(lián)系，理解其思想方法。

總之，在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生可以選擇和篩選有用的信息，使自己的學(xué)習(xí)情緒更加活躍，對自己和別人的認同感也更強，更愿意參與團隊活動。這就是數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的最大益處。通過對數(shù)學(xué)思想的研究，在數(shù)學(xué)思想的滲透下，對學(xué)生的認識結(jié)構(gòu)、解決問題都有很大的促進作用。