以新工科為導向的高等數學教學實踐與研究

謝溪莊，陳梅香

（華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021）

2017 年4 月8 日，教育部在天津大學召開新工科建設研討會，會議提出加強產業發展對工程科技人才需求的調研；做好增量優化、存量調整，主動謀劃新興工科專業建設；大力發展新產業相關的新興工科專業和特色專業集群，更新改造傳統學科專業；推動現有工科交叉復合、工科與其他學科交叉融合、應用理科向工科延伸，孕育形成新興交叉學科專業。在此背景下，很多高校都積極謀劃和參與新工科建設。以華僑大學（以下簡稱我校）為例，作為中央統戰部直屬的高校之一，具有很強的理工類學科優勢，學校高度重視新工科建設工作，將新的工科專業申報與傳統工科專業改革相結合，積極落實工程教育新理念、新標準和新模式，更有兩個項目通過首批國家級新工科研究與實踐項目結題驗收。隨著我校越來越多的學科和專業加入新工科建設行列，作為理工科專業（非數學專業）的重要基礎課程高等數學，不僅要為學生提供后續理工科專業所必需的基礎數學知識，更要培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力，綜合運用數學方法分析、解決問題的創新能力，從而形成基本的科學素養，滿足新工科對人才培養所需的基本素質。通過多年來對高等數學課教學過程發現的問題進行思考與總結，以新工科為導向，以培養學生扎實的數學基礎、實踐應用能力和創新思維為目標，并結合我校理工類學生的知識結構、學習能力及專業特點，我們對教學理念、教學內容和教學方式都做了相應的升級改造，并在教學過程中予以實施，得到了良好的效果。

一、傳統課堂教學上的思考

新工科是以互聯網和工業智能為核心的工程技術人才優化創新培養體系，包括一些新建的大數據、云計算和人工智能等新工科專業與一些傳統工科專業的升級改造。新工科的建設不僅對高等數學的教學內容提出了新的要求，還對數學理論知識的實踐應用提出了更高的要求，同時新工科建設是高等教育應對國家創新驅動發展的改革行動計劃，其所培養的人才應該具有較強的解決實際問題的能力和創新能力。然而，通過多年來高等數學課程的教學實踐過程，我們深深地發現傳統的課堂教學方式和教學形式不能很好地滿足新工科建設對人才的培養要求，主要表現在以下幾個方面。

（一）教學內容

很多高校都是選用《高等數學》作為非數學專業學生系統學習微積分的教材，但這類教材很多時候更加強調知識的系統性、條理性和嚴謹性，側重于理論分析和形式化的表達，缺乏數學語言的轉化和應用。很多案例都比較陳舊、單一，與新工科專業的應用結合不夠緊密，忽視了數學建模能力和實際問題的分析、解決能力的培養。

（二）教學方式

以教師為中心、忽視學生的主體地位。在課堂上，很多時候都是不講發明只講證明，不講原理只講定理；重知識體系學習，輕實踐應用能力培養，而有些教師又過度地依賴于多媒體的授課方式，未有足夠的時間給予學生思考、理解、消化和吸收；忽視了學生發散性思維和創新能力的培養。

（三）學生的學習興趣和積極性

高等數學內容豐富、概念多、定理多、公式多、理論性強和知識體系環環相扣，很多同學認為高數太難，望而卻步，有種“恐高癥”的感覺。這是因為在以往的初等數學訓練中，更多的是關于解題技巧的訓練，缺乏思維的邏輯性、嚴謹性及抽象性；對老師依賴較大，習慣了中學期間重復性的做題、訓練和教師講解，進而完成對知識點的理解和掌握；缺乏主動學習和獨立學習能力。

二、課堂教學新模式的探索與實踐

（一）提高學生的邏輯思維、發散思維和歸納、總結能力

（1）充分利用信息技術手段制作動態多媒體課件結合板書講解，將抽象思維與形象思維相結合。高等數學中的基本概念、基本公式和基本定理大多來源于實際生活中的具體實例，再經過分析、總結，最后用數學語言描述形成數學理論，所以很多理論知識都具有很強的抽象性。在教學過程中，結合我校學生的學習能力和水平，我們制作了完整的動態多媒體課件，并結合板書將抽象的理論知識用通俗的語言和直觀的模型呈現出來，幫助學生理解、消化和吸收。通過重復性地從抽象到形象再到抽象的思維訓練，來逐漸提升學生的數學思維能力。例如，在定積分、二重積分、曲線積分和曲面積分等積分定義中，借助動態課件和多媒體設備，將無限細分的過程以動態效果清晰展現，讓學生直觀地感受和理解“分割”“近似”“求和”“取極限”的四個演化過程，進而將這種無限細分、無限求和和無限逼近的思想和方法深深地印在他們的腦海中；通過多媒體動態課件，展示正弦函數和余弦函數的疊加過程及疊加個數對疊加圖形的影響，直觀地理解傅里葉級數的一般形式，啟發學生自主思考，鍛煉邏輯思維能力，幫助學生深刻理解傅里葉級數的概念。

（2）引導學生進行類比、歸納和總結。高等數學中的許多知識點是具有相似性的，適時地引導學生對所學知識進行類比和總結，既幫助了學生復習和熟練掌握舊知識，還可以讓學生更好地理解和接受新知識，從而培養學生利用類比思維、發散思維進行知識總結和融會貫通的能力，很好地克服了學生對高等數學內容多、概念多、定理多和公式多的恐懼，進而降低學生學習的難度，達到事半功倍的效果。例如，在學習積分學之后，我們可以利用積分的物理意義來解釋定積分，并可類似地推廣到二重積分以及三重積分，具體如下。

定積分：以被積函數為密度，平行于坐標軸的直線質量。

二重積分：以被積函數為密度，坐標面上平面薄片的質量。

三重積分：以被積函數為密度，空間立體的質量。

因而，由線的質量積分得到面的質量，由面的質量積分得到立體的質量，并結合動畫演示，讓學生充分理解二重積分化為二次積分，三重積分化為三次積分的求解過程，并意識到其本質是一致的，也為曲線積分和曲面積分的學習奠定了基礎。

（二）數學建模思想融合于教學過程，提高學生的實踐應用能力

（1）數學建模是用數學的語言、方法和工具表述、分析和求解現實世界中的實際問題，并將最終所得的結果回歸實際，有效地回答了原先的問題。隨著計算機技術的發展，數學建模迅速地進入了自然科學和社會科學的各個領域，其是聯系數學與應用的重要橋梁。將數學建模引入到微積分，為高等數學與外部世界的聯系提供了一種更有效的方式。讓學生學習和掌握數學是如何從實際問題中提煉出來，是如何應用于實際問題的，將會啟迪學生們的數學心智，促使他們在數學知識、數學能力和科學素養三個方面迅速成長。例如，在經濟領域方面，借助導數這一工具，可以很容易地給出使具體收益問題成本最低、利潤最大的合理方案；在氣象學中，可以用方向導數及梯度來解釋各個地區氣溫的變化，風速的大小及臺風路徑的預測；在醫學上，經常用微分方程來刻畫藥物在人體內的分布情況，比如可以使用不同的一階的常系數線性微分方程來分別描述快速靜脈注射、恒速靜脈點滴和口服藥或肌注時藥物濃度的變化規律，通過求解對應的微分方程計算出這三種情況下體內血藥濃度的變化曲線，進一步地得出快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注和靜脈點滴也有一定的差異，主要表現在血藥濃度的峰值出現在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同，幫助醫生根據不同疾病的治療要求找出最佳治療方案，這一應用可以很好地幫助學生理解和掌握線性微分方程的求解方法及如何將微分方程應用于實際問題、解決實際問題；在建筑領域，建筑結構大師菲力克斯·坎德拉將雙曲拋物面（亦稱馬鞍面）應用到建筑設計中。通過多媒體課件帶領學生欣賞由馬鞍面所形成的飄逸屋面，比如一個馬鞍面的帕爾米拉教堂，三個馬鞍面的圣維特生·得·保羅教堂，四個馬鞍面的霍奇米洛克餐廳，多個馬鞍面的米拉格洛薩教堂等等，讓學生了解到這些建筑作品充分利用了馬鞍面的優點，既能巧妙地處理內部的壓力和張力使結構異常穩固，還可以以很小的厚度實現較大的強度。此外，馬鞍面還具有直紋性，兼具美感和靈動性，可以讓學生領略數學圖形之美。通過這些例子的講解，讓學生掌握建立簡單數學模型的能力，拓寬學生的數學應用思維，進而獲得利用數學知識解決實際問題的成就感。同時也讓學生看到數學與自然科學和社會科學的相互聯系，帶給學生嶄新的視角——數學就在我們身邊。

（2）借助數學軟件，引導學生構建數學問題的直觀模型。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用平面形式或空間形式特別是圖形分析研究對象的性質和變化規律。Matlab、Mathematica 和Maple 等數學軟件在數學理論知識的可視化方面及直觀模型的構建方面扮演著很重要的角色。適時地采用數學軟件進行分析、求解和作圖，并結合多媒體、數學模型等多種資源，構建數學問題的直觀模型，將一些數學概念、數學定理和實際問題的求解通過可視化呈現出來，可以幫助學生從感官上獲得認知，內化為對實際問題的理性思考。例如，在講解曲率時，可以借助Matlab編程顯示的動畫，直觀感受擺線的形成過程和曲率的變化情況，同時可以觀察曲率中心的運動，引導學生思考如何用公式表示曲率中心；在講解由參數方程確定的函數的導數時，可以通過繁花曲線的導入先來介紹日常生活中由參數方程所確定的函數。對于復雜的繁花曲線，借助Matlab 軟件編程，可以很容易地模擬繁花曲線的形成過程，即通過兩個半徑不同的大小圓的相切運動，畫出小圓邊界點的軌跡，得到不同的繁花曲線。以大圓圓心為原點建立直角坐標系，便可確定這類繁花曲線的參數方程，引導學生思考通過參數方程能發現曲線的什么特點。再逐漸引入參數方程的求導方法，最后探索繁花的變化規律。特別地，對于參數方程中不好理解的星形線，通過播放公交車門的開門視頻展示星形線在公交車車門上的應用，結合Matlab 編程動態展示出不同的打開方式對應著不同的占地面積，引導學生思考利用星形線的性質設計的門的優勢；在分析變量可分離微分方程之前，可以借助Matlab 編程來模擬小球在兩點之間的下凹曲線上的運動情況，再利用物理知識和幾何關系，建立曲線所滿足的微分方程，引導學生思考、探索沿著哪一條曲線下滑的時間最短，這便是歷史上有名的最速降線問題。這些都將幫助學生從復雜的數學理論的理解轉化為對直觀模型的理解，引導他們如何綜合利用數學理論知識、數學軟件和信息技術分析和解決實際問題，提高他們的實踐能力和創新能力。

（三）豐富課堂教學內容，提高主動學習能力

（1）在課堂教學中，通過實際案例，設置懸念，創設問題情境，引導學生與老師互動，讓學生參與到知識點的分析與求解中來，激發學生的學習熱情和興趣。適時地提問、點撥、引導和啟發，營造寬松、和諧和積極的學習和討論環境，讓學生在課堂中動起腦、動起嘴和動起手，進而活躍他們的思維，開闊他們的視野，增強他們的創造力。

（2）從幾何、物理、生物、化學和日常生活中挖掘與高等數學知識點相關的素材，將概念定理、理論知識附著在具體實例中，喚起學生的學習熱情。高等數學中有一些問題堪比懸疑小說更加有意思和燒腦，例如莫比烏斯帶、惠更斯擺鐘、康托爾集和芝諾悖論等等。在相關知識點中引入這些有趣的例子，不僅可以幫助他們學習理解，還可以營造輕松有趣的課堂氣氛，引導學生思考這些例子背后的數學原理，讓學生帶著具體的背景知識進入理論知識的學習，激發學生的學習興趣。

（3）將數學理論的最新進展和應用引入到課堂教學中，吸引學生的注意，激發學生的探索精神。同時，還能引導學生自主查閱文獻，集體討論，提升學生的自主學習和團隊合作能力。高等數學的主要內容微積分已經發展了四百多年，其中的很多理論已經得到了極大的發展，將最新的理論應用進展和實例引入課堂，既可以滿足學生的好奇心，還可以驅動學生查閱相關文獻，體驗數學的應用之美，獲得自主學習的成就感，讓學生逐步從“被動學習”到“主動學習”再到“獨立學習”的角色轉換。例如，在極限的拓展部分引入分形的介紹；在極值中引入飛行器模擬設計中的應用；在泰勒公式中引入最佳逼近問題；在非線性微分方程中引入混沌現象和深層神經網絡構架設計方面的應用；在講授完向量的數量積后，適時地介紹Google 推出的新聞服務。這種新聞服務與傳統媒體的做法不同，而是由計算機自動整理、分類和聚合各個新聞網站的內容，并不需要人為的干預。其中，關鍵技術就是新聞的自動分類，核心思想便是將一篇新聞轉換為一個向量，再利用數量積求解兩向量的夾角從而確定兩篇新聞的相似度，根據相似度再來進行詳細分類。進一步地，還可介紹網頁和網頁查詢的相關性分析，并推薦相關書籍和文獻讓學生自主查閱、做更深入的了解，這些都將從多角度、多維度、多方面給學生展現高等數學的強大應用，激發他們的學習欲望。

（4）分享高等數學的發展史和數學家的故事，消除課堂教學上的疲倦感。例如，高等數學中出現大量的數學符號和較為形式化、抽象化的定義概念，對于初學者來說甚是不好理解。為了讓學生理解、親近并熟練使用這些符號，在開學的第一堂課我們不僅詳細地介紹了這些符號背后的故事和書寫方法，還介紹了我國和西方微積分的思想萌芽，以及整個微積分的發展歷程，同時將微積分的基本思想和基本內容滲透到微積分的發展史中。在教學過程中，我們還經常穿插重要定理背后的數學家故事，這不僅讓學生對數學概念和數學定理有著更深刻的理解，還能很有效地緩解學生聽課的疲倦感，提高學生的學習效率。例如，在證明完第二個重要極限的存在性和極限值為e 之后，可以借助Matlab 工具來動態的展示極限值的變化過程，并進一步地介紹歷史上研究過e 的數學家的故事及如何計算房貸利率和銀行存款的利率；從日常生活中常見的花瓣、松子中的螺紋和向日葵中的螺紋觀察斐波那契數列，介紹斐波那契數列背后的發展歷史，并逐步引入冪級數的展開，激發學生的學習興趣。

（四）應用混合式教學輔導模式，扎實打好數學基礎

（1）借助學習通、QQ 群等平臺，密切關注學生的學習情況。利用線上作業平臺，例如通過學習通布置課堂練習和課后作業，幫助學生及時鞏固新學的知識點。借助平臺的及時批改和成績發布功能，從每道題目的得分情況逐一去發現、了解學生的學習情況及對知識點的掌握程度，方便在復習講解時有所側重并敦促落后的學生及時趕上。借助線上作業平臺還可以讓學生之間互相批改作業，讓學生當老師，既可以鞏固和提升學生自身的知識水平，還可以讓學生從別人的錯誤中吸取經驗。

（2）周末線下輔導答疑，日常線上答題。學生在學習過程中，難免會遇到難以理解、困惑的知識點和內容，如果沒有及時得到解答會影響他們后續知識點的學習和掌握，也會很大程度上打擊其的學習積極性。除了課堂上鼓勵學生提出問題，及時為他們答疑解惑，我們還在周末不定期地設置了專門的答疑時間和答疑教室，通過這種線下方式的答疑不僅加強了老師與學生的互動，也讓我們及時、清楚地了解到學生的學習情況。由于線下答疑時間的不靈活性，我們還借助現代信息技術，比如學習通、QQ 群、微信群和騰訊會議室等等，只要學生在學習和做題過程中碰到了困難，都可以通過拍照方式上傳到線上，讓我們和其他同學及時獲悉，從而及時回答學生的問題和困難。這些方式可以很好地幫助學生鞏固和掌握所學知識，并探索新知識，從而打下扎實的數學基礎。

三、結束語

高等數學作為新工科建設非常重要的基礎課程，為滿足新工科建設對高等數學知識的實際需求，我們通過多年來對高等數學教學經驗的思考和總結，并結合我校學生的專業特點和知識結構，從培養學生具有扎實的數學理論基礎、較強的實踐應用能力、創新能力和解決復雜實際問題的應用能力出發，提出了一系列的解決方案，并已在教學過程中予以實施，從學生的期中和期末考試成績來看，效果明顯。同時，從課后與學生的交流，我們也發現學生很喜歡這種教學模式。但是仍然存在著一些不足，比如，由于課程總學時的限定，在介紹數學理論最新進展及應用、重要定理的背景和數學家的故事時，由于時間關系不能詳細展開，只能蜻蜓點水，接下來我們將通過定期的數學科普講座來詳細地介紹這方面的內容。總之，新工科的提出更加強調了培養高素質人才的重要性。改進和發展傳統的教學模式，培養學生的探索精神和創造能力，發揮學生在學習過程中的主動性和積極性，使之成為符合新工科需求的高素質人才，我們還需要不斷探索和完善。