基于ABAQUS 的二級減速器箱體有限元分析與回歸分析

馬云睿，張凱杰，郁欽陽，丁超杰

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

減速器箱體的主要作用是支撐傳動系統，在外部和內部激勵的作用下，減速器箱體容易產生振動和彈性變形；當箱體受載過大時，產生的彈性變形會嚴重影響齒輪副的嚙合，導致齒輪動態嚙合力的產生。國內外許多學者對減速器箱體的靜態和動態響應進行研究，魏靜[1]等計算了風電齒輪箱基于內部激勵的動態響應；劉濤[2]等基于ANSYS 優化功能對減速器箱體結構進行優化；陳克[3]等建立車用變速箱箱體模型，并通過ANSYS 對箱體的動態響應進行分析研究；王富民[4]等針對齒輪箱進行諧響應分析，得出不同頻率下的振動響應。

本文以二級減速器為研究對象，建立有限元模型，對箱體進行受力分析，得到箱體的靜態分析結果，證明結構設計的合理性；對箱體施加正弦激振力，進行諧響應分析，探究在各階模態下箱體的響應規律；以箱體肋板厚度和箱體壁厚作為變量因素，對設計工況下的箱體最大彈性變形進行回歸，建立數學模型，得到2 個因素的顯著性程度，為減速器箱體的參數設計提供參考。

1 二級減速器箱體受力分析

1.1 傳動系統結構

傳動系結構如圖1 所示，電機1 輸入的驅動力通過聯軸器2 傳入減速器齒輪箱3 中，減速器采用兩級齒輪傳動，分別為高速級的斜齒齒輪傳動和低速級的直齒齒輪傳動，再經聯軸器4 將動力傳送至負載5。

圖1 傳動系統結構組成Fig.1 Structure composition of transmission system

1.2 減速器各級齒輪基本參數

一級齒輪副：法向模數mn1=1.5，小齒輪齒數z1=22，大齒輪齒數z2=95，螺旋角β=12°，壓力角α=20°；二級齒輪副：法向模數mn2=2，小齒輪齒數z3=25，大齒輪齒數z4=82，螺旋角β=0°，壓力角α=20°；根據各級齒輪參數可以計算得到各級傳動軸的傳動比i12=4.32，i23=3.28。

1.3 各級轉動軸的受力情況

輸入轉矩計算公式：

式中：T——輸入扭矩，N·m；P——輸入功率，kW；Nn——額定轉速，r/min。

已知高速軸的輸入功率是7.2 kW，電機的額定轉速為1 440 r/min，由于齒輪的轉動效率一般可達0.95～0.99，故忽略各級齒輪嚙合產生的功率損耗。各級傳動軸的輸入轉矩通過力學公式計算可得：T1=47.75 N·m；T2=206.28 N·m；T3=676.6 N·m。

齒輪各向受力計算公式：

式中：Ft——圓周力，N；Fr——徑向力，N；Fa——軸向力，r/min。齒輪受力情況如表1 所示。

表1 齒輪受力分布表Tab.1 Force distribution of gears

減速器正常工作時，齒輪所受的合力通過傳動軸至軸承，最后傳遞到箱體的軸承座上，計算可得圓周力與徑向力合力作用下箱體各軸承座的受力情況，以及各個軸承座的受力方向，如表2 所示。

表2 箱體軸承座載荷分布表Tab.2 Load distribution of box bearing pedestal

將軸承座受力轉換成壓強的形式[5]：

式中：F——軸承座所受合力；d——軸承孔直徑；l——軸承座壁厚。

高速軸軸承座直徑為62 mm，中間軸軸承座直徑為80 mm，低速軸軸承座直徑為95 mm，軸承座壁厚為50 mm，齒輪中心距從一級齒輪副到二級齒輪副分別為148.5 mm 和174 mm。求得高速軸軸承座所受壓強為p1=0.25 MPa，p2=0.67 MPa；中間軸軸承座所受壓強為p3=1.50 MPa，p4=1.20 MPa；低速軸軸承座所受壓強為p5=1.14 MPa，p6=0.62 MPa。

2 二級減速器箱體有限元模型的建立

箱體三維模型通過Creo 軟件建立，為保證模擬分析與實際的一致性，模型盡量保留箱體的原始結構特征，如圓角特征、軸承座外表面的錐形特征等。箱體分為箱蓋和下箱體，其尺寸（單位：mm）分別為663×280×168 和663 ×280 ×190。減速箱箱體結構如圖2 所示。再將Creo 中建立的三維模型導入ABAQUS，給模型添加材料屬性并劃分網格，共劃分了129 972 個節點，561 558 個單元。有限元模型如圖3 所示。

圖2 箱體結構圖Fig.2 Box structure

圖3 箱體有限元模型Fig.3 Finite element model of box

箱體材料相關參數如表3 所示。

表3 材料參數Tab.3 Material parameters

3 減速器箱體靜力學模擬分析

3.1 靜力學分析目的

實際工作中，齒輪軸將齒輪傳動承受的載荷作用在滾動軸承上，滾動軸承再將載荷傳遞到齒輪箱，齒輪箱受力發生彈性變形，產生內部激勵，影響傳動性能，因此必須通過靜力分析，預測箱體在正常工作時不發生大變形且不會因應力過大而破壞。

3.2 靜力分析求解結果

由圖4 和圖5 可知，設計工況下箱體的最大應力發生在箱體中間軸的軸承座處，值為8.6 MPa，遠小于箱體材料的強度極限；最大彈性變形發生在箱體中間軸軸承座外緣處，位移值為10 μm，對傳動系統影響較小，說明減速器在該工況下能夠正常運行。

圖4 箱體應力云圖Fig.4 Stress nephogram of gear box

圖5 箱體位移云圖Fig.5 Cloud chart of gear box displacement

4 二級減速器箱體模態分析與諧響應分析

4.1 模態分析目的

模態分析用于計算結構振動特性的數值分析技術，可分析二級減速器箱體結構的固有頻率、固有振型，目的是避免工作時箱體發生共振。其動力學微分方程為

4.2 箱體固有限元模態分析結果

采用ABAQUS 仿真軟件對減速器箱體進行模態分析，得到箱體前6 階固有頻率和振型。在實際工作箱體底板、箱蓋和下箱體通過螺栓連接固定，所以這里求解約束模態：對下箱體底板的螺栓孔處設置固定約束，箱蓋與下箱體通過tie 綁定約束，其結果如表4 所示。

表4 減速器箱體前6 階固有頻率Tab.4 The first six natural frequencies of reducer box

由于篇幅有限，本文只給出一階模態下的箱體振型云圖，如圖6 所示。

圖6 減速箱箱體一階模態振型云圖Fig.6 Nephogram of first mode vibration mode of gearbox

分析結果表明，減速器箱體最低固有頻率為373.3 Hz；減速器正常工作時，高速軸齒輪的轉速為1 440 r/min，轉頻為f1=24 Hz；中間軸齒輪的轉速為333.5 r/min，轉頻為f2=5.5 Hz；低速軸齒輪轉速為101.7 r/min，轉頻為f3=1.7 Hz，都遠小于齒輪箱的1 階模態。齒輪的嚙合頻率分別為f12=528 Hz，f34=139 Hz，沒有與箱體的各階固有頻率重疊，但高速齒輪副的嚙合頻率接近箱體2 階固有頻率，在實際工作中可能會引起共振，為避免這種現象，可考慮優化結構參數或更換材料以改變箱體固有頻率。

4.3 諧響應分析

本文已經對減速器箱體模型做了模態分析得到其固有頻率，現要研究在不同激振頻率下箱體的動態響應，故采用模態疊加法的諧響應分析。諧響應運動方程：

式中：F1，F2——激振力。

已知前6 階固有頻率為373～901 Hz，所以掃頻范圍設置為300～1 000 Hz 求解步數為100 步，正弦激振力的頻域幅值為3 244 N，以軸承載荷的方式施加在輸入軸軸承座上，選取齒輪箱三位置設置節點，如圖7 所示，得到節點振動位移頻域圖如圖8—圖10 所示。

圖7 振動節點位置示意圖Fig.7 Schematic diagram of vibration node location

圖8 節點1 位移頻域圖Fig.8 Frequency domain diagram of node 1 displacement

圖9 節點2 位移頻域圖Fig.9 Frequency domain diagram of node 2 displacement

圖10 節點3 位移頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of node 3 displacement

由圖7、圖8 可知，上箱體在373.3 Hz、901.7 Hz附近時會出現最大振動位移。由圖9 可知，下箱體在373.3 Hz 附近時會出現最大的振動位移，因為電機的額定轉速為1 440 r/min,齒輪嚙合頻率最大為f12=528 Hz，f34=139 Hz，因此減速器在正常工作時輸入轉速應盡量避免1 017 r/min，防止箱體發生一階共振。

5 減速器箱體剛度影響因素分析

5.1 箱體受載剛度影響因素

箱體的工作能力主要取決于剛度，增加箱體的壁厚可以顯著提高箱體的剛度，此外在箱體受力較大的部位設置加強肋增加肋板厚度，可顯著增加箱體的剛度[6]。

5.2 數據來源

通過參數化箱體模型，以箱體壁厚和加強肋厚度作為實驗因素，以箱體的最大變形為實驗指標，構建2 因素4 水平實驗得到16 組實驗數據，如表6 所示。

表5 因素水平表Tab.5 Factor levels

表6 箱體變形實驗數據表Tab.6 Experimental data of box deformation

5.3 數學模型建立

基于上文實驗數據，記箱體的最大變形量為y，肋板厚度為X1，箱體壁厚為X2，構建最大變形量與各影響因素之間的回歸模型。

首先假設箱體正常工況下最大彈性變形量y與各因素之間是多元線性回歸模型：

利用統計軟件Stata 進行求解，得到的回歸結果如圖11 所示。

圖11 Stata 回歸分析結果圖Fig.11 Results of Stata regression analysis

利用Stata 回歸功能得到各回歸系數為β0=13.652，β1=-0.03，β2=-0.449，且β1對應的P值為0.02＜0.05，β2對應的P值為0.00＜0.05，因此β1與β2顯著不為0；同時檢驗回歸模型的3 個統計量：擬合優度R2=0.99，檢驗值F=738，檢驗值F對應的P值為0.00，由于擬合優度高達0.99，表明回歸模型式（8）可以比較準確地反應X1與X2對y的影響程度。

5.4 回歸結果分析

由回歸模型可知，當箱體其他參數不變時，肋板厚度增加一個單位量，箱體在正常工況下最大變形減少0.03 μm，箱體壁厚增加一個單位量時最大變形量減少0.45 μm；該回歸模型也反映出箱體厚度對影響箱體彈性變形具有更大的顯著性，對減速箱箱體剛度優化提供了理論依據，對減速器箱體結構設計具有指導意義。

6 結論

（1）對設計工況下的箱體進行靜力分析，可知箱體的最大彈性變形量為10 μm，最大Mises 應力為8 MPa，遠小于鑄鐵的強度極限，證明設計參數的合理性。

（2）基于箱體前6 階模態分析結果進行諧響應分析，得出結論：箱體的第1 階、第5 階和第6階模態下箱體的振動響應最明顯，在工作時應盡量避免箱體的1 階、6 階固有頻率，因此減速器在正常工作時輸入轉速應盡量避免1 017 r/min，防止箱體發生1 階共振。

（1）以箱體肋板和壁厚作為變量因素進行2因素4 水平全因子實驗，得到不同結構參數下箱體最大變形數據，建立數學模型，得到結論：箱體的肋板厚度和壁厚均對箱體的剛度有顯著性影響，且壁厚的顯著性要大于肋板厚度，為同類減速器的剛度優化提供了理論依據。