重視“含參”問題教學(xué)，理解螺旋上升要求
——以人教版七年級上冊教材習(xí)題為例

鄧厚波

(江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇海安，226600)

學(xué)生從小學(xué)進(jìn)入初中后，首先經(jīng)歷了有理數(shù)系和實(shí)數(shù)系的兩次數(shù)系擴(kuò)充，進(jìn)而研究數(shù)系擴(kuò)充后的運(yùn)算；接著就是系統(tǒng)研究字母表示數(shù)，從數(shù)到式后，又分別研究整式及運(yùn)算、分式及運(yùn)算、二次根式及運(yùn)算，這些數(shù)、式的運(yùn)算與變形的技能是學(xué)習(xí)方程和函數(shù)的基礎(chǔ)．以上都是初中階段代數(shù)研究的主要問題．貫穿在代數(shù)學(xué)習(xí)歷程中的還有一類重要的數(shù)學(xué)習(xí)題，那就是“含參”問題，從七年級到九年級，可謂在代數(shù)學(xué)習(xí)全過程，也是值得我們重視的，而且“含參”問題在不同年級的出現(xiàn)和分布也體現(xiàn)了螺旋上升的教學(xué)要求．本文以人教版七年級上冊教材的一些典型“含參”習(xí)題為例，談?wù)勎覀儗@類問題的教學(xué)理解．

1 七年級上冊教材中“含參”問題及教學(xué)理解

案例1(摘選自《有理數(shù)》)計(jì)算(-2)2，22，(-2)3，23.聯(lián)系這類具體數(shù)的乘方，你認(rèn)為當(dāng)a<0時(shí)，判斷下列各式是否成立？

(1)a2>0；(2)a2=(-a)2;(3)a2=-a2;(4)a3=-a3.

教學(xué)理解：這道題從特殊到一般，讓學(xué)生對比互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的平方、立方的結(jié)果有怎樣的關(guān)系，然后針對負(fù)數(shù)讓學(xué)生判斷4個(gè)等式是否成立．問題的本質(zhì)是讓學(xué)生研究、歸納出負(fù)數(shù)的乘方的符號規(guī)律，教材在此前學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算時(shí)已用“文字語言”進(jìn)行過小結(jié)，但并沒有給出符號表示，在習(xí)題中進(jìn)行滲透符號表示的意識，這樣一種“安排”值得研究和細(xì)思．還有，值得注意的是，這里的字母就不再是一個(gè)常量，而成為一個(gè)變量，參數(shù)的味道在《有理數(shù)》這一章就已顯現(xiàn)出來．

案例2(摘選自《有理數(shù)》)結(jié)合具體數(shù)的運(yùn)算，歸納有關(guān)性質(zhì)，然后比較下列數(shù)的大小：

(1) 小于1的正數(shù)a，a的平方，a的立方；

(2) 大于-1的負(fù)數(shù)b，b的平方，b的立方．

圖1

教學(xué)理解：解題方法仍然是先舉例運(yùn)算后比較大小，再歸納出它們的大小規(guī)律．由于初步認(rèn)識一個(gè)限制范圍內(nèi)正數(shù)的平方與立方的大小比較，所以教學(xué)時(shí)只需要學(xué)生舉幾個(gè)例子，然后進(jìn)行歸納即可，這時(shí)還不能進(jìn)行更一般的演算證明，這也是螺旋上升的一個(gè)重要特征．比如，隨著以后函數(shù)的學(xué)習(xí)，借助函數(shù)圖象還可進(jìn)行更加形象直觀的解釋(如圖1)．

案例3(摘選自《整式加減》)一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是a，十位上的數(shù)是b．

(1) 列式表示這個(gè)兩個(gè)數(shù)．

(2) 這個(gè)兩位數(shù)與它的10倍的和是11的倍數(shù)嗎？

教學(xué)理解：進(jìn)入《整式加減》一章之后，難度比《有理數(shù)》稍稍增大，具體來說，有理數(shù)一章還是先從具體的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后再猜想性質(zhì)，走向一般的歸納概括，而用字母表示數(shù)之后，引出整式的概念和整式加減，則像這道題就不再安排具體的數(shù)字，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的整式的加減進(jìn)行運(yùn)算分析，得出的結(jié)果中分析出“公因數(shù)”11即可判斷，它們的和是11的倍數(shù)．可以發(fā)現(xiàn)，這里不但需要整式加減運(yùn)算的能力，而且最后的“提取公因數(shù)”是逆向運(yùn)用乘法對加法的分配律，也是為八年級學(xué)習(xí)提公因式法因式分解進(jìn)行的必要準(zhǔn)備和知識鋪墊．

案例4(摘選自《整式加減》)甲地的海拔高度是hm，乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，列式表示乙、丙兩地的海拔高度，并比較這兩地的高度差．

教學(xué)理解：這里的先安排列式表示乙、丙兩地的海拔高度還是為比較兩地高度差做的必要鋪墊式問題，在此鋪墊設(shè)問基礎(chǔ)上可以作差比較，從而運(yùn)用整式加減可以合并同類項(xiàng)，消去h，得到兩地高度差是一個(gè)常數(shù)．這個(gè)問題的在小學(xué)階段也曾出現(xiàn)過，比如一道相對較有難度的小題習(xí)題是：已知乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，請比較這兩地的高度差．小學(xué)生當(dāng)時(shí)的處理方法是算術(shù)方法，直接列式20+30=50．但是這種算式的道理解釋不如上面的“案例4”來得更好理解．這也就是說，隨著學(xué)習(xí)的深入，新概念、新工具的引入，過去曾經(jīng)理解有困難的問題，可以獲得更加自然、簡單、更有說服力、更具推廣性的處理．這也正是我國著名數(shù)學(xué)家李大潛院士指出的“數(shù)學(xué)愉悅感”的源泉．

案例5(摘選自《整式加減》)把(a+b)和(x+y)各看成一個(gè)整體，對下列各式進(jìn)行化簡：

(1) 4(a+b)+2(a+b)-(a+b);

(2) 3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y).

教學(xué)理解：“看成整體”是一種十分重要的數(shù)學(xué)能力或處理問題的著眼點(diǎn)，從七年級《整式加減》開始，教材上就這樣設(shè)計(jì)習(xí)題，引導(dǎo)師生重視“看成整體”的解題策略．這方面的題例有很多，這里可分別列出以下幾道體現(xiàn)“看成整體”的一些題例，看看它們在不同年級的考查形式是怎樣的？

例1：(七年級)如圖2，數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對應(yīng)數(shù)a，b．其中a<0，b>0．

圖2

若該數(shù)軸上另有一點(diǎn)M對應(yīng)著數(shù)m．當(dāng)m=2，b>2，且AM=2BM時(shí)，求代數(shù)式a+2b的值．

解讀：這里雖然a，b都沒有給出具體的數(shù)值，但是根據(jù)“形”(線段之間)對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，可以列出它們對應(yīng)的等式(運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式)，再進(jìn)行等式變形即可整體獲得a+2b的值．

例2：(八年級)我們知道，可以利用“楊輝三角”展開(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，那么代數(shù)式a1+a2+a3+a4=．

解讀：如果“真的”利用“楊輝三角”展開后再求代數(shù)式的值，用時(shí)較多，如果能想到賦兩個(gè)特殊值0，1，分別代入原等式，就可整體求解，快速解答．這里雖然是一種技巧解法，卻也是認(rèn)真觀察問題的題設(shè)與結(jié)論的特點(diǎn)，而獲得的一種優(yōu)解、簡解．在這里，眼力的高低決定了算法的繁簡．

2 關(guān)于“含參”問題教學(xué)的進(jìn)一步思考

第一，研究學(xué)段內(nèi)各冊教材，梳理“含參”問題的分布情況

研究教材是很多老師在開設(shè)公開課或階段命題制卷時(shí)都會重視的一項(xiàng)基礎(chǔ)研究，然而教材研究還有一個(gè)重要的關(guān)注點(diǎn)，就是對比研究學(xué)段內(nèi)各冊教材，將各冊教材中都會關(guān)注的一些共性問題、經(jīng)典問題[1]，梳理出來，深入對比研究．像上文我們關(guān)注的“含參”問題，在不同年級的教材中，都有大量的分布，如果能全面梳理出來，對比研究，就能找準(zhǔn)教學(xué)的重點(diǎn)，在新授課教學(xué)的例題選編、作業(yè)設(shè)計(jì)、單元命題制卷時(shí)，都會重視這類問題的設(shè)計(jì)和考查．就不會被一些“網(wǎng)紅題”帶偏選題方向，而能夠找準(zhǔn)教學(xué)的用力點(diǎn)．

第二，把握各年級教學(xué)要求，通過“含參”問題來傳遞方法

在研究、梳理出各年級教材中“含參”問題之后，一個(gè)重要的研究工作就是要對比“含參”問題在各年級的教學(xué)要求，這樣可以在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)做好選題改編的難度控制，既不要人為拔高，也不要用大量雷同的同類題讓優(yōu)秀學(xué)生“空轉(zhuǎn)”訓(xùn)練．此外，另一個(gè)選題與講評的重要追求是，通過這些“含參”問題的訓(xùn)練來向?qū)W生傳遞解題方法，比較重視“回到定義去解題”，重視“數(shù)形結(jié)合”，重視“分類討論”，等解題思想方法．

第三，重視復(fù)習(xí)課選題研究，“含參”問題可作為復(fù)習(xí)主線

復(fù)習(xí)課有很多類型，比如單元復(fù)習(xí)、章末復(fù)習(xí)、期中復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)、中考一輪復(fù)習(xí)、中考二輪復(fù)習(xí)、中考專題復(fù)習(xí)等等，這些不同階段的復(fù)習(xí)課中，往往也會出現(xiàn)“含參”問題的身影，但是如果將“含參”問題作為一個(gè)復(fù)習(xí)主線進(jìn)行構(gòu)思，研究“含參”微專題復(fù)習(xí)課就是值得嘗試的一類課型了．比如，在七年級期末復(fù)習(xí)時(shí)，“含參”微專題復(fù)習(xí)課就要兼顧“含參”問題在不同章節(jié)中的分布，比如有理數(shù)中“含參”問題有哪些類型，比如整式加減或一元一次方程中“含參”問題，再比如以“含參”問題“聯(lián)通”不同章節(jié)的綜合題，等等．當(dāng)然，這樣的微專題復(fù)習(xí)課目前在中考復(fù)習(xí)階段比較多見，在七、八年級的階段復(fù)習(xí)課中還值得進(jìn)一步研究．