HPM視角下數學現象選用原則的研究
——以基本不等式的概念教學為例

顧衛清

(蘇州市吳江盛澤中學，江蘇蘇州，215228)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出：“精選課程內容，處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系，強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力”，“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.”“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.”

這里提到“創設合適的教學情境”，是指什么？怎樣的教學情境是適合的，能培養學生問題意識的形成，能啟發學生思考，提升學生綜合素質，提升學生的數學素養？

本文以“基本不等式的概念教學”為例，來闡述HPM視角下數學現象選用原則.

1 什么是數學現象

同一個物體或事件，用物理的眼光看就是物理現象，用化學的眼光看就是化學現象，用語文的眼光看就是語文現象，用數學的眼光看就是數學現象.教學中合適的教學情境筆者認為可以看成是現象，它是用來觀察和思考的，所以數學現象須能指向數學活動.宇宙、戰爭、經濟、娛樂乃至愛情，只要能用數學的眼光去觀察它、用數學的思維去思考它，那都是數學現象.

在沒有數學的地方發現數學，那個現象就是好的數學現象；在有數學的地方卻不能啟發問題意識、不能啟動數學活動，那個現象就不是數學現象.

把客觀事實呈現給學生，讓他們用數學的觀點進行觀察和研究，這個事實就成了學生眼中的數學現象.這里的“客觀事實”可以是生活中的事實，也可以是數學中的事實，也可以是為了教學需要而虛構的事實，或者說就是合適的教學情境，但其中的數學問題是隱含的而不是外顯的，其中的數學結構是符合學生數學現實的.

2 “基本不等式的概念教學”教案

2.1 教材分析

本節課是《普通高中教科書·數學必修第一冊》第二章2.2《基本不等式》中的內容.根據任教學生的實際情況，將《基本不等式》劃分為兩節課(探究基本不等式的證明，基本不等式及其應用)，這是第一節課“基本不等式的概念”.基本不等式是不等式中的重要不等式，應用它不僅可以證明不等式，同時在生活及生產實際中，基本不等式是解決函數最值問題的有力工具，體現了基本不等式探究的重要性.

2.2 學情分析

基本不等式是在學生學習了等式性質與不等式性質的基礎上，對不等式性質及證明的應用.學生有一定的基礎，如解一些簡單的不等式，研究簡單的不等式性質等問題，這次的教學建立在學生已有知識層面的基礎上，進行進一步的探究和活動.

2.3 設計思路

(1) 從數學歷史背景中提出相關數學問題，引起學生的活動.在活動中，學生會面臨一個認知沖突，通過此沖突提升學生持久的好奇心，加強他們的活動強度和思維深度，進而體會數學本質.再通過師生互動，完成數學理論的建構.最后通過對新知識的應用，實現知識的同化，形成新的技能，建構新的認知結構.

(2) 通過活動讓學生真正地成為教學過程的主體，力圖讓學生從不同的角度去探究基本不等式的證明，讓學生體會到基本不等式不僅是一個簡單的式子，而且具有豐富的幾何意義，另外也從一定程度上培養數形結合的思想方法和思維方式.

(3) 在教學過程中力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握一些學習、研究數學的方法.

(4) 感受數學文化的影響并體會分類討論和數形結合的研究方法，以便能將其遷移到其它不等式與數學知識的研究中去.

2.4 教學目標

(1) 知識與技能：掌握兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數的定理，并學會用代數法和幾何法進行基本不等式的證明，以及掌握基本不等式等號成立時的條件，并初步學會運用定理解決一些簡單問題.

(2) 過程與方法：通過對比，轉化等方式，借助數學結合等思想，培養學生觀察、試驗、歸納以及分析問題、解決問題的能力.

(3) 情感態度與價值觀：體會數與生活的聯系，學會嘗試，學會勇敢，更要學會用科學嚴謹的態度學習知識，并學會用發展的眼光看待問題.

2.5 重點難點

重點：多角度證明基本不等式

難點：基本不等式的條件和內涵的理解

2.6 教法學法

以學生為主體，教師為主導，引導啟發學生進行自主、探究、合作的學習，通過師生、生生的互動和交流獲得知識，提升能力，達成學習目標.

2.7 教學過程

2.7.1 回首與展望

●公元前5世紀古希臘哲學家修昔底德(Thucydides)通過繞島航行一周所需時間來估算西西里島大小.

●公元1世紀，博物學家普林尼根據周長來估算不同地區的面積.

●公元5世紀的公有制社會里，有人將周長大的土地分給他人，被視為大公無私.

問題1：你覺得他們的做法是否可靠？為什么？

設計意圖：從數學歷史上的實例出發，引發學生的探索新知的積極性和欲望，這樣的例子貼近生活，也符合學生的認知規律，在學生的最近發展區設置問題，能最有效地讓學生進入狀態，達到預定的效果，也體現了數學來源于生活，又實踐于生活的本質.

2.7.2 直面感知

問題2：如何從實際操作層面出發，將上述轉變為“數學問題”，將“抽象推理”轉化為“數學模型”？

請同學們嘗試將周長為100厘米的繩子圍成不同的矩形，并通過計算說明其面積是否相等？

問題3：請問通過上述兩圖你能得到什么樣的結果？

設計意圖：通過觀察、建模、試驗、歸納、討論等方式活動，從一定程度上更好地激起學生探索的欲望和學習的興趣，強化和培養學生分析問題和解決問題的能力.而此結論的得出順理成章，也為接下來研究基本不等式的形式做下鋪墊和提示，為本節課的重難點的突破打下堅實的基礎.

2.7.3 現象解析

問題4：請問周長都是100的矩形，何時面積最大？

上述問題可轉化為：設圍成的矩形長為a，寬為b，求S=ab的最大值

解：S=ab=a(50-a)=-a2+50a=-(a-25)2+625

利用二次函數的最值即可求得當a=25時面積最大.

也就是說周長固定時，圍成的正方形面積最大.

換而言之：在長方形的情形中，長和寬分別為a和b的長方形的面積不超過等周正方形的面積.

2.7.4 規范化

問題5：這里的a，b有何條件的限制？(a≥0，b≥0)

問題6：這個不等式中的等號何時才能成立？(當且僅當a=b)

設計意圖：設置連續的，有層次的問題，層層遞進，讓學生腳踏實地，步步為營，從而得出基本不等式的形式、成立的條件，從本質上認識基本不等式的形式和內涵.

2.7.5 結構化

那誰來試試，證明基本不等式？

法1：作差法(需詳細解答)

法2：分析法(書本上有，一帶而過)

法3：綜合法(書本上有，一帶而過)

法4：幾何法(學生自行看書上幾何圖象并理解)

設計意圖：在充分認識了基本不等式的基礎上，進行嚴格的證明和推理，強化基本不等式的條件，特別是證明方法的選用上采用多角度、多方位、多形式進行研究，讓學生對基本不等式產生強烈的視覺和心理沖擊，起到牢記并理解的效果.

2.7.6 應用拓展

設計意圖：例1的設置主要是為了讓學生熟悉和深化基本不等式的形式，并進行簡單的變形運用，而從學生自編題中可能會發現一些問題，如正數、如“等號”是否能取到的問題等，使知識得到強化和提升.

例2已知x，y都是正數，求證：

設計意圖：例2的設置符合本節課的要點，這里特別強調配湊的思想以及當且僅當等號成立條件的書寫要求.為接下來學習基本不等式的應用做好鋪墊.

2.7.7 回顧小結

回顧今天的學習，你學到了哪些？

今天這節課給你印象最深的又是什么？

設計意圖：本環節中讓學生進行總結并補充提煉，讓學生談談自己的看法或想法，這樣讓學生自己去回顧本節課的主要內容和需要注意的重點難點，再一次將本節課的精髓快速呈現，這比教師總結要好得多.

3 為什么要提出在HPM視角下選用數學現象

常規課堂下的現象教學已形成相關的課堂范式，而課堂實施的“藥引”即現象需教師提供，如何提供合適的現象，激發學生好奇心，引發學生思考，主動提出問題、困惑，觸發學生體驗的欲望，使知識的生成過程在學生親身體驗中將起到助推的作用.

3.1 從歷史上探尋適合的數學現象

數學史能讓師生感知：數學是一門不斷演進、人性化的學科，而不是僵化的真理系統；能培養堅持真理、不懈探究、提出問題、追求創新的品質；能告訴師生面對挫折、失敗和錯誤，不必灰心喪氣.從數學發展的歷史長河中，選取適合的數學現象能充分激發學生學習興趣，創造學生學習動機.

3.2 從現象中探尋適合的數學現象

如果把例題的條件和任務一次性呈現出來，它就是一個題目；如果把題目進行適當的分段呈現，只呈現條件，而不呈現任務，它就是一個現象.HPM視角下，選擇與學生在現實世界經歷過的現象有關的實際問題，能更好地促進學生對數學的學習.

3.3 從文化中探尋適合的數學現象

知識是一個整體，數學是整個整體的一部分.每一個數學概念都是這個時代更廣闊的文化運動的一部分.HPM視角下，教師融入數學史，使學生從數學的孤島中走出來，從文化中探尋適合學生發展的路徑、讓學生領略數學文化的無窮魅力.

4 選用原則

4.1 好奇心原則——數學現象的選用須始于尋求激發數學學科興趣

人天生具有好奇心，好奇心能激發人類對事物本質認識的追求.本案例中選用估算西西里島大小的現象，容易讓學生和現在估算大小的辦法進行比對，同時非常好奇古時候的人類工具還不充分、知識原理還不成熟的時候是如何進行估算的，這就將學生的好奇心進行激發，激勵學生探究其奧秘.

我們知道，世界現象很多，與基本不等式關聯的數學現象自然也不少，本案例中提到的案例：“公元5世紀的公有制社會里，有人將周長大的土地分給他人，被視為大公無私.”如何解讀，如何說明其公正性，這是與現實緊密結合在一起的，也許學生之前也有人這樣認為，粗想感覺沒錯，周長越長，理論上講面積不是越大嗎？難道不是嗎？人天生的好奇心油然而生.

4.2 自主性原則——數學現象的選用須注重于學生問題意識的培養

如何將周長越長，理論上講面積不是越大的問題進行說明？借助同伴的討論，需要尋找反例即可得到證明？那反例又是如何產生，如何將實際問題進行數學化？愛因斯坦說過，提出問題比解決問題更重要.目前我們能比較快捷地求哪些幾何圖形？答案首選是規則的圖象，譬如三角形、四邊形、圓形等，這是學生已有的認知，借助已有認知逐步進行量化，從而請同學們嘗試將周長為100厘米的繩子圍成不同的矩形，并通過計算說明其面積是否相等？學生通過列舉發現面積可以不等，從而逐步清晰的解決了之前的疑問？而同學們的疑惑或者老師的追問，何時面積最大？引出本節課題.在學生提出問題的時候，情感其實已經調動起來了，認知也有了基礎，學生自主的產生往往伴隨著強烈的問題意識.

4.3 過程性原則——數學現象的選用須注重于學生知識生成的體驗

怎樣促進學生生成呢？回到問題本身！讓學生直面他所要認識的世界，即為何有人將周長大的土地分給他人，被視為大公無私.這種說法正確嗎？產生求知的欲望，然后自己感知到問題的存在、自己提出問題.

數學源于生活，又高于生活.從實際生活中得到的現象，如何從實際操作層面出發，將上述轉變為“數學現象”，將“抽象推理”轉化為“數學模型”？我們在此處由學生自主探究，將之問題轉化為數學模型，具有可操作性，轉發為將周長固定的繩子圍成不同的矩形，并通過計算說明其面積是否相等的問題，并用具體的矩形圖形將之具體化、圖形化，更直觀的給予表達，讓學生親身體驗知識生成的過程.從這個角度看，學習歸根結底還在于學習者本人，老師只能起到輔助的作用.

4.4 文化原則——數學現象的選用須注重與其他領域的有效聯系

我們在解決周長固定的繩子圍成不同的矩形，并通過計算說明其面積是否相等的問題過程中，是學生已有的認知層面，即二次函數的最值問題，從而問題得到解決，在此基礎上引出基本不等式，使之兩者緊密串聯在一起，也為基本不等式的證明埋下伏筆.

數學現象比數學問題更貼近學生的生活經驗，它直接立足于學生的數學現實.由此出發而進行數學化，可以把學生的思維前伸，把思維的根扎進生活的土壤.這樣，一可補足“標準化”的數學問題所留下的空當，架起溝通生活與數學的橋梁，給學生帶來更直接的數學體驗、積累更鮮活的數學活動經驗，二可提高學生的數學化和再創造能力.

通過數學史與數學教育，探尋適合新教材的新授課、復習課的數學現象，這些現象可以給學生提供數學與現實生活密切聯系的例子，可以讓學生體會數學的價值，從中獲得良好的數學體驗，從而形成正確的數學觀.

堅持上述原則，提供一個適合的數學現象，能很好地生成相關知識，而且讓學生經歷知識的生成，這使學生掌握的知識具有鮮活的生命力.

5 結束語

致力于把數學現象呈現給學生，使學生用數學的觀點進行觀察和探究，教學中要不斷喚起學生的好奇心、質疑、批判和探究的意識，從而達到知識的自然生成.在數學現象面前，學生可以突破“套題型、背解法”的屏障，把思想自由放飛，到外面去找到更廣闊的天空.