淺析數形結合在中學數學解題中的應用

魏 蘋

(福建省福州江濱中學，福建福州，350015)

社會在高速發展，新時代的科技水平不斷推動著我國教育事業前進的步伐.一個嶄新的教育理念形成的今天，社會也對學生提出了更高的要求.學生不僅要學好教材中的內容，還要有較高的數學思維能力.數形結合在中學數學中，是一種最直接的教學方式.數學反映著許多實際生活中的數量關系和幾何關系，也就是我們口中所說的數和形.他們之間是相互聯系，自然也是可以相互轉變的.數在概念上解釋讓人覺得十分抽象，而形則是客觀直接體現出來的.可是他們之間又有著十分緊密的聯系.數代表著數量，而形代表著直觀.那什么是數形結合呢？其概念就是他們之間的確立的關系，通過互相轉換來解題的方法.所以，在平時的課堂上，教會學生學會運用數形結合的方法來解決問題，使學生在運用中不斷開發數學解題思路，提高對于數學的學習興趣[1].

1 數形結合在方程與不等式問題中的運用

我們在求解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等的時候，可以在一個平面的直角坐標系里面的一次函數所關聯的直線為線索的解法，這樣的解法稱為圖形解法.

1.1 利用數形結合中的圖形來解一元一次方程

題1解方程3x-6=0.

遇到這樣的題目，我們可以在坐標系中畫出與方程相應的一次函數y=3x-6的圖象，函數值y=0的時候也就是圖象與x軸相交的點，那這個點就是我們所求的答案.

解：如圖，在坐標系中，我們把直線y=3x-6畫出來，隨后我們觀察這幅圖，知道直線y=3x-6和x軸相交于點(2，0).因此，3x-6=0的方程解為x=2.

1.2 利用數形結合中的圖形來解一元一次不等式

題2解不等式-2x+4<0.

面對一元一次不等式，我們要找出相應的一次函數.那么不等式-2x+4<0相應的一次函數是y=-2x+4.那我們在根據數形結合中的圖形來觀察，當x等于多少的時候，直線上的點會出現在x軸的下面呢？

解：我們先在坐標系中把y=-2x+4的直線給畫出來，隨后我們觀察這幅圖，在x>2的時候，y=-2x+4的點出現在x軸的下面，所以我們從圖形上可以得知，不等式-2x+4<0的答案為x>2.

我們用數形結合的思路來解方程與不等式，首先要做出它們對應的一次函數圖象，再觀察圖形就可以得到我們想要的答案.觀察圖形的辦法最能直接體現數形結合的思路.[2]

2 數形結合在有理數問題中的運用

有理數運算中，最基礎的題目就是有理數加減，而且這種題目也是在平常習題中十分常見的類型.因此如何掌握用數形結合的思想來解決有理數加減問題，就成了學習的關鍵.

題3在東西方向的道路上，小猴第一次跳了2 m，第二次跳3 m，這時候小猴處于原來位置的什么方向呢？距離又是多少m呢？

在這道題目中，我們可以得到如下的結論：

A. 小猴朝西第一次跳2 m，再朝西第二次跳3 m，小猴這時候距離原來地方是5 m.

B. 小猴朝東第一次跳2 m，再朝東第二次跳3 m，小猴這時候距離原來地方是5 m.

C. 小猴朝東第一次跳2 m，再朝西第二次跳3 m，小猴這時候距離原來地方是1 m.

D. 小猴朝西第一次跳2 m，再朝東第二次跳3 m，小猴這時候距離原來地方是1 m.

這時候，我們畫出數軸來表示.

可以在數軸中觀察出，小猴所處的位置在A、B、C、D.所以一些看上去條理很復雜的題目，通過數形結合畫出數軸就很直觀地發現答案，這樣解題更加的方便快捷，并且準確率極高[3].

與此類似的方法在另外一道練習中也出現了：

題4假設a、b兩個數在數軸上如圖所示，a+b0，a+(-b)0，(-a)+b0，(-a)+(-b)0.

像這樣的題目，我們可以用數形結合的思路作為解題的切入點，根據數軸，我們可以觀察出，a+b>0，a+(-b)<0，(-a)+b>0，(-a)+(-b)<0.

任何一個有理數可以用數軸上面的一個點來表示，在運用數形結合的思路，觀察數軸上的點的位置之間有什么關系，就可以很清楚地呈現出來.數軸可以讓不清晰的題目清晰地表達出來，讓難解的問題變得清楚明白.

3 數形結合在解決三角形面積中的運用

在隨堂練習中，一些學生看到三角形就感覺這個圖形認識他，可是他對這個圖形就是找不到解題的思路.那我們可以用以下兩種方法來輕松解決三角形面積的問題.第一種方法是：我們可以先畫一個直角坐標系，再在直角坐標系中，畫出該三角形，我們用割補法進行解題；第二種方法是：我們畫一個正方形或者長方形，再在中間畫出該三角形.可是這種方法只能用在能用勾股定理求解的三角形面積的問題中[4].

題5如圖，P是正方形ABCD內一點，如果P到CD是10，PA=PB=10,那么求△APB的面積.

解：∵過點P作EF⊥AB于E，交于CD于F，

∴PF⊥CD，PF=PA=PB=10,E是AB的中點.

設PE=x，那么AB=FE=10x，

∵E是AB的中點，

∴AE=1/2AB=1/2(10x).

∵Rt△PAE中，PA2=PE2AE2，

∴102=x2[1/2(10x)]2，

∴x=6，

∴PE=6,AB=16，

∴△APB的面積是16×6÷2=48.

我們在思考這道題目的時候，可以先在點P畫出垂線，過點P作EF⊥AB于E，交于CD于F得到了Rt△PAE.這時候我們要求△APB的面積，就只要算出AB和PE的長就可以了.那我們觀察圖形，先設PE=x，那么AB=FE=10x，這樣我們就輕而易舉算出了AE，Rt△PAE中，PA2=PE2·AE2，將數字代入這個方程，就可以算出AB和PE的長，知道了三角形的兩邊，求面積就特別簡單.

4 數形結合在方程應用題中的運用

中學的方程應用題是一個難點，面臨著雜亂的題干，學生就是找不出數量關系.我們可以將數量關系用圖的形式表現.比如：線段、表格等.這樣讓學生更好地梳理題干中的雜亂成分，使之借助圖形體現出直觀性.

題6根據圖片顯示，在電腦屏幕上出現的矩形圖，是6個正方形組合而成的，中間最小的一個正方形的邊長是1，那么這一整塊的正方形的面積是多少？

解：設右邊兩個相等的正方形的邊長為x.那么，我們按順時針的方向就可以知道其他三個正方形的邊長分別是：x+1,x+2,x+3.我們知道矩形的對邊是相等的，所以得出x+x+(x+1)=(x+2)+(x+3)，算出得數x=4.因此(x+2)+(x+3)=13，(x+2)+(x+1)=11.

所以13×11=143.答：矩形的面積為143.

像這樣的題目，我們應該先觀察圖，題干中除了邊長為1的正方形，還有5個正方形，其中有2個的大小是一樣的，那么我們根據數形結合就可以得知順時針方向上的正方形的邊長依次大1.

5 數形結合在集合問題中的運用

在歷年的數學練習試題中，或多或少的出現關于集合的題目.那我們在解題的思路中，就要想到利用數軸或者韋恩圖來思考.圖示法也可以解決集合問題.對于一些不知道從哪里入手的集合問題來說，我們可以用韋恩圖、數軸、圖表等來加以輔助，這樣找到解題思路，就可以把無從下手的題目撥開云霧，讓解題更加簡便.

題7已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6<0}則M∩N為

( )

A. {x|-4≤x<-2或3

B. {x|-4≤x<-2或3≤x<7}

C. {x|x<-2或x>3}

D. {x|x<-2或x≥3}

這道關于集合的試題，我們在構思中可以想到用一元二次不等式的解集來進行運算，再把數軸畫出來，用形來輔助數，這樣我們可以得出這道題目的選項是A.

6 數形結合在幾何證明中的運用

我們在幾何的題目中，要把數字和數軸上的點相對應、函數和圖形相對應，在條件中的等式、代數式都明確有幾何的意義.題目中給出的條件里面有幾何圖形的時候，都相應有代數的體現，他們之間可以相互轉換[5].

題8如圖，OC是∠AOB的平分線，在OC上的P點，PE⊥OB，PD⊥OA，點E和點D分別垂足.求證：PE=PD.

解：∵PE⊥OB，PD⊥OA，點E和點D分別垂足，

∴∠PEO=∠PDO=90°.

∵OC是∠AOB的平分線，

∴∠1=∠2，又OP=OP.

∴△PDO≌△PEO.

∴PE=PD.

這道題目的關鍵在于角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.通過數形結合的方法，我們很快可以得知，這兩個三角形全等，那么這兩個三角形相對應的邊肯定也是相等的.這樣我們把抽象的幾何圖形具體化地呈現出來，利用圖形找出他們之間的關系.

7 數形結合在線性規劃問題中的運用

相信許多學生對于線性規劃這個詞比較陌生，那我們先來理解下什么叫做線性規劃.首先，我們把要解的最大值、最小值的函數的變量滿足的不等式組叫約束條件.其次，要是變量的一次函數，就稱為線性目標函數.要是約束條件是不等式的話，那就叫線性約束條件.在線性約束條件中，求最大值、最小值，叫線性規劃問題.最后，要是滿足線性約束條件下的解(x，y)叫可行解.在解線性規劃題目的時候，我們一般先列出未知數、約束條件、目標函數，再畫出可行域，然后將目標函數變成直線方程，平移直線，直線的交點就是我們所要的答案.

( )

A. 10 B. 12

C. 14 D. 15

許多學生面對這種題目，沒有一點頭緒，無從下手.有的甚至連題目都看不懂.面對這樣的題目，我們先要保證看清題干，把線性約束條件的可行域給畫出來，最后確定最優解，就可以得出目標函數z=3x+y的最大值.

解：如圖，我們先把線性約束條件的可行域給畫出來，觀察圖形可以得出最優解是(3,1)，所以這道題目的答案是10，所以選A.

8 數形結合在函數問題中的運用

在數學題中，我們要是遇到函數問題，我們可以用圖形來作為切入點，圖形中的幾何的特點和函數有著密切的關系.

8.1 數形結合解決函數的定義域

在練習中，學生看到函數的定義域問題，頭腦就開始不清晰.這時候，我們要做的是把函數中有意義的條件給找出來，再用適合的圖形把它表現出來.

題10已知函數f(x)的定義域是[a,b]其中a<0b,求函數g(x)=f(x)+f(-x)的定義域.

這道關于函數的試題，我們的思路是：如果g(x)的定義域為M,f(x)和f(-x)的定義域分別為A、B，那么M-AnB，我們可以在數軸中知道要求的是哪里.

解：∵函數f(x)的定義域為[a,b]，

∴a≤x≤b.

∵要讓f(x)有意義，

∴a≤-x≤b，

∴-b≤x≤-a.

∵a<0

∴-b<0<-a.

∵|a|>b>0，

∴a<-b.

∵函數g(x)的定義域{x|a|≤x≤b}n{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.

如果這種題目在考試中以選擇題的形式出現，那就更簡單了.都不用去一步一步計算，運用圖形就可以做出來了.

8.2 數形結合解決函數的值域

有些數學考試的題型中，題目本身給出了定義域，讓考生去求值域的題目.考生要是直接算，就不知道該從哪里算起.那我們換個思路，要是把這些數用圖形表現出來，那么在圖中，就能很清楚的展現出來.

題11求函數y=|x-2|-|x-4|的值域.

這樣的題目，我們就從變量x的范圍討論去掉絕對值，將函數表示為分段函數，畫出分段西數的圖象，從圖象中我們就可以看出y的范圍是多少.

可以根據圖形得知y∈[-6,6].

在實際的題型中，要靈活運用數形結合的方法，會使問題明朗，不再看過去一頭霧水.

9 數形結合在復數中的運用

復數在中學數學中是重點學習內容之一，它包含三角、代數、幾何等.復數和幾何有著不可分割的意義.我們通過數形結合的運用，可以有效地解答出有關復數的問題.

題12已知復數z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i(m∈R)在復平面上的對應點為Z，求實數m取什么的時候，點Z在實數軸上？數m取什么的時候，點Z在虛數軸上？數m取什么的時候，點Z在第一象限？

解：要想點Z在實軸上，那么復數的Z為實數，因為m2-4m+3=0，通過計算可以得知，m=3或者m=1，所以m=3或者m=1的時候，點Z在實軸上.

要想點Z在實虛軸上，那么復數的Z為虛數或者是0，因為m2-2m-3=0，通過計算可以得知，m=3或者m=-1，所以m=3或者m=-1的時候，點Z在虛軸上.

要想點Z在第一象限上，那么復數的Z為實部、虛部都必須大于0，因為m2-2m-3>0，m2-4m+3>0，通過計算可以得知，m<-1或者m>3.所以m<-1或者m>3的時候，點Z在第一象限上.

這樣的題目，我們首先要考慮的是點Z的位置確定復數Z實部和虛部的取值情況.

10 數形結合在最值問題中的運用

最值問題一直是中學數學長期以來最愛考的一個知識點，數形結合恰好是解題的妙招.

題13已知a、b、c、d∈R，a+2b+4=0，c+2d-1=0,求S=(a+b)2+(b+d)2的最小值.

11 結語

總之，代數以圖形來思考，圖形以代數來切入，這就是數和形的轉化，方便考生們來應對練習的難題.數通過形來表示，就會變得直觀；形有了數后，變得更加的具體.