抓住關(guān)鍵特征，破解中考壓軸題
——一道與正方形有關(guān)中考壓軸題的多角度求解

張斌武

(甘肅省天水市育生中學(xué)，甘肅天水，741000)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

2 問題分析

圖2

由平行線的性質(zhì)，易知∠FGC=∠ACE，∠GFE=∠CEF.

由正方形的性質(zhì)，易知AF=FG.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知AF=CE，所以FG=CE.

從而可知△FGQ≌△ECQ，所以FQ=EQ，即點Q是線段EF的中點.

3 解法探究

基于以上分析，筆者從不同角度出發(fā)，給出本題的多種解法.

視角1利用特殊化策略求解

根據(jù)已知條件，點E是邊BC的延長線上的動點，點F是邊AB上的動點，且AF=CE.不論點E，F(xiàn)運動到什么位置，點Q恒是線段EF的中點，它是運動不變量.因此，對于一道填空題而言，可考慮利用特殊位置法求解.

圖3

解法1如圖3，當點F與點A重合時，點E與點C重合，點P與點C重合，即線段EF與正方形ABCD的對角線AC重合，線段DP與正方形ABCD的邊DC重合，此時點Q是對角線AC的中點.

圖4

解法2如圖4，當點F與點B重合時，點Q和點P均與點C重合，線段AQ與正方形ABCD的對角線AC重合，線段DP與正方形ABCD的邊DC重合，此時點Q是線段EF的中點.

點評當幾何問題中的已知條件和所求量之間的邏輯關(guān)系不明顯時，可考慮動點或動線段的特殊位置，這是解決幾何問題的一種特殊化策略，具有化難為易，化繁為簡之效果，可快速得出問題的答案，是解決選此類擇題或填空題的一種“秒殺”法.構(gòu)造特殊圖形時，要注意保證運動不變量恒成立.

視角2利用相似三角形的性質(zhì)求解

利用相似三角形的性質(zhì)將AQ·DP轉(zhuǎn)化為與線段DQ有關(guān)的另兩條線段之積，然后通過列方程求解.

圖5

解法3如圖5，連接DQ，過點F作FG∥BE，交AC于點G.

易知△DEF是等腰直角三角形，所以∠DFE=45°.

由正方形的性質(zhì)，易知∠DAC=45°，所以∠DFE=∠DAC.

又因為∠AGD=∠QGF，所以∠ADF=∠AQF.

易知△ADF≌△CDE，所以∠ADF=∠CDE.

從而可知∠AQF=∠CDE.

又易知∠AFQ=∠DPE，所以△AFQ∽△EPD.

所以AQ·DP=FQ·DE.

易知△FGQ≌△ECQ，所以FQ=EQ.

①

②

視角3利用“設(shè)而不求”解題法求解

圖6

解法5如圖6，連接DQ，過點F作FG∥BE，交AC于點G.過點Q作QH⊥AB，垂足為H.

設(shè)正方形ABCD的邊長為m，AF=x，則CE=x.

點評在數(shù)學(xué)問題中，如果已知量較少，可考慮利用“設(shè)而不求”解題法求解.在解決數(shù)學(xué)問題時，預(yù)先設(shè)定一些未知數(shù)，把它們當成已知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)問題中各量之間的邏輯關(guān)系列出方程，求得未知數(shù).或預(yù)先設(shè)定一些不需要求出未知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)問題中各量之間的邏輯關(guān)系，將未知數(shù)消去或代換.“設(shè)而不求”解題法能夠起到化繁為簡，化難為易的作用.

視角4利用解析法求解

圖7

解法6以直線BC為x軸，以直線AB為y軸，建立平面直角坐標系.

設(shè)A(0，m)，F(xiàn)(0，n)，則C(m，0)，E(2m-n，0).

點評解析法是解決與直角三角形、等腰三角形、正方形等幾何圖形有關(guān)的幾何計算問題的一種重要方法.利用解析法解決平面幾何問題，一是要根據(jù)圖形特征建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢⒂嘘P(guān)線段的長度轉(zhuǎn)化為某些關(guān)鍵點的坐標；二是要將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過求某些直線的表達式或某些點的坐標解決問題.通過利用解析法解決平面幾何問題，突破了學(xué)生解決平面幾何問題的思維定勢，促使學(xué)生重新審視已有的平面幾何問題的求解方法與思路，有利用培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng).

4 結(jié)束語