“冪指對”函數形式定義的教科書比較研究

張 玉

(常州市第五中學，江蘇常州，213000)

1 問題提出

2 理論依據

2.1 數學概念的嚴謹性

數學作為一門科學最重要的一個特點是：數學的嚴謹性.數學的嚴謹性是指邏輯上要無懈可擊，結論要十分確定，一般又稱為邏輯嚴密性或嚴格性，結論確定性或可靠性.從數學發展的歷史來看，數學的嚴謹性是相對的，例如，微積分剛剛創立時，邏輯上很不嚴密，但是這一數學概念是富有成果的，其獲得了驚人的有效應用，直到后來經過數學家很長時間的努力，才使微積分建立了比較嚴格的理論基礎.類似微積分這樣的不斷發展和完善的概念體系在數學的發展歷程中還有很多.所以數學的嚴謹性也是相對的，它與數學發展的水平密切相關，并隨著數學發展嚴謹的程度不斷提高.關于數學的嚴謹性是相對的這一點，數學需要也不會停止自己的發展過程，懷爾德也提出了相似的觀點.他在論數學發展的動力和規律時，提出了關于數學發展的23條規律，其中，第十五條，數學的不斷進化伴隨嚴密程度的提高.每一代數學家都會感到對先前幾代人所作的隱藏的假設進行證明(或反駁)是必要的.上述都清楚地表明，數學是高度嚴謹性的，但是不是絕對嚴謹的，在數學中不存在絕對的東西，也表明數學具有無限的發展可能性，數學的嚴謹性是需要不斷去追求和完善的，數學內部矛盾的出現恰恰為數學發展提供了新的契機.

2.2 數學概念的形式定義

通常，教科書的主要受眾教師和學生普遍認可其所使用的教科書的權威性，不同版本的教科書對于同一內容的表述不同，對教師和學生的引導會不同，他們進行思考和推理的依據還是來源于其所使用的教科書，不同版本對同一內容的呈現不應該出現互相矛盾的情況和關于數學本質的不同，以下我們對四個版本的相關概念進行比較分析.

2.3 教科書比較研究與分析

表1 四個教科書版本的“指對冪”函數定義比較

表1，整理了四個版本的高中數學教科書中關于，冪函數，指數函數，對數函數的形式定義的內容，以下作比較分析.值得注意的是，湘教版對冪函數的定義與其他版本的定義有實質性的區別，只有湘教版中對于冪函數的定義要求α≠0，其余版本α可為任意常數，但是這并不構成數學內部或數學本質上的矛盾，對于特殊的指數α=0的情況，可以做出單獨的不同的約定，這本身并不影響冪函數概念的嚴謹性.在α≠0的情況下也基本不存在對于冪函數概念界定的分歧.因為不同的冪函數的定義域不統一，冪的運算性質能否運用是一個相對復雜的問題，是否是同一函數還要取決于α的不同取值，后續這個問題可以解決.

3 指對數函數的新定義

3.1 新的指對數函數的定義

基于以上不同版本的比較分析，對于指對數函數的問題似乎解決了，使用不同版本的教科書的受眾還是不可避免地存在分歧.如果能夠構造出指對數函數的新的定義形式，將各個版本的指對數的定義統一起來，問題就被完全解決了.

3.2 新舊定義等價性的證明

現對問題作以下表述，條件P：f(x)=ax(a>0,a≠1)，條件q:f(x)是定義在實數集上的非常值連續函數，且滿足f(x)·f(y)=f(x+y).以下證明P是q的充分必要條件.

充分性：若f(x)=ax，則f(x)·f(y)=ax·ay=ax+y=f(x+y)充分性得證.

必要性：① 對于等式f(x)·f(y)=f(x+y)，取x=1,y=0，則f(1)·f(0)=f(1+0)=f(1)，可以推出f(0)=1(若f(1)=0，則可以推出f(x)是常值函數，故舍去).

② 記f(1)=a，設x∈N，故f(x)=ax，對x∈N成立.

上述證明的思路是逐步將定義域步擴充，從正整數，到整數，到有理數，再到全體實數.以上完成了新的構造式定義與原有的形式定義的等價性的證明.

3.3 新舊定義的比較

各個版本的教科書中均以實際問題為情境，比如細胞分裂或碳十四衰變，從具體的問題情境中抽象出函數關系y=2x和y=0.999 879x，引導學生觀察這一類函數的共同特征，進而給出指數函數的形式化定義.與本文所給出的構造化的定義在形式上有明顯的區別，但在本質上是一致的.形式化的定義容易引起歧義，即本文開頭所提及的一個問題，而新的構造式定義則避免了這種歧義.形式定義，是較簡潔且抽象水平較低的，對于學生而與學生的認知基礎距離很遠，學生很難真正理解其意義，不符合高中學生的認知水平.

4 對教師教學和教科書編寫的建議

4.1 對教師教育教學的建議

教師在理解和教學形式化定義的概念時，有時過于強調“形式”，缺乏變通，缺少了對函數概念的本質分析與理解.解題教學中也面臨類似的問題，過于強調形式化的解題步驟，常常要求學生按照固定的步驟進行，忽視了對于問題本質的分析與理解，缺乏解題思路的引導.教師在概念教學時更應該關注概念本質，不應過于死板的強調形式化的概念內容.

教師不僅是教科書的受眾，也應該是教科書的積極研究者.從上述教材的比較分析也可以發現，盡管部分教師對于指對數函數的概念辨析存在分歧，但是如果教師能夠對不同版本的教科書作比較研究分析，就能夠從人教A版和人教B版中找到答案.一線的教育教學經驗不應該使得教師的思維與視野越來越固化，成為思維定式，而應該用更開放的發展的甚至批判的眼光去看待教科書所呈現的教學內容.

4.2 對教科書編寫的建議

教科書的編寫應注重科學性和教學性結合，既要考慮數學概念的嚴謹性，也要考慮學生的可接受性.教科書中的指對數的形式化的定義容易引起歧義，給教育教學帶來不必要的麻煩，應該更關注數學概念的本質，不能受限制于形式.數學概念是逐步發展的，要用發展的，理解的觀點去看問題，全面地理解數學的本質.而不應該將教科書視作絕對的權威.教科書是有局限性的，它只能以確定的某一形式來呈現具體的內容，但是對同一問題，可以有不同的理解方式，不悖于數學的本質，不互相矛盾，都是可取的.