考研數學中的冪級數求和函數問題

吳德福，李艷春

(吉林建筑科技學院基礎科學部，吉林長春，130000)

冪級數求和函數是考研數學中的重要內容，其中涉及到的方法與技巧非常多，處理起來也非常靈活，本文根據歷年考研真題總結歸納出了一些求和函數的常見方法和題型.

1 預備知識：冪級數的和函數的分析性質

2 冪級數求和函數的常用方法總結

方法1：套常用公式

把常見函數展開成的麥克勞林級數反過來用，就得到了一些具有特定形式的冪級數的求和函數公式.下列基本公式就是解題中頻繁出現的，也是命題人出題的依據，應該熟稔于心.

分析對照常用公式，發現此級數與公式(5)比較類似，所以可以從此公式入手，將所求級數構造成公式(5)的形式，從而借助公式(5)完成解題.

方法2：先導后積

利用冪級數和函數的分析性質，對于級數的系數是分數，且分母中含有n的一些類型，可以先逐項求導消去系數分母中的n，利用方法1中的公式求出和函數，然后再逐項積分還原求得原級數的和函數.

從而S(x)=xarctanx，x∈[-1,1].

方法3：先積后導

利用冪級數和函數的分析性質，對于級數的系數是關于n的多項式的這種類型，可以先逐項積分消去系數中的n，利用方法1中的常用公式求出和函數，然后再逐項求導還原求得原級數的和函數.

一般地，形如∑(kn+b)xkn的冪級數求和問題都可以采用先積后導的方法解決.

分析形如∑(kn+b)xkn的冪級數，可以分解為∑(kn+b)xkn=∑(kn+1)xkn+(b-1)∑xkn，其中∑(kn+1)xkn可以用先積后導的方法求和函數，∑xkn可以用等比級數的結論求和函數.

方法4：驗證冪級數滿足所給的微分方程，并通過解微分方程求和函數

對于某些冪級數，想直接求解出和函數有難度，為了降低難度，命題人一般會分兩步來命制試題：(1) 驗證和函數滿足所給的微分方程；(2) 求和函數.這類問題可以利用和函數S(x)可以逐項求導的性質，求出S′(x),S″(x),…，驗證其滿足所給的微分方程.在解微分方程求和函數時，注意隱藏的初始條件，根據冪級數的表達式，不難得到S(0),S′(0),S″(0),…的值，根據這些初始條件就可以確定微分方程通解中的任意常數從而求得和函數.

分析題干中給出了系數的遞推式，因而可以求出系數an的具體表達式，進而尋找求和函數的方法.但本題第一問讓證明S(x)滿足的微分方程，這樣就指明了解題方向，降低了難度.實際上，本題可以去掉第一問，讓學生自己去找S(x)所滿足的微分方程，這樣設置就加大了題目難度.

(Ⅱ) 解微分方程并注意到初始條件S(0)=a0=3，S′(0)=a1=1，得S(x)=2ex+e-x，-∞

方法5：建立和函數滿足的微分方程并求和函數

某些冪級數的和函數S(x)用常規方法很難求得，這時可以考慮求出S′(x),S″(x),…，根據所給的系數an,an+1,an+2,…的關系式建立起S(x)所滿足的微分方程，并根據隱藏的初始條件S(0),S′(0),S″(0),…的值求出和函數.

分析根據所給的冪級數系數的遞推式求解{an}的表達式是比較困難的，可以利用它來構建和函數所滿足的微分方程，并通過求解微分方程的方法求出和函數.

以上僅列舉了考研數學中使用較多的方法，事實上，有些求和函數的問題需要多種方法綜合使用，需要讀者對各種方法能夠熟練運用，融會貫通.