幾何視角直觀，代數(shù)視角運算
——一道離心率的探究

雷建榮

(環(huán)縣第一中學(xué)，甘肅慶陽，745700)

涉及圓錐曲線的離心率的求值或取值范圍的確定等相關(guān)問題，是每年高考試卷中的常見類型，此類問題創(chuàng)新新穎，變化多端，可以有效實現(xiàn)圓錐曲線與其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識的交匯與融合，充分體現(xiàn)高考命題“在知識交匯點處命題”的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)命題的一種靈活變換與應(yīng)用．

1 問題呈現(xiàn)

2 問題剖析

此題是一道涉及橢圓的離心率的求解問題，結(jié)合橢圓上一點與兩焦點所角成的大小，以及該點到原點的距離這兩個條件來合理構(gòu)建．此類問題是近年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個考查熱點，主要考查圓錐曲線的相關(guān)知識、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，交匯并融合平面幾何、三角函數(shù)、不等式的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容．

解決此類問題的一般思路有以下兩種：

(1) 幾何角度，借助平面幾何知識，數(shù)形直觀，結(jié)合圓錐曲線的圖形，嘗試尋找圖形中蘊藏的幾何關(guān)系，進(jìn)而加以直觀推理與求解．

(2) 代數(shù)角度，借助圓錐曲線上的點的坐標(biāo)等相關(guān)知識，通過公式等巧妙尋找關(guān)于角或者邊的函數(shù)或不等關(guān)系等，進(jìn)而加以數(shù)學(xué)運算與求解．

此類問題解決時思維多樣，策略多變，技巧多樣，解決問題時或一種策略獨領(lǐng)風(fēng)騷，或多種策略齊心協(xié)力，或另辟蹊徑，合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解．

3 問題解決

思維角度一：幾何角度

方法1：(中線向量法)

則有|MF1||MF2|=4，

方法2：(中線長公式法)

則有|MF1||MF2|=4，

整理可得(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|=4+2(a2-1)，即4a2-8=4+2(a2-1)，

方法3：(余弦定理法)

整理①②可得|MF1|·|MF2|=4 ③，

在△OMF1和△OMF2中，cos∠MOF1=-cos∠MOF2，

整理可得|OF1|2+|OM|2-|MF1|2=|MF2|2-|OM|2-|OF2|2，即|MF1|2+|MF2|2=2c2+4=2a2+2，

方法4：(極化恒等式法)

整理可得(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|=4+2(a2-1)，即|MF1||MF2|=a2-1，

方法5：(焦點三角形面積法)

整理可得(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|=4+2(a2-1)，即|MF1||MF2|=a2-1，

在焦點三角形F1MF2中，由于∠F1MF2=120°，

解后反思：絕大多數(shù)的圓錐曲線的離心率問題都可以運用幾何法來分析與求解，幾何法是求圓錐曲線的離心率的快捷方法．通常根據(jù)題中的圖形特征，構(gòu)建合適的三角形，借助正弦定理、余弦定理等解題．幾何法一般計算簡便，數(shù)形直觀，備受學(xué)生青睞．以上問題的核心就是三角形的兩種幾何關(guān)系處理：中線關(guān)系，三角形的邊的關(guān)系．

思維角度二：代數(shù)角度

方法6：(設(shè)點法)

在焦點三角形F1MF2中，由于∠F1MF2=120°，

方法7：(焦半徑公式法)

解析：設(shè)M(x0，y0)，由橢圓的焦半徑公式可得|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，

在焦點三角形F1MF2中，由于∠F1MF2=120°，

解后反思：求解圓錐曲線的離心率問題，利用代數(shù)角度去處理，核心就是確定相關(guān)點的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)計算，轉(zhuǎn)化到參數(shù)a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而求出相應(yīng)的參數(shù)值以及對應(yīng)的離心率．一般在無法應(yīng)用相應(yīng)的幾何關(guān)系，或看不出幾何關(guān)系的情況下，可以采取代數(shù)方法來分析與處理．

4 教學(xué)啟示

4.1 規(guī)律總結(jié)，技巧策略

其中幾何視角中，結(jié)合本題的三角形相關(guān)關(guān)系，中線關(guān)系可以用平面向量、中線長公式、鄰角互補關(guān)系等來處理，三角形可以用余弦定理、焦點三角形等來處理，因而可以組合出眾多的解法．而代數(shù)視角中，可以從坐標(biāo)視角引入，結(jié)合焦點三角形面積公式來化歸與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)問題的解決．

4.2 思維深入，能力提升

涉及圓錐曲線中的相關(guān)問題，可以充分挖掘圓錐曲線自身的定義、方程、幾何性質(zhì)、結(jié)論與應(yīng)用等，或從幾何視角綜合圓錐曲線的圖象以及圖形中點、線、角等元素之間的關(guān)系來處理，或從代數(shù)視角結(jié)合曲線方程以及函數(shù)與方程思想來處理，進(jìn)而加以歸納、總結(jié)、類比、挖掘、探究，關(guān)鍵是構(gòu)建圓錐曲線中相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系式，合理深入探究，從而全面提升數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)解題能力等，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．