三角形外心創設，創新題向量應用

胡景月

(南京市雨花臺中學，江蘇南京，210000)

與三角形的“心”有關的問題，是巧妙融合初中與高中知識的一類綜合應用問題，也是很多同學處理起來比較困難的一類問題．而三角形的外心經常與平面向量加以交匯，巧妙融合了平面幾何中的三角形與圓這兩個基本圖形，同時隱含著對應的垂直關系，以平面向量的數量積的不同形式來創設，情境創新，應用性強，是平面向量與解三角形問題中比較熱點的一類題型，倍受各方關注．

1 數量積的值

A． 16 B. 8 C. 24 D. 32

分析：根據題目條件，通過平面幾何圖形的直觀形象，結合平面向量的線性運算，通過平面向量的數量積公式加以展開，合理分解與轉化，并利用投影的幾何意義加以轉化與應用，進而得以確定對應平面向量的數量積的值．

圖1

解析：如圖所示，取AB的中點D，聯結OD，依題意可得OD⊥AB，

故選擇答案：D．

點評：借助三角形外心的幾何特征與結構性質，利用平面幾何中輔助線的構建確定對應邊之間的垂直關系，從而為進一步利用平面向量的數量積公式轉化提供依據，方便數量積公式的化簡與運算，特別是投影的幾何意義的應用以及兩垂直平面向量的數量積為零等性質，為解決平面向量的數量積的值指明方向．

2 數量積的最值

A． 0 B. 1 C. 3 D. 5

分析：根據題目條件，通過正弦定理確定三角形的外接圓的半徑，由此確定三角形邊的取值范圍，通過數形結合，結合三角形外心的性質，利用平面向量中投影的幾何意義以及余弦定理的平面向量公式分別確定對應的關系式，進而確定所求數量積的表達式，利用二次函數的圖象與性質來確定最值問題．

圖2

結合三角形的外接圓的幾何性質，則有b∈(0，2]，

如圖所示，延長AO交外接圓O于點D，連接BD，CD，

由于AD是外接圓O的直徑，則有AB⊥BD，AC⊥CD，

點評：抓住三角形外心的幾何性質，從“數”的視角內涵上確定三角形邊長的取值范圍，又從“形”的視角實質上確定平面幾何中的垂直關系，兩者綜合應用，進一步將平面向量中投影的幾何意義、余弦定理的平面向量公式等加以融合，有“數”的內涵，有“形”的特征，創新新穎．

3 代數式的值

分析：根據題目條件，利用平面向量的線性關系，通過平面向量數量積公式，結合三角形外心的性質，利用平面向量中投影的幾何意義，從兩個不同層面構建對應的數量積關系式，進而確定兩個不同的線性關系式，結合線性規劃問題來分析與處理，進而確定對應的代數式的取值問題．

解析：如圖所示，連接OB，OC，

圖3

點評：解決問題的關鍵就是從題中平面向量的線性關系的“數”的性質，綜合三角形外心的“形”的特征，數形結合，利用三角形的外心的性質以及投影的幾何意義加以應用，合理構建滿足條件的關系式，為進一步代數式的求值提供條件．“數”與“形”的合理融合與巧妙過渡，共同實現問題的解決與應用．

4 綜合問題

例4(多選題)已知點O是△ABC的外心，則( ).

分析：根據題目條件，以點O是△ABC的外心，結合各選項中不同的條件，借助平面向量的線性運算、數量積公式、投影的幾何意義以及平面向量的夾角公式等加以轉化與運算，從而實現命題真假的判定．

對于選項B，設AB中點為M，則OM⊥AB，如圖所示，

圖4

故選擇答案：BCD．

點評：借助三角形外心的問題背景，可以交匯與融合平面向量的線性運算、數量積公式、投影的幾何意義以及平面向量的夾角公式等眾多的平面向量知識，結合多選題、命題真假判定等形式來設置，實現綜合問題的展示與應用．此類綜合應用問題，可以滲透更多的知識點、數學能力等，充分考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養．

根據不同場景下三角形外心問題的巧妙創設，合理將平面向量與解三角形中的相關知識加以合理交匯與融合，以平面向量的數量積的不同形式與場景出現，進而解決形式多樣的數學問題，巧妙挖掘題目條件的內涵與實質，實現基礎知識、基本能力的綜合與應用，加強初中與高中相關數學之間的聯系與應用．