基于灰色-加權馬爾可夫預測模型的西安常住人口預測

王朱宇，徐小玲，胡哲，葉飛，王亞芳

（延安大學西安創新學院，陜西 西安 710100）

0 引言

在未來，城市的發展跟人口休戚相關。如何吸引外來人口流入并最終留住人才，對一個城市而言就變得更為重要。近年來，政府加大了保障房建設力度，同時社會的商品房供給量年年增加，但到底是供應多少最為合適呢？這個問題值得深入思考。對該問題分析發現常住人口數量是決定供房量的關鍵因素。以西安常住人口為例，2021年西安市常住人口數據出爐，西安市常住人口持續增長，超過1 300 萬。那么對于住房供給力度多大更為合適呢？在這樣的背景下，就需要對西安未來常住人口數量進行預測，以便更好規劃住房供給。

常住人口數量對住房、教育和就業崗位等多方面都有較深的影響，因此在這些方面展開了諸多討論，如呂敏怡等人對上海市人口結構變化對住房需求的影響進行了探究，并表明人口年齡結構、家庭規模和結構、人口流動等因素與住房需求的聯系最密切。黃甫玥等人從城市外來常住人口對城市就業崗位的依附關系入手，提出了基于就業崗位的城市外來常住人口的預測方法，并對南京未來城市外來常住人口進行了預測。常見的預測方法有一元線性回歸法、平滑法、GM（1，1）模型預測法等，如張夢汝等人利用灰色理論的GM（1，1）預測模型對上海市未來十年外來常住人口發展趨勢進行預測。灰色預測模型在常住人口預測中的是普遍適用的，但是常住人口數量受多種復雜因素影響，具有較大的隨機波動性，需要對該模型進行改進。柴小媚基于灰色模型和回歸分析的北京市常住人口預測；高紅提出基于灰色神經網絡模型的江蘇省人口預測；何芳等人利用灰色模型和馬爾可夫（Morkov）轉移概率的組合法對大城市外來常住人口的居住需求規模進行預測。由于馬爾可夫預測可以根據狀態之間的轉移概率來推測未來發展變化，適用于隨機波動較大的動態過程。本文結合兩者的優點基于灰色-加權馬爾可夫預測模型并對2022—2026年西安市常住人口數量進行預測。

1 GM（1，1）模型預測及結果分析

設原始時間序列=（（1），（2），…，（）對其做一次累加生成運算，即令：

從而得到新的生成數列=（（1），（2），…，（）)，新的數列一般近似的服從指數規律，因此它滿足灰色預測的微分方程G(1，1)，其白化形式為：

求解微分方程得：

從而得到原始數據得灰色預測值：

根據上述原理，以2010—2021年共計12年西安常住人口實際統計數據（如圖1所示），利用G(1，1)模型對該數據進行預測，并對其結果進行比較分析，結果如表1所示。

圖1 2010—2021年西安常住人口數量統計圖（數據來源：西安市統計局）

表1 G(1，1)模型預測值（萬人）

對模型進行后驗差檢驗和關聯度檢驗，首先計算后驗差比值：

根據表2，和值顯示預測結果達到了合格水平，這個精度還不夠，而小于0.6，表明模型輸出結果不滿意，并且從圖2 也可以看出，西安常住人口是從17年開始大幅增加，這和2017年西安加快人才引進落戶政策和二胎政策開放的出臺相互印證。但是對未來進行預測時，西安市人口數量預測G(1，1)模擬曲線是一條指數曲線，并且其變化趨勢呈現非平穩隨機過程的特點。因此基于馬爾可夫鏈具有的“無后效性”特點，在G(1，1)模型的基礎上結合馬爾可夫鏈來改進該模型。

圖2 西安常住人口增長曲線

表2 預測精度等級

2 基于灰色-加權馬爾可夫模型的常住人口預測

2.1 模型預測

以2010—2021年西安市常住人口總數為依據，在對G(1，1) 進行了分析的基礎上，引入加權馬爾可夫預測方法對第2 節中的預測結果進行修正，具體步驟為：

步驟1：根據表1 中西安常住人口實際統計值與G(1，1)模型預測值的比值情況，將2010—2021年的數據劃分為5 個狀態：={0.90 ≤比值＜0.95}，={0.95 ≤比值＜1.00}，={1.00 ≤比值＜1.05}，={1.05 ≤比值＜1.10}，={1.10 ≤比值＜1.15}。那么每年的狀態表如表3所示。

表3 狀態劃分

步驟2：基于各階自相關系數計算馬爾可夫鏈的權重。設（k），（=1，2，…，）表示西安常住人口數序列，計算序列各階自相關數的公式為：

將同一狀態的各預測概率加權求和，得到處于該狀態的預測概率P：

表4 2022年西安市常住人口數量狀態預測

2.2 模型檢驗

基于灰色-加權馬爾可夫預測模型與灰色G(1，1)模型對2010—2021年的西安常住人口數進行擬合和預測，結果對比如表5 和圖3所示。

表5 兩種方法模擬結果比較

圖3 兩種方法預測結果比較

對表5 中數據分析，從相對誤差的絕對值可以看出，灰色G（1，1）模型均遠遠高于灰色-加權馬爾可夫預測模型；前者的殘差范圍為[-97.913 2，121.177 5]，后者的殘差范圍為[-25.586 6，23.342 6]；前者的平均相對誤差為6.377 7%，后者為1.278 7%；由此說明后者的擬合精度更高，相較于灰色G（1，1）模型，灰色-加權馬爾可夫預測模型預測精度提高了79.95%。同時，圖3 表現出灰色-加權馬爾可夫預測模型能更好地擬合，并且對西安常住人口預測的效果明顯且具有更加理想的預測精度。最后，再進一步基于灰色-加權馬爾可夫預測模型對2022—2026年的西安常住人口數量進行預測，其結果如表6所示。綜合分析這五年的人口變化情況，發現期間存在常住人口減少情況，但總的變化趨勢是增長型的，其平均增長率為2.367 9%。

表6 2022—2026年西安常住人口預測結果

3 結論

在西安常住人口數量預測中，針對灰色G（1，1）模型受數據的隨機波動性影響較大，預測精度不高這一缺點，本文提出了基于灰色-加權馬爾可夫預測模型對2010—2021年西安常住人口數進行擬合，并對未來五年西安常住人口數量進行了預測。其結果顯示：灰色-加權馬爾可夫預測模型相較于灰色G（1，1）模型預測精度提高了79.95%；未來五年西安常住人口數量呈現明顯的增長趨勢，平均增長率為2.367 9%。此結果對當地政府制定住房供給力度政策具有現實意義。