基于電流優化的雙三相PMSM開路故障容錯控制*

孟祥碩， 肖玲斐， 王國強， 朱曉倩

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

多相永磁同步電機(PMSM)憑借結構簡單、運行可靠以及功率密度高等優點在電動汽車[1-2]、船舶推進[3]和航空航天[4-5]等大功率、高精度領域得到了廣泛的應用。其中，雙三相PMSM是由2套中性點相互連接或隔離、相位差30°的繞組組成的，在輸出相同功率的條件下，其供電電壓僅需三相PMSM的一半，成為了低壓大功率場合的主流設備。

考慮到雙三相PMSM工作環境的特殊性以及電機相數的增加，繞組發生開路故障的可能性會增大。當多相電機的一相或者幾相出現故障時，可以采取適當的策略，使電機在斷相的情況下繼續運行，無需重新啟動或停機。因此，多相PMSM的容錯控制方法成為研究的熱點[6-9]。其中，文獻[6]基于保持故障后基波磁動勢和永磁體基波磁鏈矢量在空間上圓形旋轉的原則，構造了五相PMSM在一相開路時同步坐標系下的數學模型。文獻[8]構建了一種基于正常解耦變換陣的缺相容錯控制策略，分別對定子銅耗最小和轉矩輸出最大兩種優化電流工作方式進行分析。

目前多相PMSM的斷相故障容錯控制方法大致可分為降維解耦矢量控制和最優電流給定控制兩類。前者通過建立故障狀態下的數學模型，重構控制策略實現容錯控制，但缺乏統一的故障模型，同時也會改變原本的控制結構；后者根據定子銅耗最小原則或者轉矩輸出最大原則求解各相繞組最優容錯電流的相參考值，但無法提供平滑的轉矩和轉速切換，平均轉矩可能會降低。

隨著現代控制理論的不斷發展，智能優化算法在多相PMSM的容錯控制領域也逐漸開始得到應用，文獻[10]提出了一種具有非對稱隸屬函數的Takagi-Sugeno-Kang型模糊神經網絡，用于六相PMSM驅動系統的容錯控制。考慮到開路故障造成的轉矩脈動是周期性的，文獻[11]將迭代學習控制作為一種電流控制技術，用于恢復故障條件下多相PMSM驅動器的性能。文獻[12]考慮斷相故障下的永磁轉矩和磁阻轉矩，建立了一種綜合模型，并采用遺傳算法優化定子電流。灰狼優化(GWO)[13]算法是受到自然界中灰狼群體狩獵行為的啟發而提出的一種群智能優化算法。其憑借結構簡單、參數較少、兼顧尋優階段的探索與開發過程等優點得到了廣泛的應用[14-16]。

傳統GWO算法中的收斂因子線性遞減，以此來模擬狼群從包圍到捕食獵物的行為。這種機制導致前期所有個體都進行大范圍搜索，局部探索能力差，收斂速度慢，因此初始種群的生成對后續的尋優效率起著關鍵作用；后期所有個體在局部進行小范圍搜索，忽略了周圍可能存在的全局最優解，所以后期需要兼顧算法的局部與全局尋優能力，盡量避免陷入局部最優。

綜上所述，針對雙三相PMSM一相開路故障中傳統容錯控制方法控制結構復雜的缺點，本文提出一種基于電流優化的容錯控制方案。從傳統的坐標變換矩陣出發，推導出一種解耦的同步旋轉坐標變換矩陣，建立故障模型，分析造成平均轉矩下降以及轉矩脈動的原因，將開路故障下的容錯控制問題轉換為d、q軸參考電流優化問題。針對傳統GWO算法初始種群分布不均勻、易陷入局部最優的缺點，本文提出一種Kent映射-粒子群-GWO(KPGWO)算法優化d、q軸參考電流，保證獲得最大平均轉矩的同時，轉矩脈動最小。所提控制方案不會改變原本的控制結構，可以實現正常狀態與故障狀態之間的平滑切換。

1 解耦同步旋轉坐標系下雙三相PMSM故障模型

雙三相PMSM在傳統的同步旋轉坐標變換矩陣下的電感矩陣存在耦合。本節從雙三相PMSM的定子電感矩陣出發，利用Park變換推導出一種可使其解耦的同步旋轉坐標矩陣，為后續故障狀態下參考電流的求解提供便利，最后給出該坐標變換矩陣下雙三相PMSM的數學模型與一相開路故障模型，分析了造成轉矩脈動的原因。

1.1 定子電感矩陣

雙三相PMSM在自然坐標系下的電壓方程為

(1)

磁鏈方程為

ψ6s=L6si6s+λ6sψf

(2)

式中：λ6s為磁鏈系數；ψf為永磁體磁鏈。

定子電感矩陣為

(3)

電磁轉矩方程為

(4)

式中：p為電機的極對數；θm為轉子位置機械角度。

在轉子磁結構各向異性的假設下，定子自感和互感是轉子位置電角度θe的函數。此外，假設三相繞組的幾何和電磁不對稱性以及飽和效應可以忽略不計，那么每相繞組的自感可以表示為

Lii=LAAl+Ls0+Ls2cos 2θei

(5)

式中：i=A,B,C或i=U,V,W；LAAl為漏自感；Ls0=(LAAd+LAAq)/2為主自感平均值；Ls2=(LAAd-LAAq)/2為二次諧波幅值；LAAd和LAAq為繞組d、q軸主自感；θei為i相繞組相對于d軸的電角度。

類似于式(5)，同一套繞組不同相之間的互感可以表示為

Mij=Ms0+Ms2cos(θei+θej)

(6)

式中：i,j=A,B,C或i,j=U,V,W，i≠j；Ms0=-Ls0/2；Ms2=Ls2；θej為j相繞組相對于d軸的電角度。

除了同一套繞組的每相自感和不同相之間的互感外，還必須考慮兩套繞組不同相之間的互感。兩套繞組之間的互感為

Mij=Mm0cos(θei-θej)+Mm2cosγij

(7)

式中：i=A,B,C;j=U,V,W；Mm0=Ls0；Mm2=Ls2。

其中，

(8)

因此，雙三相PMSM的定子電感矩陣為

(9)

1.2 矩陣變換

對于三相PMSM，利用Park變換可以將各物理量從自然坐標系A-B-C變換到同步旋轉坐標系d-q下，變換矩陣：

P(θe)=

(10)

對于雙三相PMSM，則可以利用兩個Park變換矩陣，將各物理量從自然坐標系A-B-C-U-V-W變換到同步旋轉坐標系d-q1和d-q2下，具體的變換矩陣為

(11)

對定子電感矩陣式(9)進行變換，可以得到

(12)

從式(12)可以看出，電感系數矩陣并不是對角矩陣，兩套繞組的d軸和q軸電感之間仍有耦合，這種耦合關系通過耦合電感Md和Mq表現出來。

為了進一步消除這種耦合關系，下面引入變換矩陣T2：

(13)

對電感矩陣LT1做進一步的變換，可以得到：

(14)

式中：Ld1=Ld+Md=3LAAd+LAAl為電感的d1軸分量；Lq1=Lq+Mq=3LAAq+LAAl為電感的q1軸分量；Ld2=Ld-Md=LAAl為電感的d2軸分量；Lq2=Lq-Mq=LAAl為電感的q2軸分量。

最終的坐標變換矩陣為

Tdq=T2T1=

(15)

在坐標變換矩陣式(15)下，雙三相PMSM在d1-q1子空間的電壓方程為

(16)

式中：ud1和uq1分別為定子電壓的d1、q1軸分量；id1和iq1分別為定子電流的d1、q1軸分量。

d1-q2子空間的電壓方程為

(17)

式中：ud2和uq2分別為定子電壓的d2、q2軸分量;id2和iq2分別為定子電流的d2、q2軸分量。

電磁轉矩方程：

Te=3p[ψfiq1+(Ld1-Lq1)id1iq1]

(18)

特別地，本文分析的是表貼式PMSM，其滿足Ld1=Lq1，因此，id1的參考電流通常被設置為0。此外，id2和iq2對電磁轉矩的產生沒有任何貢獻，反而會增加定子銅耗，為了提高電流利用效率，id2和iq2的參考電流也被設置為0。

1.3 故障模型

假設第二套繞組的W相發生開路故障，記故障狀態下的電流向量為

(19)

d-q子空間的電流為

(20)

在故障情況下，雙三相PMSM第二套繞組的各相電流應滿足：

(21)

同時，剩余健康相的電流應盡量控制為正弦波形，從而減小其中的諧波含量，以降低諧波損失。因此，對第一套繞組的各相電流施加約束，使其與正常狀態下的相電流相等：

(22)

利用坐標變換矩陣式(15)對故障狀態下電流式(19)進行坐標變換，根據約束條件式(21)和式(22)，可以得到：

(23)

類似于式(22)，控制U相的幅值IU和相位φU，使其滿足：

iUf=IUcos(θe-φU)

(24)

那么故障狀態下的電磁轉矩：

(25)

定義

Tef=Te0+Te2

(26)

從式(26)可以看出，與正常狀態下的電磁轉矩相比，故障狀態下電磁轉矩減小，同時相電流中二次諧波的存在會造成轉矩脈動。

2 基于一種改進GWO算法的電流優化容錯控制

基于故障模型，推導出了故障狀態下的d、q軸參考電流，將開路故障的容錯控制問題轉換為參考電流的優化問題。為了在獲得最大平均轉矩的同時，能夠保證轉矩脈動最小，采用一種改進GWO算法進行參考電流的多目標尋優。

2.1 問題描述

假設d-q子空間電流和故障狀態下的U相電流滿足：

(27)

式中：Id1,0和Iq1,0為基波幅值；Id1,2、Iq1,2為二次諧波分量的幅值；φd和φq為二次諧波分量的相位角。

代入式(23)，可以得到：

(28)

容錯控制方案是通過優化故障狀態下d-q子空間的電流，使電磁轉矩的平均值最大，同時脈動最小。表貼式PMSM通常采用Id1,0=0的矢量控制方法，Iq1,0可以通過負載轉矩的大小來確定。因此，可以通過優化二次諧波分量的幅值Id1,2、Iq1,2和相角φd、φq，以及U相電流的幅值IU和相位φU，獲得最大平均轉矩，同時使轉矩脈動最小。

至此，將雙三相PMSM在一相開路故障狀態下的容錯控制問題轉化為了d、q軸參考電流的多目標優化問題。下面提出一種KPGWO算法解決該多目標優化問題。

2.2 基于KPGWO算法的電流優化

2.2.1 KPGWO算法

傳統的GWO算法模擬狼群的狩獵行為，主要分為包圍、逼近和捕食3個環節。

首先，狼群包圍獵物這一過程的數學描述為

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(29)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(30)

式中：D為個體與獵物間的距離向量；X為灰狼的位置更新向量；t為目前的迭代代數；Xp為獵物的位置向量；A=2a·r1-a和C=2·r2為系數向量；a為收斂因子；r1和r2的模取[0,1]之間的隨機數。

其次，狼群逼近獵物這一過程的數學描述為

(31)

式中：Dα、Dβ和Dδ分別表示3只頭狼α、β和δ與其他個體間的距離；Xα、Xβ和Xδ則表示其當前的位置；C1、C2和C3表示隨機向量；X為當前灰狼的位置。

(32)

(33)

式(32)分別定義了狼群中ω灰狼個體朝向α、β和δ前進的步長和方向，式(33)定義了ω個體的最終位置。

最后，狼群進行捕食的行為數學描述為隨著迭代次數的增加，a從2減小到0。當|A|>1時，狼群比較分散，算法開始進行全局搜索；當|A|≤1時，狼群集中對獵物進行攻擊，即算法進行局部尋優。

針對傳統的GWO算法隨機初始種群分布不均勻、易陷入局部最優等缺點，做出以下改進。

(1) 引入Kent混沌映射。混沌映射在一個區間內往往能夠遍歷但不重復地包含所有點，因此在智能優化算法中得到了廣泛的應用。相比于傳統的Logistic混沌映射，Kent混沌映射具有更加良好的遍歷均勻性，所以利用Kent混沌映射產生的初始灰狼種群分布更加均勻，其數學表達式為

xi(t+1)=

(34)

式中：xi(t)表示第i個個體在第t代的位置；α為控制參數，α∈(0,1)，當α=0.4時，其概率密度函數在(0,1)內均勻分布。

(2) 融合粒子群算法個體保留機制。傳統GWO算法只考慮了種群中適應度最好的3只頭狼的引導作用，忽略了其他灰狼個體本身的搜索能力，容易導致算法沿著某個方向陷入局部最優，降低尋優效率。除3只頭狼以外，ω灰狼個體在歷次迭代過程中必然存在一個最優值，因此可以通過這個最優值來指導灰狼個體進行自我搜索。受到粒子群算法的啟示，可以通過保留最優個體來保證其他灰狼個體的搜索能力，從而降低算法陷入局部最優的概率。

在式(33)位置更新的基礎上，再引入粒子群算法的種群個體位置更新公式：

X′i(t+1)=Xi(t+1)+r·[Xibest-Xi(t+1)]

(35)

式中：r為[0,1]之間的隨機數；Xibest為第i個體在t代內的最優位置。

(3) 引入局部收斂破壞機制。在GWO算法迭代尋優過程中，當最優解在連續多次迭代都沒有更新的情況下，可以認為算法存在停滯收斂的可能，或者說目前取得的最優解是一個局部最優解。具體實現過程中，可以通過停滯更新疊加環節來記錄這一過程。一次迭代結束之后，如果最優解沒有更新，停滯更新次數加一，反之清零，繼續迭代尋優，直到達到最大迭代次數。當停滯更新次數達到閾值時，說明現在獲得的解可能是全局最優解，但更有可能是現有個體不具備繼續尋優的能力，即算法陷入了局部收斂的情況。

綜上，所提KPGWO算法流程圖如圖1所示。

2.2.2 基于KPGWO算法的多目標優化

式(28)中，待優化的參數記為

(36)

兩個優化目標可表示為

(37)

適應度函數選擇為

(38)

式中：α1和α2為大于0的加權因子，其值越大表明對相應的性能指標越重視。

為了保證故障狀態下電機輸出轉矩也能匹配負載轉矩的需求，容錯控制的目標是在獲得最大平均轉矩的前提下，轉矩脈動最小，因此α1需要比α2大，最終F的值越小，說明當前個體的適應度越好。本文所提控制方法的控制框圖如圖2所示。由圖2可以看出，該方法不涉及對原本的磁場定向控制系統結構的任何更改，在原有控制結構的基礎上，當發生開路故障時，只需切換d、q軸參考電流即可實現故障狀態下的容錯控制。

3 仿真驗證與分析

3.1 KPGWO算法驗證

為了驗證KPGWO算法所采用的Kent混沌映射相較于隨機初始化以及Logistic混沌映射所得到的初始種群分布更為均勻，首先利用rand函數直接隨機生成一個50×50的隨機種群。然后取隨機種群矩陣的第一行作為混沌種群的初始值，按照Kent映射公式迭代1 000次，取最后50行得到一個50×50的混沌種群，并采用同樣的方式生成一個Logistic映射種群。最后利用一種有限集點分布均勻性度量方法[17]分別計算3種種群的分布均勻度值。為了減小結果的偶然性，3種方法按照上述步驟分別生成4組種群，計算結果如表1所示。

表1 種群分布均勻度值

表1的結果表明Kent混沌映射所得到的初始種群的均勻度指標更小，說明其比隨機初始化種群與Logistic混沌映射種群的分布更加均勻。

此外，為了驗證KPGWO算法的迭代速度與收斂精度，采用一個最小值為0的二階經典多峰函數Rastrigin作為目標函數，取值范圍為[-5,5]，迭代次數為50次，測試其迭代尋優速度。同時，對比經典的遺傳算法(GA)和傳統的GWO算法，迭代尋優過程如圖3所示。

由圖3可以看出，所提KPGWO算法的迭代收斂速度明顯快于其他2種方法，同時收斂精度高，沒有陷入局部最優的情況。

3.2 一相開路故障下容錯控制驗證

在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，雙三相PMSM采用的參數如表2所示。

表2 雙三相PMSM參數

設定電機目標轉速為6 000 r/min，負載轉矩為15.9 N·m，直流側電壓為380 V，開關頻率為20 kHz。轉速環的PI參數為0.04和0.58，d1-q1子空間電流環PI參數為20和10，d2-q2子空間電流環的PI參數為10和5。仿真時間為1 s，其中0～0.4 s為正常狀態，0.4 s時W相發生開路故障，0.8 s切換到容錯控制方案下運行。

正常狀態下電機d-q子空間電流與各相電流的變化情況如圖4所示，可以看出，定子電流的大小與參考值相符；各相電流不存在明顯的諧波畸變，2套繞組各相電流幅值之間的相位差符合實際情況。

電機轉速與轉矩變化情況如圖5所示。電機轉速達到了目標轉速，響應速度快，沒有出現超調；轉矩變化平穩，沒有出現較大幅度的轉矩脈動。

0.4 s時發生開路故障，從圖6可以看出W相電流變為0，轉速與轉矩出現了明顯的突變，穩定后轉速在5 993～6 008 r/min-1之間波動，轉矩在10.42～21.55 N·m之間波動。

0.8 s時切換到容錯控制，KPGWO算法選取的種群數量為50，迭代次數為300，停滯更新閾值為10，Id1,2、Iq1,2和IU的尋優范圍分別為[0,10]、[0,50]和[0,60]，Iq1,0的值為34.25 A。取適應度函數的參數α1為100，取參數α2為1，迭代結束后得到其適應度函數變化情況如圖7所示。

最終得到的最優參數值為

此時，d、q軸電流的參考值與各相電流的變化情況如圖8所示。

容錯運行狀態下電機轉速與轉矩變化情況如圖9所示，同時與傳統的降維矢量容錯控制方法[18]相比，可以看出本文所提出的方法在轉速與轉矩變化過程中的波動明顯更小。

4 結 語

本文針對雙三相PMSM一相開路故障，提出了一種基于電流優化的容錯控制方案，主要結論如下。

(1) 針對雙三相PMSM的數學模型在傳統同步旋轉坐標系下存在交叉耦合的問題，推導出一種解耦的同步旋轉坐標變換矩陣，并建立一相開路故障模型。經分析，d、q軸電流以及相電流中的諧波分量是造成轉矩脈動的原因，在此基礎上將容錯控制問題轉換為參考電流的優化問題。

(2) 針對傳統灰狼優化算法初始種群不均勻、易陷入局部最優的情況，提出了一種KPGWO算法，用于d、q軸參考電流參數的尋優，算例與仿真的結果證明了該方法的優越性。

(3) 本文所提方法不會改變系統原本的控制結構，可以實現正常狀態與故障狀態之間的平滑切換，與傳統方法的對比證明了該方法的有效性。