諧變力作用功能梯度旋轉圓板強非線性主共振

王永剛，胡宇達，徐浩然

(1. 燕山大學建筑工程與力學學院，河北，秦皇島 066004；2. 燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北，秦皇島 066004；3. 晉西工業集團有限責任公司，山西，太原 030027)

功能梯度材料(FGM)[1]作為一種新型材料，具有良好的力學性能，是一種近年來被廣泛應用的材料，在航空航天、核工業、機械制造以及醫療設備等方面都有著廣闊的應用前景。由功能梯度材料制成的各種形狀的構件常處于復雜的特定工作環境中。因此，為了滿足生產實踐需求，研究復雜環境下功能梯度材料構件的力學性能十分必要。

隨著功能梯度材料在生產生活的應用推廣，學者們對其制備、服役及其力學性能等方面做了大量研究，胡君逸等[2]研究了熱環境下正交各向異性板的固有特性和激勵響應。趙軍等[3]闡述了功能梯度材料的概念、設計及制備方法以及不同領域上的應用。溫度對功能梯度材料的影響不可忽視，學者們對此進行了深入的研究，TU 等[4]基于高階剪切理論導出了功能梯度板振動方程，并分析了溫度的影響。李世榮等[5]研究了材料性質沿厚度變化FGM 圓板的熱彈阻尼特性。趙偉東和KIANI 等[6-7]分析了FGM 扁球殼和板的熱屈曲及穩定性問題。何昊南等[8]研究了功能梯度指數和溫度對FGM 梁熱后屈曲路徑和后屈曲振動的影響規律。HU 等[9]針對陶瓷－金屬FGM 圓板的非線性動力學及分岔特性進行了研究。BAYAT 和KORDKHEILI 等[10-11]分別分析了功能梯度旋轉圓板和圓環板的熱彈性問題。SONI 等[12]考慮熱效應，研究了含裂紋功能梯度板的振動響應及頻率特性。胡宇達等[13]研究了FGM 板的熱彈固有振動特性，分析了旋轉因素的影響。旋轉運動可能會引起功能梯度材料失穩和破壞等問題，使材料表現出復雜的動力學行為。YEH 和HASHEMI等[14-15]分別研究了旋轉圓環板和厚板的振動問題。BAYA 和MARETIC 等[16-17]研究了FGM 旋轉圓形板的彎曲和穩定性問題。LI 等[18-19]研究了具有熱彈性阻尼(TED)的FGM 板，用復頻率法得到了解析解，討論了剪切變形、材料梯度指數、板厚等因素對FGM 板熱變形的影響。旋轉運動是圓形板構件最常見的運動之一，使構件處于復雜的受力環境中，且由于功能梯度板密度連續變化，在旋轉過程中會產生復雜的內力變化，因此，對旋轉運動功能梯度板振動行為的研究具有重要意義。

當新型材料結構處于復雜運動狀態或復雜場環境中時，將表現出非線性耦合特征。其中，對于轉速影響下FGM 結構強非線性振動問題的研究還很少。本文針對金屬-陶瓷功能梯度圓板，研究旋轉運動狀態下系統強非線性振動問題，建立縱橫耦合非線性振動方程組，求解強非線性共振系統的近似解析解，確定共振特征量變化規律。

1 基本振動方程

1.1 材料屬性

研究圖1 柱坐標系 (r,θ,z)下的功能梯度圓板，其上表面到下表面由金屬逐漸過渡到陶瓷，呈梯度變化規律，h、R和 Ω分別為板厚、半徑和旋轉速度，且圓板做勻速轉動，不考慮旋轉角加速度影響。

1.2 動能和勢能

對于旋轉運動狀態下的圓板結構，因板內點的速度分量表達式為[21]：

根據以上動能和勢能的給出，根據哈密頓變分原理，推得旋轉運動FGM 圓板的非線性縱橫耦合位移型運動方程組：

1.3 非線性方程

2 方程的伽遼金離散與靜撓度

假設圓板周邊為夾支約束，其邊界條件為：

基于分離變量法，將滿足式(14)的振型函數取為冪級數展開形式，可將式(12)、式(13)的解設為[13]：

3 改進多尺度法求解強非線性問題

將式(24)代入方程中，展開后令兩邊 α的同次冪系數相等，得到各階近似方程：

再將定常解代回方程，可得強非線性振動系統的近似解析解：

基于運動穩定性理論，由式(29)、式(30)可得判別定常解穩定性的特征方程，并基于其特征根情況，最終推得非線性系統定常解的穩定性判別條件式：

4 算例分析

針對考慮熱效應旋轉運動功能梯度圓板的主共振進行算例分析。圓板的泊松比μ=0.3，阻尼系數 ξ=0.01 ， 所在的環境溫度為T0=300 K，圓板金屬側溫度為Tm=300 K，陶瓷側溫度為可變溫度，用Tc表示。其組分由 Si3N4和 SUS304構成。其中Si3N4的 密 度 和 熱 傳 導 率 為： ρc=2370 kg/m3，κc=9.19 W/(m·K) ； SUS304密度和熱傳導率為：ρm=8166 kg/m3，κm=12.04 W/(m·K)。圓板的彈性模量和熱膨脹系數與環境溫度有關，材料的溫度相關系數P0、P-1、P1、P2和P3見表1。

表1 兩種材料的溫度相關系數Table 1 The coefficients of two materials related to temperature

4.1 振幅隨頻率變化規律

選取功能梯度圓板的半徑為R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 體 積 分 數 指 數n=1 ， 轉 速Ω=2000 r/min ， 激勵力F0=2000N/m2，陶瓷側溫度Tc=400 K ， 圓板內各點起始溫度T0=300 K。

圖2 給出了熱環境中，旋轉運動功能梯度圓板共振幅值隨調諧值變化的幅頻響應特性曲線。圖中的實線和虛線分別代表穩定解和不穩定解(下同)。圖2(a)～圖2(f)分別是不同轉速、激勵力、體積分數指數、半徑、板厚和溫度時的幅值-調諧值特征曲線(變化的參數詳見圖中，其余固定的參數均由前文給出，下同)。由圖可知，隨著調諧值由負及正逐漸增大，在調諧值等于 0附近激發共振，幅頻圖出現分岔點，共振幅值由單解變為多解，共振表現出強非線性特征。圖2(a)～圖2(f)中曲線表明，在共振區域，即 α=0 附近，振幅a明顯增大，且共振區域左側為單解，右側為多解，出現共振分岔現象。圖2(a)、圖2(c)、圖2(e)和圖2(f)中曲線表明，隨著圓板旋轉轉速、圓板體積分數指數、板厚和陶瓷測溫度的增加共振曲線出現內縮現象，共振區域逐漸變窄。圖2(b)和圖2(d)中曲線表明，隨著激勵力和圓板半徑的增大，共振曲線出現外擴現象，共振區域逐漸變寬。分析幅頻關系式(30)可見，由于含有轉速、板厚、陶瓷側溫度等參數的平方項和幅值的四次方項，故存在相同特定調諧值而其它參數不同時，幅值相等的情況。因此，導致圖2(a)、圖2(c)、圖2(d)、圖2(e)、圖2(f)中左支曲線間出現相交現象，即在交點左側振幅隨相應參數的增加而減小，而在交點右側振幅隨相應參數的增加而增加。即：圖2(f)中曲線表明，隨著溫度的增加，在調諧值小于某一值時，共振幅值逐漸減小。在調諧值大于某一值時，上支曲線表示的共振幅值隨溫度的增加而增大，下支下半部分曲線表示的穩定的共振幅值隨溫度的增加而減小，下支上半部分表示的不穩定的共振幅值隨溫度增加而增大。

4.2 振幅隨溫度變化規律

選取功能梯度圓板的半徑為R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 激勵力F0=2000 N/m2，體積分數指數n=1 ， 圓板內各點起始溫度T0=300 K，轉速，調諧值 α=0.01。分別繪制不同轉速、激勵力、體積分數指數、調諧值、半徑和板厚下振幅隨陶瓷側溫度變化曲線，如圖3(a)～圖3(f)所示。圖中曲線表明，隨著陶瓷側溫度增加，上支實曲線所示穩定振幅和虛線所示不穩定振幅先減小后增加，每支曲線有一個極小值。下支實曲線所示穩定振幅先增大后減小，每支曲線有一極大值。

從圖3(a)、圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)中可知，在同一溫度時，隨著圓板轉速、調諧值、圓板半徑和厚度的增加，上支實線表示的穩定振幅也在增大。從圖3(b)、圖3(e)中可知，在同一陶瓷側溫度時，隨著激勵力和圓板半徑的增大，下支曲線表示的穩定振幅也在增大。從圖3(a)、圖3(d)、圖3(f)中可知，在同一溫度時，隨著圓板轉速、調諧值、厚度的增大，下支曲線表示的穩定振幅減小。

4.3 振幅隨激勵力變化規律

圖4 給出了熱環境中旋轉運動功能梯度圓板共振幅值隨激勵力變化的幅頻響應特性曲線。選取圓板的半徑R=0.4 m ， 厚度h=0.008 m，轉速Ω=2000 r/min ， 體積分數指數n=1 ， 調諧值α=0.01 ， 陶瓷側溫度Tc=400 K，圓板內各點起始溫度T0=300 K。

由圖4(a)～圖4(f)可知，不同調諧值、轉速、體積分數指數、陶瓷測溫度、圓板半徑和厚度下，功能梯度圓板共振幅值具有多解，隨著激勵力增大到某一值時，共振幅值由多解變為單解。

圖4(d)中曲線表明，當激勵力在0 N/m2～1000 N/m2范圍內，激勵力取一定值時，上支曲線表示的穩定的振幅、下支曲線表示的穩定和不穩定振幅都隨圓板半徑的增大而減小。

圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)、圖4(e)和圖4(f)中曲線表明，當激勵力在一定范圍內取一定值，上支曲線表示的穩定的振幅和下支曲線上半部分表示的不穩定的幅值分別隨調諧值、轉速、功能梯度指數、板厚和陶瓷測溫度的增大而增大，下支下半部分曲線表示的穩定的幅值分別隨上述參數的增大而減小。

4.4 多值解臨界分岔點曲線

圖5(a)～圖5(f)是共振幅值由單解多解突變臨界點繪制的分岔點趨勢圖，圖中光滑曲線兩側為共振幅值的多解區域和單解區域，曲線上的點表示的是振幅的多解區域與單解區域的過渡幅值，曲線的存在表明了振動具有非線性特征。

圖5(a)表示隨著激勵力的逐漸增大，分岔點對應的調諧值也在增大，且增大趨勢在減緩。圖5(b)表示隨著圓板轉速的逐漸增大，分岔點對應的調諧值在逐漸減小，并且減小趨勢在減緩。圖5(c)表示隨著圓板陶瓷側溫度的逐漸增大，分岔點對應的調諧值先增大后減小，并且在897 K 時達到極大值。圖5(d)表示隨著圓板轉速的增大，分岔點對應的激勵力也在逐漸增大，并且增加趨勢在增大。圖5(e)表示隨著圓板陶瓷側溫度的增大，分岔點對應的激勵力先減小后增大。并且在893 K時，分岔點對應的激勵力最小。且曲線的上半區域為單解區域，曲線的下半區域為多解區域。圖5(f)表明，隨著圓板陶瓷側溫度逐漸增大，分岔點對應的圓板轉速先增大后減小，并且溫度在663 K時，分岔點對應轉速達到最大。且曲線的上半區域為多解區域，曲線的下半區域為單解區域。

4.5 結果對比與驗證

選取功能梯度圓板的調諧值α=0.01，半徑R=0.4 m，h=0.008 m，體積分數指數n=1，激勵力F0=2000 N/m2，陶瓷側溫度Tc=300 K。繪制轉速Ω=2000 r/min 時解析解對應的時程圖和相圖，如圖6 所示。圖中的幅值與圖3(a)中溫度Tc=300 K，轉速Ω=2000 r/min 時的幅值大小一致。

由時程圖6(a)可知，系統做穩定的往復周期運動，穩定解一和穩定解二的幅值相差較大，不穩定解的幅值與穩定解一的幅值較為接近，三個解的振動頻率相同。系統在波谷時振動幅值要大于波峰時的振動幅值，這是由于振動微分方程的解析解的表達式(31)包含一項負常數。由圖6(b)的相圖可知，相軌跡為橢圓形環繞曲線，且振動幅值負的振幅略大于正的振幅。

作為理論驗證，為對比本文與文獻[25]，特將本文中的功能梯度圓板的物性參數設成與該文獻一致。假設圓板轉速為 0，且不考慮溫度效應，選取功能梯度圓板半徑R=0.3 m ， 厚度h=0.004 m，體積分數指數n=2 ， 激勵力幅值F0=100 N/m2，繪制了圖7 所示相圖。由圖可見，本文的解析解與該文獻數值解得到的響應圖結果基本一致，從而驗證了本文理論結果的正確性。

5 結論

考慮旋轉因素和熱效應作用，針對功能梯度薄板結構強非線性共振問題進行了研究。推得強非線性振動方程，應用改進的多尺度法得到圓板幅頻響應方程和解析解。算例結果表明：

(1) 當圓板轉速、激勵力、功能梯度指數、陶瓷側溫度、半徑和厚度為定值時，隨著調諧值由負及正逐漸變化，幅值出現分岔點，且由單解變為多解，共振表現出典型非線性特征。

(2) 當其他參數為定值時，隨著圓板陶瓷側溫度從零逐漸增大，上支曲線表示的穩定振幅先減小后增加，每支曲線有一個極小值。下支曲線實線表示的穩定的振幅先增大后減小，每支曲線有一個極大值。

(3) 當激勵力在一定范圍內，其他參數取一定值時，隨圓板半徑的增大，穩定和不穩定的振幅都在減小。