粘彈性流體法向力作用下的抽油桿柱橫向振動仿真

王樹強，董世民，張 洋，位中達

(燕山大學機械工程學院，秦皇島 066004)

隨著油井含水率的升高，聚合物驅油技術大規模應用到了抽油機井中。與水驅井相比，聚驅井產出液含有一定濃度的聚合物，而聚合物溶液具有粘性和彈性雙重效應。油井產出液的彈性和桿管環空的偏心導致抽油桿受到一個與其軸線相垂直的法向力，法向力的存在加劇了桿管偏磨[1-2]，導致了桿斷管漏率增加和檢泵周期顯著下降等諸多問題。桿柱力學的研究是預防桿管偏磨的重要依據[3-4]，因此研究在粘彈性流體法向力作用下的抽油桿柱在油管內的力學行為具有重要的理論與實際意義。

桿管偏磨現象與抽油桿柱在油管內的彎曲變形有關。國內外專家學者從靜力學和動力學兩個方面對抽油桿柱在油管內的彎曲變形行為進行了大量研究。董世民等[5]基于桿管接觸彈簧元分析方法，建立了抽油桿柱在油管內彎曲變形規律與接觸壓力的混合有限元仿真模型。狄勤豐等[6]以曲率半徑法描述井眼軌跡的空間形態，通過有限元法實現了桿柱空間載荷以及變形狀態的求解。YUE 等[7]基于能量法建立了井筒中細長桿柱屈曲臨界載荷、接觸力和摩擦阻力的計算公式。HUANG等[8]描述了帶連接件的管柱在彎曲井筒中的撓曲行為，分析了彎矩和接觸力的影響因素。ZHANG等[9]建立了三維彎曲井中管柱的屈曲模型以及臨界屈曲載荷數學模型，并確定了管柱屈曲后與井筒的接觸力。以上靜力學研究建立了抽油桿柱在油管內的彎曲變形規律，給出了桿管接觸力的計算方式。文獻[10 - 17]基于不同的方法，建立了不同激勵下抽油桿柱的動力學模型，研究了抽油桿柱在油管內的彎曲變形規律。文獻[10 - 12]考慮井眼初彎曲以及油管對桿柱的約束，建立了抽油桿柱的縱橫耦合振動仿真模型。文獻[13 - 14]采用有限元方法建立了抽油桿柱非線性動力學模型，計算出了抽油桿柱在井下的徑向變形和側向力。王宏博等[15-16]綜合考慮彎曲井眼以及交變軸向載荷對于抽油桿柱橫向振動的激勵，建立了具有初彎曲的抽油桿柱在彎曲井眼內的橫向振動仿真模型。SUN 等[17]提出了基于屈曲位移激勵下的鉛直桿柱在圓筒內的橫向振動仿真模型。與抽油桿柱的橫向振動問題類似，WANG 等[18-19]應用有限元、能量法與哈密頓原理建立了油管的縱橫耦合振動仿真模型，并采用 Newmark 法實現了數值求解。在以上研究中，抽油桿柱橫向振動的激勵可概括為：1) 抽油桿柱在交變軸向載荷激勵下產生橫向振動，即交變軸向載荷是抽油桿柱橫向振動的激勵，交變軸向載荷激勵抽油桿柱橫向振動的實質是交變軸向載荷導致抽油桿柱橫向振動的幾何抗彎剛度隨時間變化，屬于參數激勵的非線性振動問題[20-21]；2) 抽油桿柱與油管的間斷接觸碰撞對抽油桿柱橫向振動的激勵；3) 下沖程底部受壓段的抽油桿柱屈曲位移對抽油桿柱橫向振動的激勵。

對于聚合物驅抽油機井，當抽油桿柱在粘彈性流體井筒內偏心運動時，桿柱將受到粘彈性流體法向力的作用。盡管文獻[1 - 2]建立了井筒內抽油桿柱所受粘彈性流體法向力的計算模型，但所建立的計算模型僅適用于偏心距已知的情況，而沒有深入研究在實際井筒內如何確定桿柱的偏心距。抽油桿柱所受粘彈性流體法向力不僅和抽油桿柱瞬時軸向運動速度有關，而且和桿柱瞬時彎曲變形有關，從而導致桿柱所受分布橫向力隨時間變化，并是桿柱橫向振動的主動激勵力。目前關于粘彈性流體法向力激勵的抽油桿柱橫向振動研究未見文獻報道。本文擬將抽油桿柱所受交變粘彈性流體法向力作為橫向振動的激勵，考慮抽油桿柱所受粘彈性流體法向力與抽油桿柱橫向振動位移的耦合關系，建立粘彈性流體法向力作用下的抽油桿柱橫向振動仿真模型，分別以抽油桿柱初始偏心、空間屈曲構型作為初始條件，實現對抽油桿柱在井筒內橫向振動規律、桿管接觸碰撞隨時間變化規律的仿真。

1 抽油桿柱橫向振動力學模型

為便于研究，同時突出本文研究重點，做如下假設和簡化：

1) 井筒為鉛直井筒；

2) 抽油桿柱為均質單級桿；

3) 不考慮桿柱彎曲和扭轉對抽油桿柱縱向振動的影響，基于波動方程仿真抽油桿柱的軸向載荷、軸向分布載荷與泵端集中軸向力，為抽油桿柱彎曲振動分析提供環境載荷；

4) 不考慮抽油桿柱縱向振動和扭轉振動對橫向振動的影響；

5) 將抽油桿柱簡化為歐拉梁；

6) 粘彈性流體為各向同性不可壓縮流體，在偏心環空中做定常等溫層流流動。

1.1 力學模型

基于上述假設，建立受粘彈性流體法向力作用的抽油桿柱橫向振動力學模型，如圖1 所示。圖1(a)為桿柱的橫向振動力學模型，圖1(b)為桿柱的微元受力圖。

圖中抽油桿柱頂端的橫向位移受到井口約束，簡化為固定端；抽油桿柱底端的橫向位移受到泵筒約束，簡化為可滑動的固定端。以井口作為坐標原點，抽油桿柱軸線上任意一點的位置用井深坐標x表示。任意時刻t抽油桿柱所受環境載荷包括：作用于抽油桿柱底端的交變軸向載荷P(t)，以拉力為正；井深x處單位長度抽油桿柱所受的軸向分布載荷qx(x,t)；設井深x處抽油桿柱的偏心率為ε(x,t)，單位長度抽油桿柱所受的粘彈性流體法向力為qr(x,ε,t)；單位長度抽油桿柱所受的液體粘滯阻尼力為fr(x,t)。

1.2.1 泵端集中軸向載荷計算模型

抽油桿柱底端的集中軸向載荷P(t)由柱塞所受液體載荷Pl(t)和柱塞與泵筒之間的液體摩擦載荷Pf(t)兩部分組成[22]：

柱塞所受液體載荷由柱塞上、下表面的壓差產生，計算公式為：

式中：Ap/m2為抽油泵柱塞橫截面積；pd/Pa 為抽油泵的排出壓力；p/Pa 為泵筒內液體壓力；Ar/m2為抽油桿柱的橫截面積。

柱塞與泵筒之間的液體摩擦載荷可以通過縫隙理論推導得出

式中：Lp/m 為抽油泵柱塞的長度；D/m 為抽油泵柱塞的直徑；δ/m 為抽油泵柱塞與泵筒之間的徑向間隙；μl/(Pa·s)為流過閥隙井液的動力粘度；vp/(m/s)為抽油泵柱塞的運動速度；ε0為偏心度，ε0=e0/δ；e0/m 為柱塞與泵筒之間的偏心距。

1.2 環境載荷計算模型

1.2.2 抽油桿柱軸向分布載荷仿真模型

抽油桿柱軸向分布載荷包括：單位長度抽油桿柱自重、液體粘滯摩擦力、桿柱縱向運動的慣性載荷以及桿柱縱向振動的振動載荷。通過波動方程描述抽油桿柱的縱向振動[22]：

式中：U(x,t)/m 為抽油桿柱任意截面x在時刻t相對于上死點的位移；c/(m/s)為聲音在抽油桿柱中的傳播速度；υ/(1/s)為油井液體對抽油桿柱的阻尼系數；g/(m/s2)為重力加速度；U*(t) /m 為懸點在時刻t相對于上死點的位移；E/Pa 為桿柱材料的彈性模量。

應用有限差分法求解縱向振動仿真模型可以確定軸向載荷Px(x,t)以及軸向分布載荷qx(x,t)：

1.2.3 粘彈性流體法向力計算模型

通過大量實驗表明，含聚流體作用在桿柱的法向力主要與偏心度、流速及含聚濃度有關。運用試驗結果，得到工程比較適用的法向力計算公式[23]：

式中：qr(x,ε,t)/(N/m)為單位長度的法向力；ε 為偏心度，ε=e/(R-r)，e/m 為偏心距，R/m 為油管內半徑，r/m 為抽油桿半徑；η/(mg/L)為聚合物濃度，式中各項分別對應濃度為(0～100)，(100～200)，(200～400)， (400～600)， (600～800)， (800～1000)；vf/(m/s)為桿液相對運動速度。

2 抽油桿柱橫向振動數學模型

2.1 抽油桿柱橫向振動方程

設任意時刻t，井深x處抽油桿柱的橫向振動位移為u(x,t)和w(x,t)。通過微元受力分析，抽油桿柱微元段在xou平面內的動力平衡方程為：

式中：ρ/(kg/m3)為抽油桿柱材料密度；μ/(N·s/m2)為液體粘滯阻尼系數；I/m4為抽油桿柱的抗彎慣性距；qru(x,ε,t)、qrw(x,ε,t)分別為作用在桿柱上的粘彈性流體法向力在u和w方向上的分量。

在線彈性變形假設下，彎矩和撓度的關系可以表示為：

同理，可以得到抽油桿柱在xow平面內的橫向振動微分方程：

抽油桿柱頂端的橫向位移和角位移受到井口約束，可以將桿柱的頂端簡化為固定約束；抽油桿柱底端的橫向位移和角位移受到泵筒約束，可以將桿柱的底端簡化為可滑動的固定約束。抽油桿柱兩端的邊界條件為：

聚合物抽油機井桿管環空的偏心是產生粘彈性流體法向力的必要條件之一。本文將分別以抽油桿柱的初始偏心和空間屈曲構型作為初始條件激勵，研究粘彈性流體法向力激勵的抽油桿柱受迫振動。并假設懸點位于下死點。則抽油桿柱橫向振動的初始條件可以表示為：

2.2 邊界條件

2.3 初始條件

2.4 桿管碰撞條件

抽油桿柱仿真節點的橫向位移超出油管邊界時，桿柱與油管發生碰撞，因此桿管碰撞條件可以表示為：

抽油桿柱與油管發生碰撞后相應節點落在油管內壁上，采用t+表示碰撞后，t-表示碰撞前，則抽油桿柱與油管發生碰撞后相應節點的位置：

將節點速度v分解為沿油管內壁法線方向的徑向速度vn和切線方向的切向速度vτ，γi表示碰撞恢復系數，其值取決于碰撞體的材料[24]，抽油桿柱與油管發生碰撞后相應節點的速度：

由于碰撞過程中碰撞力的瞬時值是難以確定的，本文采用沖量的改變作為碰撞力的度量。假設在Δt[25]時間內桿管完成碰撞，由沖量定理可以獲得碰撞時間內的碰撞力：

3 橫向振動仿真方法

本文采用數值方法求解抽油桿柱軸向載荷計算模型和橫向振動仿真模型，通過有限差分法離散空間變量x，通過Newmark-β 法離散時間變量t。

將抽油桿柱沿軸線離散成n個單元，各單元具有相同步長Δx。采用中心差分形式處理偏微分方程中位移關于x的各階導數，并將邊界條件進行差分處理。

采用Newmark-β 法對時間t進行離散：式中：α 和β 是按積分精度和穩定性要求進行調整的參數。本文取α=0.5，β=0.25，此時仿真精度較高，穩定性好[26]。

由式(23)可以得到t+Δt的速度和加速度的表達式，即：

通過求解振動微分方程的離散形式式(27)，可以得到t+Δt時刻的抽油桿柱的橫向振動位移，然后，由式(24)可以得到對應節點的速度和加速度。

4 仿真實例與分析

仿真基本參數：抽油桿柱直徑為22 mm，抽油桿柱長度為1000 m，抽油桿柱密度為7860 kg/m3，抽油桿柱彈性模量為209 GPa，接箍外徑為46 mm，油管內徑為62 mm，阻尼系數為0.2 N·s/m2，抽油機沖程為3 m，沖次為6 min-1，油井產出液聚合物濃度為300 mg/L，碰撞恢復系數為0.56，單次碰撞時間為0.03 s。

通過抽油機機構運動分析，可以得到懸點位移規律，并由本文1.2 節中抽油桿柱軸向分布載荷仿真模型可以得到桿柱軸向力分布情況，如圖2(a)、圖2(b)所示。

下面分別研究抽油桿柱在初始偏心與屈曲構型激勵下的橫向振動規律。

4.1 抽油桿柱初始偏心激勵下的橫向振動

桿管環空的偏心是產生粘彈性流體法向力的必要條件之一，偏心度的大小對于粘彈性流體法向力起到決定性的作用。本文通過給定抽油桿柱一個整體偏心和局部偏心，研究初始偏心條件下粘彈性流體法向力激勵的抽油桿柱橫向振動規律。抽油桿柱偏心示意圖如圖3 所示。式(28)、式(29)分別為抽油桿柱整體偏心初始條件和局部偏心初始條件公式。取偏心度ε 分別為0.25、0.50、0.75，開展初始偏心條件下粘彈性流體法向力激勵的抽油桿柱橫向振動規律仿真。

圖4 和圖5 分別繪制了不同偏心度條件下桿柱橫向位移隨井深的變化規律。圖中給出了時間為2 s、5 s 和9 s 時桿柱橫向位移隨井深的變化曲線。

由圖4 和圖5 可以看出：1) 存在偏心的桿柱由局部桿管接觸然后緩慢延伸至幾乎全井接觸；2) 隨著桿柱偏心度的增大，桿管接觸的發生時間提前；3) 桿柱頂端數十米由于邊界條件的限制，不會發生桿管接觸；4) 由于粘彈性流體法向力的存在，桿柱與油管的接觸點幾乎存在于全井范圍內。

綜上所述，由于粘彈性流體法向力的存在，無論抽油桿柱存在整體偏心還是局部偏心，都會導致桿管偏磨現象幾乎在全井范圍內都有發生，因此有必要采取全井布置扶正器的策略。

4.2 抽油桿柱初始屈曲構型激勵下的橫向振動

抽油桿柱在下沖程運行過程中，隨著桿柱受壓載荷的不斷增大，桿柱會產生空間屈曲，同時會受到指向窄間隙側的法向力，粘彈性流體法向力激勵整體桿柱產生橫向振動。本節，基于1.2 節抽油桿柱軸向載荷計算模型，考慮油管內壁對于桿柱上接箍節點的影響，基于文獻[27]中抽油桿柱屈曲構型仿真方法，建立整體抽油桿柱在油管內的屈曲構型，將該屈曲構型作為桿柱橫向振動的初始位移條件，研究粘彈性流體法向力作用下的抽油桿柱橫向振動規律。整體抽油桿柱空間屈曲構型如圖6 所示。

4.2.1 碰撞力變化規律

圖7(a)繪制了第3 個周期內碰撞力隨井深和時間的變化規律；圖7(b)、圖7(c)繪制了37.5 s時不同井深處桿體節點和接箍節點碰撞力的變化規律。由圖7 可以得到：1) 碰撞力沿全井都有分布，在每個運動周期內，下沖程的桿管碰撞最劇烈，且在泵端附近碰撞力最大；2) 抽油桿柱上沖程同樣存在桿管碰撞現象，但碰撞點相對較少，碰撞力也較小；3) 桿體與油管的接觸碰撞主要集中在距泵端940 m 以下位置，在940 m 以上位置桿體與油管幾乎無接觸；4) 接箍與油管的接觸碰撞在全井均有分布，且在泵端附近碰撞最劇烈，隨著節點上移，碰撞力減小。

分別對比了不同井深位置處桿柱節點和接箍節點在10 個周期內的碰撞力分布規律，如圖8 所示。由圖8 可以看出：1) 桿體與油管壁的接觸碰撞主要存在于下沖程，且碰撞力隨著井深增大而增大；2) 接箍與油管壁的接觸碰撞在接近泵端位置主要集中在下沖程，上沖程碰撞節點較少，且碰撞力較高。隨著節點上移，上下沖程內節點碰撞均很密集，且碰撞力隨之減小。

綜上所述，桿管碰撞現象在全井全周期范圍內都存在；桿體節點與油管壁的碰撞主要集中在泵端附近，且主要發生在下沖程；接箍節點與油管壁的碰撞沿全井都有分布，且上下沖程均存在密集碰撞現象。因此目前全井均勻布置扶正器的防偏磨措施是不科學的，需要根據桿管接觸力優化配置扶正器。

4.2.2 橫向振動規律

對比了不考慮粘彈性流體法向力和考慮粘彈性流體法向力時抽油桿柱的節點振動情況。圖9為桿體節點分別在500 m、796 m 和948 m 處的橫向位移規律曲線，圖10 為接箍節點分別在504 m、800 m 和952 m 處的橫向位移規律曲線。

由圖9 和圖10 可知：1) 抽油桿柱在各井深位置處均存在桿管碰撞現象；2) 桿體節點與油管壁的接觸碰撞存在于油井底部，而接箍節點在各井深位置均存在與油管壁的接觸碰撞；3) 不考慮粘彈性流體法向力時，抽油桿柱的振動主要集中在井眼中心處；4) 由于指向窄間隙側粘彈性流體法向力的存在，桿柱與油管壁的接觸碰撞更加頻繁。井深504 m 處接箍節點與油管的接觸偏向一側，而800 m 處由于抽油桿柱下端屈曲的原因，抽油桿柱與油管在各個方向上均有接觸，但相較于不考慮粘彈性流體法向力的情況，碰撞點更加密集，桿管碰撞現象明顯加劇。

5 結論

聚驅井中粘彈性流體法向力的存在是加劇桿管偏磨的重要因素，本文基于抽油桿柱粘彈性流體法向力計算模型，考慮抽油桿柱所受粘彈性流體法向力與抽油桿柱橫向振動位移的耦合關系，建立了抽油桿柱在油管內的橫向振動仿真模型。采用有限差分法和Newmark-β 法綜合計算，考慮桿管間的碰撞效應，實現了對粘彈性流體法向力作用的抽油桿柱在油管內的橫向振動仿真。通過實例分析得到如下結論：

(1) 桿管碰撞現象存在于全井范圍內，其中桿體節點與油管壁的碰撞主要集中在泵端附近，接箍節點與油管壁的碰撞沿全井都有分布。

(2) 下沖程桿管碰撞更為劇烈，且泵端附近碰撞點最為密集，碰撞力最大，隨著節點上移，碰撞力減小；上沖程同樣存在桿管碰撞現象，碰撞點主要是接箍節點，且碰撞力較小。

(3) 由于指向窄間隙側粘彈性流體法向力的存在，抽油桿柱與油管壁的接觸碰撞更加頻繁，加劇了桿管偏磨。

(4) 聚驅井中全井布置扶正器有助于預防桿管偏磨，但目前均勻扶正器配置方法是不科學的，有必要根據桿管接觸力優化配置扶正器，本文所建立的粘彈性流體法向力作用下的抽油桿柱橫向振動仿真模型對于桿管偏磨分析、扶正器的優化配置具有指導作用。

(5) 本文為直井中的抽油桿柱橫向振動規律分析，在彎曲井眼中，受井筒彎曲、接箍與扶正器局部徑向支撐以及重力橫向分力的綜合影響，抽油桿柱發生彎曲變形，并導致桿柱在井筒內處于分布式接觸—懸空的偏心狀態，因此，抽油桿柱在彎曲井筒內的橫向振動規律仿真需要進一步研究。