基于數字編碼超材料的大視場前視成像方法

高思哲 馬暉 王國強 劉宏偉

（西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室,西安 710071）

引 言

基于多通道體制的前視成像雷達系統，如多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達、相控陣雷達等，雖然可以實現前視成像的功能，但是其系統復雜、造價昂貴[1-3].并且如果想要實現較高的橫向分辨率就相應地需要大的陣列孔徑，這就進一步導致了系統的復雜度高.近些年已提出的稀疏孔徑等布陣方式可以提升陣列孔徑，但是稀疏布陣的方式同樣會導致發射波束的旁瓣增高等新問題，這也為高質量成像帶來了困難.

電磁超表面的出現為解決傳統數字陣列中存在的問題帶來了一些轉機[4-8].電磁超表面可以看作是三維電磁超材料的二維平面形式，即亞波長散射體單元在平面內沿著x或y方向以一定周期延拓，形成平面且超薄的超材料表面，簡稱“超表面”.然而傳統超表面仍然采用連續的等效煤質參數描述，因此從電路角度來看，這類超表面與模擬電路類似.為了實現超表面的數字調控，東南大學崔鐵軍教授團隊提出了一種新型的基于數字表征的編碼超表面[9]，即通過數字編碼序列實現電磁波的調控，稱之為數字編碼超材料[10].數字編碼超材料目前主要的應用在于信息傳遞方向，其在雷達系統中的應用還并未被研究[11-15].

本文基于數字編碼超材料可以數控的特性，設計了一種雷達成像方法，且針對該成像方法中可能存在的一些問題提出了解決方案.首先，基于超表面的數字編碼調控特性進行了數學建模[16]，得到了有效的數學模型[17-18].然后，針對大視場成像問題中網格劃分困難的問題，提出了從粗網格到細網格劃分的遞進成像方法.然而，大視角場成像問題中，輻射場自由度不足可進一步導致精細化成像的失敗，針對此本文提出了基于閾值分割的精細化成像方法，實現了對場景的進一步成像.最后，為了提升重構算法的速度，基于免逆稀疏貝葉斯學習(inverse-free sparse Bayesian learning,IF-SBL)算法[17]對場景進行重構，實現了對目標的快速成像.

1 布陣分析&信號模型

1.1 布陣分析

為了滿足空域奈奎斯特采樣定理，通常最大陣元間隔為半波長.然而這樣就與雷達孔徑存在矛盾，即想要獲得大的孔徑就需要龐大數量的天線，導致雷達系統造價昂貴.針對此一種稀疏布陣的方式被提出來，但是相應的這種布陣方式也不滿足奈奎斯特采樣定理，且會導致空間柵瓣的產生.本文通過對半波長和二倍半波長的天線方向圖進行仿真，證明了這一問題.圖1(a)為20×20 半波長布陣的陣列方向圖，圖1(b)為二倍半波長布陣的天線方向圖，可以看到大量的柵瓣產生，對成像造成了較大的困難.而本文中利用的數字編碼超材料是基于半波長布陣的方式，并且是基于單通道，從而在一定程度上解決了系統造價昂貴的問題.

圖1 不同陣元間隔下的陣列方向圖Fig.1 Array pattern under different array element spacing

1.2 信號模型

如圖2 所示，本文所提出的成像方法是基于單通道雷達系統，即由一個喇叭天線發射線性調頻波(linear frequency modulation,LFM)經過超表面的相位調制輻射到空間中形成時空二維輻射場，照射到目標后被單接收天線接收，最后通過關聯處理實現前視成像.利用編碼超材料進行雷達成像，那么超材料本身所存在的相位調制以及幅度調制問題就需要進行明確要求.本文中利用理想情況下的編碼超材料性質進行系統建模，即超材料陣元在開、關兩種情況下的相位偏轉分別為0°和180°，并且喇叭天線照射到超材料表面并反射出去時，對信號的幅度并不存在調制.

圖2 信號調制與空間網格劃分Fig.2 Signal modulation and spatial grid division

這里M×M個陣元的超表面被用來進行成像.首先根據數字編碼超表面的相位調制機理，可以得到第t次脈沖經過調制后的信號形式：

式中：rect(·) 表示矩形函數；η表示調頻率.

然后根據該系統的接收機理，回波信號有如下形式：

式中：K表示散射點個數；γk表示散射點的后向散射系數；φt表示第t次的相位調制向量；a(R(τk))表示第k個散射點與雷達間的導向矢量；w表示噪聲矩陣.

假設一共發射了T次脈沖，經過脈沖壓縮處理后，其中第u個距離單元上的回波信號可以用矩陣表示為

式中，yu∈CT×1.

這里我們定義字典為

式(3)是一個經典的壓縮感知模型，因此可利用常用的壓縮感知算法進行求解，如正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法、SBL 算法、L1/L2范數優化等.

2 快速成像方法

利用壓縮感知算法通常需要構造關于場景的字典，而本文所提出的成像場景都是基于大視場場景的應用背景，若直接對成像場景進行精細的網格劃分，必然會導致在進行成像恢復過程中帶來很大的計算量從而無法進行快速成像.為了解決這一問題，本文給出一種從粗網格成像到精細化成像的方法，從而達到減少計算量的效果.

2.1 算法流程

粗網格-細網格算法的主要思想是首先進行成像預處理，成像平面的網格劃分如圖3 所示；然后利用稀疏重構算法進行粗成像.

圖3 目標場景網格劃分Fig.3 Spatial meshing of the target scene

本文所提的快速成像算法流程如圖4 所示.首先，通過粗網格劃分實現粗網格成像得到初步圖像；其次，利用閾值分割方法確定分割閾值；然后，利用局域波形優化方法實現輻射場能量聚焦；最終，利用IF-SBL 的方法實現精細化成像.

圖4 大視場成像方法Fig.4 Large FOV imaging method

2.2 閾值分割算法

在面對大視場凝視成像進行粗成像時，要求波束能量盡可能地覆蓋大視角成像場景，能量的發散必然導致目標回波信噪比的降低或者成像場景中不可避免有一些干擾目標，導致在利用稀疏重構算法進行粗成像過程中出現一些噪點.本文借鑒圖像處理領域中的閾值分割算法對干擾噪點進行去除，閾值分割主要是利用成像場景中目標與干擾噪點之間的散射系數差異，理想狀態下，干擾噪點與目標之間的散射系數差異很大，且同一個目標的散射系數基本相同.在上述情況下，尋找一個閾值，對成像區域的干擾噪點進行去除，具體過程如圖4 所示.具體的閾值確定方法有：基于局部散射系數和其相鄰散射系數性質確定閾值的方法；基于全局散射系數進行分割的方法.

在本文中，使用的閾值分割算法是最大類間方差法，借鑒圖像分割中的應用原理，通過閾值將圖形分為兩類，使這兩類散射系數均值與全局散射系數之間的方差和達到最大.首先，設定閾值T，將大于T的散射系數記作C1，均值為m1，概率為p1；小于T的散射系數記作C2，均值為m2，概率為p2.那么全局均值m可以表示為

類間方差為

聯立方程組可得

經過計算得到閾值后，將小于閾值的視為干擾點進行去除.為驗證閾值分割算法的性能，目標位置與之前相同，然后在稀疏重構算法的基礎上結合閾值分割進行成像恢復.

2.3 局域波形優化方法

根據2.2 節中所介紹的方法，我們可以得到目標的大致區域；然后，基于得到的先驗信息對局域輻射場進行優化，使超材料陣列輻射出的能量集中到目標場景局部區域同時保持良好的輻射場自由度，如圖5所示；最后，進行精細化成像.

圖5 局域波形優化示意圖Fig.5 Schematic diagram of local waveform optimization

關于輻射自由度的優化我們設計了優化函數.根據壓縮感知理論，測量矩陣D需要滿足較大的自由度，通常使用約束等距性(restricted isometry property,RIP)描述，即便是在有噪聲的情況下，使用某種重構算法也能有很高概率將目標重構出來.本文提到的這種體制雷達的測量矩陣，其縱向維度代表了不同時刻即不同的相位編碼所代表的輻射場，橫向維度代表了成像場景的網格數.但是通常情況下橫向維度會遠遠大于縱向維度，因此測量矩陣是一個扁矩陣，此時使用RIP 準則對測量矩陣進行優化并不合適.故我們采用另一種對測量矩陣評價的方法，即分析列向量之間的相關性，小的互相關特性會很大概率保證欠定測量狀況下的有效稀疏重構.定義列向量的相關函數來描述其相關特性，有

本文基于上述相關函數并利用遺傳算法，對成像網格間的相關性進行優化，最終得到滿足成像要求的字典矩陣，即使得字典矩陣每一列盡可能不相關，即輻射場在時間和空間上盡可能不相關.這里我們令字典自相關矩陣的上三角元素的均值和方差最小，基于這一假設輻射場優化的代價函數為

式中：λ1和λ2是可調參數，可根據實際情況設置；Rˉ為字典自相關矩陣上三角元素的均值；為字典自相關矩陣上三角元素的方差.

以上算法可以針對全局場景進行優化也同樣可以加入局域場景的約束，實現對局域波形的優化.如圖4，在粗網格成像后我們可以大致確定目標所在區域.我們用 ζ表示該距離單元內目標所在的位置，從而D(ζ)可以表示對應區域的空間譜.根據式(8)和式(9)可以得到局域波形優化的代價函數：

設計完代價函數之后，遺傳算法被用來解該代價函數.遺傳算法本質上是模擬物競天擇的生物進化過程，通過維護一個潛在解的群體，執行多方向的搜索，并且支持這些方向上的信息構成和交換.

以下是遺傳算法的一般步驟：

1) 隨即產生種群個體，即產生隨機相位編碼；

2) 評估每個個體的適應度；

3) 遵照適應度越高，選擇概率越大的原則，進行遺傳選擇；

4) 進行交叉，變異從而產生新的子代個體；

5) 重復2，3，4 步驟，直到產生最優種群，最后從種群中選出最優個體.

2.4 IF-SBL 算法

在介紹IF-SBL 算法之前，首先介紹一下變分貝葉斯的概念.在貝葉斯學習模型中，求解后驗概率是一個很重要的步驟；但在大多數情況下，我們很難利用貝葉斯公式求出后驗概率的精確解；這時，我們便需要一個近似解來逼近精確解.求解近似解主要有兩種方法：隨機近似方法和確定性近似方法，變分貝葉斯則屬于后者.利用平均場理論以及確定性近似方法，我們可以將后驗概率p(Z|X)用一個等效模型代替，同時，我們用KL-Divergence來衡量近似模型與原始模型的差異：

我們的目標是最小化 KL(Q‖P)，由于 lnP(X)是不依賴于Z的似然函數，可以視為常數，所以最小化KL(Q‖P)可 以視為最大化L(Q)，L(Q)可 以看成lnP(X)的下界，通常稱為ELOB (evidence lower bound).

在SBL 模型yu=ΦAXu+Wu中，我們假設Xu服從一個兩層的先驗分布，其中第一層，

3 仿 真

本節我們設計一些實驗來驗證本文所提出算法的有效性.

3.1 成像機理驗證

為了驗證第1 節以及2.1 節所提出的成像模型的有效性，這里利用OMP 和SBL 算法進行單個距離維切片的成像仿真，結果如圖6 和圖7 所示，仿真參數如表1 所示.

圖6 OMP 算法成像重構圖Fig.6 OMP algorithm imaging reconstruction results

圖7 SBL 算法成像重構圖Fig.7 SBL reconstruction results

表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameter

從圖6 和圖7 來看利用普通的稀疏重構算法可以實現對回波信號的處理，并且從成像結果中看到實現了對目標點的恢復.雖然受噪聲的影響產生了一些額外的噪點，但是這些噪點相較于真實散射點來說幅度較小，對確定目標的形狀影響不大.

3.2 閾值分割算法

利用2.2 節提出的閾值分割算法對3.1 節得到的成像結果進行處理，結果如圖8 和圖9 所示.可以看到，成功祛除了大部分的噪點.驗證了閾值分割算法的有效性.

圖8 圖6 被閾值分割方法處理后的結果Fig.8 The result of the Fig.6 being processed by the threshold segmentation method

圖9 圖7 被閾值分割方法處理后的結果Fig.9 The result of Fig.7 being processed by the threshold segmentation method

3.3 局域波形優化

為了得到特定區域更加精細的圖像，在2.3 節提出的局域波形優化的代價函數基礎上得到優化后的編碼波形.用遺傳算法進行編碼優化，結果如圖10所示.

圖10 局域空間譜相關性Fig.10 Local spatial spectral correlation

3.4 精細化快速成像

經過局域波形優化后我們可以得到一組優化后的波形編碼，然后利用這組編碼進行精細化成像.傳統的SBL 算法存在矩陣求逆，導致計算時間長、成像慢.本文利用IF-SBL 算法進行快速成像，結果如圖11 所示.可以觀察到經過局域波形優化的結果相較于未優化的結果少了許多噪點，成像質量明顯優于前者.

圖11 IF-SBL 算法成像結果Fig.11 Imaging results of inverse-free sparse Bayesian learning algorithm

為了分析IF-SBL 算法的計算量，進行蒙特卡洛實驗，圖12 為500 次實驗的結果，可以明顯看到IFSBL 算法的計算量遠遠小于SBL 算法.

圖12 算法計算效率分析Fig.12 Computational efficiency analysis of the algorithms

4 結 論

本文針對數字編碼超材料在成像中的一些應用給出了較為可行的方案.首先針對大視場的成像困難問題，提出了從粗網格到細網格的成像方法，從而大大降低了字典的維度，降低了存儲和計算困難.針對局域輻射場自由度不高的問題設計了局域波形優化的代價函數，成功地提升了成像質量.并且針對傳統SBL 算法中存在矩陣求逆過程導致的計算復雜問題，利用IF-SBL 算法進行稀疏重構，大大降低了成像速度.本文為前視成像提出一個新的解決方案，為降低雷達系統的復雜度提供了新方向.本文用來解決成像速度的模型尚存在一定不足，對于系統中存在的相位誤差、幅度調制等問題并未進行考慮，因此下一步將考慮這些問題對成像效果的影響，并進一步對這些問題進行建模處理.